第 $3$ 章 スツルムの問題$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$根の計算
$\S\ 15.$ Sturm の 定 理
$\boldsymbol{1.}$ 実係数をもつ方程式\[f(x)=0\]が与えられた区間\[a\leqq x\leqq b\]の中にいくつの実根をもつかを決定することを Sturm の問題という．これは古い問題であるが，$1829$ 年に至って Sturm が初めて完全な解決を与えたのである．この問題が解決されたとするならば，定理 $2.\ 2$ に述べたように，$f(x)$ の根の絶対値の限界は知れるから（$\S\ 19$ 参照），その限界を $l$ として，区間 $-l\lt x\lt l$ における実根の数を求めると，それがすなわち実根の総数である．
この区間をしだいに細分して，その各区間における実根の数を求めるならば，ついに各 $1$ 個ずつの実根を含む区間に達することができる．このような区間を求めることを実根の分離という．すなわち，任意の区間に関して Sturm の問題が解かれるならば，実根分離の問題が解かれるはずである．
$1$ 個の実根を含む区間をさらに細分して，各区間に関して実根の数（$0$ または $1$）を定めることができるから，この操作を継続すれば，一つの実根を含むどんなに小さな区間でも求めることができる．いま，区間 $a\lt x\lt b$ が一つの実根を含み，その区間の幅 $b-a$ がたとえば $0.001$ に等しいとすれば，区間の限界 $a$ または $b$ をその根の近似値としてとるとき，誤差は $0.001$ 以下である．ゆえに Sturm の問題が解かれるならば，実根の近似的計算ができる．ここに Sturm の問題の重要性がある．
$\boldsymbol{2.}$ Sturm の問題は Euclid の算法（最大公約数を求める互除法）によって解かれる．多項式 $f(x)$ とその導函数 $f^\prime(x)$ とから次々に出て来る剰余の符号を変えながら互除法を行なう．
| すなわち | \[f_{h-1}(x)=q_h(x)f_h(x)-f_{h+1}(x)\] | \[\tag{$\ 1\ $}\] |
さて $x$ のある値に対する，これらの函数\[f(x),\ f^\prime(x),\ f_2(x),\ \cdots,\ f_l(x)\tag{$\ 2\ $}\]の値の符号を左から右へ見て行って，同じ符号が続くところ（記号 $P$）と符号が変わるところ（記号 $V$）とを数えて，その総数をそれぞれ $P(x)$，$V(x)$ とする．ただし $(\ 2\ )$ の値の中に $0$ になるものがあれば，それは飛ばして $P$，$V$ を数えるのである．この記号 $P(x)$，$V(x)$ は今後も同様の意味でしばしば用いるであろう．
このような記号を用いて Sturm の定理を次のように述べることができる．
〔定理 $\boldsymbol{3.\ 1}$〕（Sturm の定理）方程式 $f(x)=0$ が\[a\lt x\leqq b\]なる区間においてもつ実根を単根複根の区別なしに（複根を一つの根として）数えて，その数を $N_0$ とする．
また $(\ 2\ )$ の函数列\[f(x),\ f^\prime(x),\ f_2(x),\ \cdots,\ f_l(x)\tag{$\ 2\ $}\]において区間の両端 $x=a$ および $x=b$ に対する符号の変りの数を $V(a)$ および $V(b)$ とする．しからば\[N_0=V(a)−V(b).\] ただし，区間の一端 $x=a$ が $f(x)=0$ の $k$ 重の複根である場合には，$(\ 2\ )$ の各函数を共通の因数 $(x-a)^{k-1}$ で割った上で $V(a)$ を求めるのである．$x=b$ に関しても同様である．
〔証〕 $x$ が $a$ から $b$ まで変動する間に $V(x)$ の数に変化の生ずるのは，$z$ が $(\ 2\ )$ のある函数を $0$ にするような値を通過するときに限ることは明白である（多項式の連続性）．
まず $x=x_0$ が $f(x)=0$ の根であるときに，$x_0$ の直前と直後とで $f$ と $f^\prime$ との間において $V$ の数が $1$ 個減少する．すなわち $x$ が増大しつつ $x_0$ を通過するときに $f(x)f^\prime(x)$ の符号が $-$ から $+$ 変わる．それを見るには $x_0$ を $f(x)$ の $k$ 重根として（$k\geqq1$）\[f(x)=(x-x_0)^k\varphi(x)\]とおけば\[\frac{\ f^\prime(x)\ }{f(x)}=\frac{k}{x-x_0}+\frac{\ \varphi^\prime(x)}{\varphi(x)}\]（$\S\ 11$）で，$x=x_0$ のとき $\varphi(x)$ は $0$ にならないから，右辺の第 $2$ 項 $\dfrac{\varphi^\prime(x)}{\varphi(x)}$ は $x_0$ において連続で，$x_0$ の付近では有限な限界内に止まるのに，第 $1$ 項 $\dfrac{k}{x-x_0}$ は $x$ が $x_0$ に近づくとき，$x\lt x_0$ または $x\gt x_0$ にしたがって，$-\infty$ または $+\infty$ になる．ゆえに $x$ が増大しつつ $x_0$ を通過するとき $\dfrac{\ f^\prime(x)\ }{f(x)}$ の符号は $-$ から $+$ に変わる．
ゆえに $f(x)$ と $f^\prime(x)$ との間では，$x_0$ の直前においては符号の変りがあり，$x_0$ の直後では符号の変りがない，すなわち $x$ が $x_0$ を通過するとき，符号の変りが $1$ 個減少する．
なお精密にいえば，$V(x)$ を数えるとき，函数列の中で $0$ になるものは省くという規約であるから，$x=x_0$ のとき $f$，$f^\prime$ の間に符号の変りがない．すなわち $x$ が増大しつつ $x_0$ に到達する瞬間に $f$ と $f^\prime$ との間に符号の変りが $1$ 個減少するのである．
次に $x=x_0$ のとき，$(\ 2\ )$ の中間の函数 $f_h(x)$（$0\lt h\lt l$）が $0$ になる場合において，もしも同時に $f_{h+1}(x)$ が $0$ にならなければ，$(\ 1\ )$ によって $f_{h-1}(x)$ も $0$ にならず，かつ $f_{h+1}(x_0)$ と反対の符号をもつ．ゆえに多項式の連続性によって，$x=x_0$ の直前でも，直後でも，$f_{h-1}(x)$ と $f_{h+1}(x)$ とは反対の符号をもつから，$f_h(x)$ の符号に関係なく $f_{h-1}$，$f_h$，$f_{h+1}$ の間の符号の変りは $1$ 個である（$+\pm-$ または $-\pm+$）．したがって $x$ が $x_0$ を通過するとき，これら三つの函数の間における符号の変りの数に増減がない．
$x=x_0$ において $f_h(x_0)$ と同時に $f_{h+1}(x_0)$ が $0$ になるときには，$(\ 1\ )$ によって $(\ 2\ )$ の各函数が $0$ になる．すなわち $x=x_0$ が $f(x)$ の複根である場合である．いま $x=x_0$ が $f(x)$ の $k$ 重の複根であるとすれば，$(\ 2\ )$ の各函数は $(x-x_0)^{k-1}$ で割り切れる．この共通因子を取り除いた跡の函数を\[\varphi(x),\ \varphi_1(x),\ \cdots,\ \varphi_{h-1}(x),\ \varphi_h(x),\ \varphi_{h+1}(x),\ \cdots,\ \varphi_l(x)\tag{$\ 3\ $}\]とすれば，$x=x_0$ のときもはやこれらの函数が二つ引き続いて $0$ になることはない．しかるに $(\ 1\ )$ によって\[\varphi_{h-1}(x)=q_h(x)\varphi_h(x)-\varphi_{h+1}(x)\hspace{1cm}(h=1,\ 2,\ \cdots,\ l-1)\]であるから，$x=x_0$ のとき $(\ 3\ )$ の中に $0$ になるものがあるとしても，$x_0$ の直前と直後とにおいて，$\varphi_1$ から $\varphi_l$ までの間には $V$ の増減はないことは前の通りである．共通の因子 $(x-x_0)^{k-1}$ を回復してもとの函数列 $(\ 2\ )$ に返っても，$x_0$ の直前直後における符号の変りの数には影響はないから，$f^\prime(x)$ から $f_l(x)$ までの間では，$x_0$ の直前と直後とにおいて $V$ の数に増減はないが，ただこの場合には，初めにいった通り，$f$ と $f^\prime$ との間において，$V$ の数が $1$ 個減少するのである．
なお $(\ 2\ )$ の最後の函数 $f_l(x)$ が $x=x_0$ のときに $0$ になるのは，すなわち $x_0$ が $f(x)$ の複根になる上の場合である．
よって $x=a$，$x=b$ が $f(x)$ の根でないとすれば，$x$ が $a$ から $b$ まで変わるとき，$V(x)$ は $x$ が $f(x)$ の単根または複根を通過するごとに $1$ 個ずつ減少するだけであるから，定理にいう通り\[N_0=V(a)−V(b)\tag{$\ 4\ $}\]である．
$x=a$ または $x=b$ が $f(x)$ の単根であるときは，上の説明によって明らかな通り $V(a)$，$V(b)$ は $a$ または $b$ の直後における $V(x)$ に等しいから，$V(a)−V(b)$ は $a$ の直後から $b$ の直後までの根の数である．それはすなわち区間\[a\lt x\leqq b\]における根の数に等しい．このように区間の左端は開放し，右端は閉鎖することにすれば，$(\ 4\ )$ がやはり成り立つのである．
ただ $x=a$ が $f(x)$ の複根であるときには，$x=a$ に対して $(\ 2\ )$ の函数が全部 $0$ になるから，$a$ の直後における $V(x)$ を $V(a)$ から求めることができない．この場合には共通因子 $(x-a)^{k-1}$ または $f_l(x)$ を取り除いて $V(a)$ を求めねばならない．$x=b$ に関しても同様である．
実際に，函数列 $(\ 2\ )$ を計算することは $f$ がやや高次でもかなりわずらわしく，また $x$ のある値に対する $(\ 2\ )$ の値を計算することは面倒であるが，入用なのは $(\ 2\ )$ の値その物ではなくて，ただ符号だけがわかればよいのだから， $^{\large*}\ $Runge（Enzyklopaedie der mathematischen Wissenschaften, I）による．$(\ 2\ )$ の多項式の係数を近似的に求めておけば十分である．一般的には，計算尺を用いて各係数を $3$ 桁も出せばよい．次に一つの例を掲げる．$\large*$
| 〔例〕 | $\begin{alignat*}{1}&f(x)\hphantom{_1}=3.22x^6+4.12x^4+3.11x^3-7.25x^2+1.88x-7.84,\\&f^\prime(x)=19.32x^5+16.48x^3+9.33x^2-14.50x+1.88,\\&f_2\hphantom{(x)}=-1.37x^4-1.55x^3+4.8x^2-1.57x+7.84,\\&f_3\hphantom{(x)}=-109x^3+89.9x^2-121x+123,\\&f_4\hphantom{(x)}=-4.16x^2+0.15x-4.83,\\&f_5\hphantom{(x)}=-8.8x-23.3,\\&f_6\hphantom{(x)}=+34.4.\end{alignat*}$ | ||||||||||||||
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ゆえに正根負根各 $1$ 個である．$|x|\geqq2$ という実根のないことは $f(x)$ の形を一見して知られる．よって $V(1)$，$V(-1)$ を計算すれば，正根は区間 $(1,\ 2)$ に，負根は区間 $(-2,\ -1)$ にあることがわかる．
〔注意〕 上の例では，$f_4$ が常に負であるから，函数列を $f_4$ で打ち切ってさしつかえない．Sturm の定理の証明に立ち返って見れば，函数列 $(\ 2\ )$ の中に問題の区間 $(a,\ b)$ において一定の符号をもつものがあるとき，それを最後の函数としてよいことが知られるであろう．