第 $2$ 章 方程式論の基本定理
$\S\ 7.$ 多 項 式 の 四 則
$\boldsymbol{1.}$ 一つの変数に関する多項式とは\[a_0z^n+a_1z^{n-1}+a_2z^{n-2}+\cdots+a_n\]のような式をいう.ここで $a_0$,$a_1$,$a_2$,$\cdots$,$a_n$ は一定の数を表わすもので,いわゆる定数である.それらを総称して($a_n$ をも入れて)多項式の係数という.また $z$ には種々の数値を与える下心があるのだから,それを変数という.すなわち多項式はこの変数 $z$ の函数である.それを示すためには,函数記号を用いて多項式を $f(z)$ などとしるす.多項式を $z$ の函数と見るときには,それを有理整函数という.多項式における係数も変数も複素数とするけれども,実数の場合に成り立つところの,多項式の四則に関する公式(恒等式)は,そのまま適用されるのである.
たとえば二項式定理\[(x+a)^n=\overset{n}{\underset{k=0}{\textstyle\sum}}\binom{n}{k}a^{n-k}x^k\]などは,$a$,$x$ が複素数であっても成り立つ.
本書では,二項係数を $\dbinom{n}{k}$ で表わす.それを $_n\mathrm{C}_k$ などとしるせば,肝心の $n$ や $k$ が目立たないのを嫌うからである.すなわち\[\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k\ \!!},\hspace{1cm}ただし\hspace{5mm}\binom{n}{0}=1.\] このような恒等式はつまり $\S\ 1$ に掲げた $(\ 1\ )\sim(\ 9\ )$ の原則のみによって証明できるものであるから,たとえ文字が実数を表わすものとして導き出されたものでも,文字が複素数を表わす場合にも,そのまま成り立つのである.ただし数量的の仮定(大小の関係)を根拠とするものはこの限りでない.たとえば $a$,$b$ が実数ならば,$a^2+b^2=0$ から $a=0$,$b=0$ を得るが,複素数の場合には,それが許されないことはもちろんである($i^2+1^2=0$ から,$1=0$,$i=0$ は出て来ない!).
$\boldsymbol{2.}$ 多項式の四則の理論を系統的に述べることは留保して,ここでは多項式の Taylor 展開を説明する.
$n$ 次の多項式\[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_kx^k+\cdots+a_nx^n\]において,$x$ に $x+h$ を代入すれば\[f(x+h)=a_0+a_1(x+h)+a_2(x+h)^2+\cdots+a_k(x+h)^k+\cdots+a_n(x+h)^n.\]各項を二項式定理によって展開すれば,\begin{alignat*}{1}f(x+h)&=a_0\\[2mm]&\ +a_1x+a_1h\\[2mm]&\ +a_2x^2+2a_2xh+a_2h^2\\[2mm]&\ +\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\\[2mm]&\ +a_nx^n+\binom{n}{1}a_nx^{n-1}h+\binom{n}{2}a_nx^{n-2}h^2+\cdots+a_nh^n.\end{alignat*} これを $h$ の昇冪に排列すれば,$h$ の各冪の係数は $x$ の多項式になるが,特に $h$ を含まない項はすなわち $f(x)$ に等しい.いま $h^k$ の係数を\[\frac{\ f^{(k)}(x)\ }{k\ \!!}\]としるして\[f(x+h)=f(x)+f^\prime(x)h+\frac{f^{\prime\prime}(x)}{2!}h^2+\cdots+\frac{f^{(k)}(x)}{k!}h^k+\cdots+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}h^n\tag{$\ 1\ $}\]とおけば,\begin{alignat*}{1}f(x)&=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_kx^k+\cdots+a_nx^n,\\[2mm]f^\prime(x)&=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots+ka_kx^{k-1}+\cdots+na_nx^{n-1},\\[2mm]f^{\prime\prime}(x)&=2a_2+6a_3x+\cdots+k(k-1)a_kx^{k-2}+\cdots+n(n-1)a_nx^{n-2},\cdots\\[2mm]f^{(k)}(x)&=1\ldotp2\ldotp\cdots ka_k+2\ldotp3\ldotp\cdots(k+1)a_{k+1}x+\cdots+(n-k+1)\cdots na_nx^{n-k},\\[2mm]\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp&\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\\[2mm]f^{(n)}(x)&=1\ldotp2\ldotp\cdots na_n\end{alignat*}で,$f(x)$ から $f^\prime(x)$ を作るのと同様の操作で,$f^\prime(x)$ から $f^{\prime\prime}(x)$ を得,$f^{\prime\prime}(x)$ から $f^{\prime\prime\prime}(x)$ を得る.以下同様である.
$f^\prime(x)$,$f^{\prime\prime}(x)$,$\cdots$ を $f(x)$ の第一,第二$\cdots$導函数という.
これらは微分法で用いられる記号および術語であるが,多項式の場合には,微分によらないで,導函数を導き出すことができるのである.
$(\ 1\ )$ において,$x$ に $\alpha$ を代入し,$h$ に $x-a$ を代入すれば,次のようになる.\[f(x)=f(\alpha)+f^\prime(\alpha)(x-\alpha)+\frac{f^{\prime\prime}(\alpha)}{2!}(x-\alpha)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}(x-\alpha)^n.\tag{$\ 2\ $}\]すなわち $f(x)$ が $x-\alpha$ に関する多項式として表わされる.これが $x-\alpha$ に関する $f(x)$ の Taylor 展開である.
$\boldsymbol{3.}$ 公式 $(\ 2\ )$ は微分法への連絡のために,あのような形に導いたのであるが,多項式 $f(z)$ を $z-\alpha$ の昇冪に展開することは,割り算でできる.すなわち,$f(z)$ を $z-\alpha$ で割って,商を $f_1(z)$,剰余を $A$ とすれば,\[f(z)=A+(z-\alpha)f_1(z).\]$f_1(z)$ を $z-\alpha$ で割って,商を $f_2(z)$,剰余を $B$ とすれば,\[f_1(z)=B+(z-\alpha)f_2(z).\]それを上の等式に代入して,\[f(z)=A+B(z-\alpha)+(z-\alpha)^2f_2(z).\]$f(z)$,$f_1(z)$,$f_2(z)$,$\cdots$の次数は一つずつ低くなるから,$f(z)$ を $n$ 次とすれば,このような操作を続行して\[f(z)=A+B(z-\alpha)+C(z-\alpha)^2+\cdots+L(z-\alpha)^n\]を得る.係数 $A$,$B$,$\cdots$,$L$ が $(\ 2\ )$ において次のようにしるされてあるのである.\[A=f(\alpha),\hphantom{A}B=\frac{f^\prime(\alpha)}{1!},\hphantom{A}C=\frac{f^{\prime\prime}(\alpha)}{2!},\hphantom{1}\cdots,\hphantom{1}L=\frac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}.\] いま\[f(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_n\]とおけば,$f(z)$ を $z-\alpha$ で割るとき,商 $f_1(z)=q_0z^{n-1}+q_1z^{n-2}+\cdots+q_{n-1}$ の係数と,剰余 $A=f(\alpha)$ とは次のようにして計算することができる.\[q_0=a_0,\hphantom{q}q_1=q_0\alpha+a_1,\hphantom{q}q_2=q_1\alpha+a_2,\ \cdots,\ q_{n-1}=q_{n-2}\alpha+a_{n-1},\hphantom{q}A=q_{n-1}\alpha+a_n.\] 実際,$(z-\alpha)f_1(z)=q_0z^n+(q_1-q_0\alpha)z^{n-1}+(q_2-q_1\alpha)z^{n-2}+\cdots+(q_{n-1}-q_{n-2}\alpha)z-q_{n-1}\alpha$ であるから,上のとおりで,ちょうど\[f(z)=(z-\alpha)f_1(z)+A\]になる.
ゆえに実際の計算において,$q_0$,$q_1$,$\cdots$,$q_{n-1}$ と $A$ とを求めるには,次のように演算をすることができる.
$a_0\hphantom{a}$ | $a_1$ | $a_2$ | $\cdots\hphantom{\cdots}\cdots\hphantom{\cdots}\cdots\hphantom{a}a_{n-1}$ | $a_n$ | |||
$+\hphantom{1}$ | $q_0\alpha\hphantom{a}$ | $q_1\alpha\hphantom{a}$ | $\cdots\hphantom{\cdots}\cdots\hphantom{\cdots}\cdots\hphantom{a}q_{n-2}\alpha\hphantom{a}$ | $q_{n-1}\alpha$ | |||
$q_0\vphantom{\frac{1}{1}}$ | $q_1$ | $q_2$ | $\cdots\hphantom{\cdots}\cdots\hphantom{\cdots}\cdots\hphantom{a}q_{n-1}$ | $A$ |
$q_0$,$q_1$,$q_2\cdots$,$q_{n-1}$ に同様の操作を行なえば $f_2(z)$ の係数と最後に $B$ とを得る.このような演算で次々に $A$,$B$,$\cdots$,$L$ が求められる.いわゆる Horner 式の計算法である.
〔例〕 $f(x)=3x^4-17x^3+30x^2-17x+6$ を $x-2$ の冪に展開すること.
$\hphantom{11}$ | $3$ | $-$ | $17$ | $+$ | $30$ | $-$ | $17$ | $+$ | $6$ | |||||||
$+$ | $\hphantom{1}6$ | $-$ | $22$ | $+$ | $16$ | $-$ | $2$ | |||||||||
$3$ | $-$ | $11$ | $+$ | $\hphantom{1}8$ | $-$ | $\hphantom{1}1$ | $\ \!+$ | $4$ | $=$ | $f$ | $(\!$ | $2)$ | ||||
$+$ | $\hphantom{1}6$ | $-$ | $10$ | $-$ | $\hphantom{1}4$ | |||||||||||
$3$ | $-$ | $\hphantom{1}5$ | $-$ | $\hphantom{1}2$ | $\ \!-$ | $5$ | $=$ | $f^\prime$ | $(2)$ | |||||||
$+$ | $\hphantom{1}6$ | $+$ | $\hphantom{1}2$ | |||||||||||||
$3$ | $+$ | $\hphantom{1}1$ | $\ 0=$ | $\dfrac{\hphantom{1}f^{\prime\prime}(2)\hphantom{1}}{2}$ | ||||||||||||
$+$ | $\hphantom{1}6$ | |||||||||||||||
$3\vphantom{\dfrac{\hphantom{1}f^I\hphantom{1}}{24}}$ | $\ \!+7\vphantom{\dfrac{f^I}{2}}$ | $=\dfrac{\ f^{\prime\prime\prime}(2)\ }{6}$ | $\hphantom{1}3=\dfrac{\hphantom{1}f^\mathrm{IV}\hphantom{1}}{24}.$ |
$\boldsymbol{4.}$ 多項式 $f(x)$ が,$x=\alpha$ なる値を与えるときに $0$ になるならば,すなわち $f(\alpha)=0$ ならば,$x=\alpha$ はすなわち方程式 $f(x)=0$ の根である.または略して $\alpha$ を多項式 $f(x)$ の根ともいう.この場合には,$(\ 2\ )$ から見えるように,$f(x)$ は $x-\alpha$ で割り切れる.
一次以上の多項式は必ず根をもつ.これはいわゆる代数学の基本定理であるが,いま仮にこれを承認して,$\alpha$ を $n$ 次の多項式\[f(x)=ax^n+bx^{n-1}+\cdots+l\hspace{1cm}(a\neq0)\]の根とし,\[f(x)=(x-\alpha)f_1(x)\]とおけば,$f_1(x)=ax^{n-1}+\cdots$ は $n-1$ 次の多項式である.いま $\beta$ を $f_1(x)$ の根として\[f_1(x)=(x-\beta)f_2(x),\hspace{1cm}f_2(x)=ax^{n-2}+\cdots\]とおけば,上の等式に代入して\[f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)f_2(x).\]このような操作を続行して,ついに\[f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)\cdots(x-\lambda)\]のように,$f(x)$ が $n$ 個の一次因数の積に分解される.
次に($\S\ 9$)代数学の基本定理を証明するから,上のような因数分解の可能であることが確定するが,結果をここに掲出して目標を示しておくのである.