第 $3$ 章 スツルムの問題$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$根の計算
$\S\ 19.$ 根 の 限 界
$\boldsymbol{1.}$ 根の分離をするのには，根の限界を求めることが重要である．すべての根が絶対値において $r$ を越えないとき，$r$ を根の限界というのである．〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 方程式（任意係数）\[z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_n=0\tag{$\ 1\ $}\]の根の一つの限界が\[r^n-|a_1|r^{n-1}-|a_2|r^{n-2}-\cdots-|a_n|=0\tag{$\ 2\ $}\]のただ一つの正根 $r_0$ によって与えられる．
〔解〕 Descartes の符号律によって $(\ 2\ )$ は一つの正根をもつ．それを $r_0$ とすれば，$r\gt r_0$ のとき，$(\ 2\ )$ の左辺は正である．ゆえに $|z|\gt r_0$ とすれば，\[|z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_n|\geqq|z^n|-(|a_1z^{n-1}|+|a_2z^{n-2}|+\cdots+|a_n|)\gt0.\] 〔注意〕 上の式で $\geqq$ のところ，一般には等号は成り立たないから，$|z|=r_0$ なる根もないが，ただきわめて特別な例外の場合がある．それは\[\operatorname{arc}z^n+\pi=\operatorname{arc}\ \!a_1z^{n-1}=\operatorname{arc}\ \!a_2z^{n-2}=\cdots=\operatorname{arc}\ \!a_n\]であるときである．そのとき $\operatorname{arc}z=\theta$ とすれば\[\operatorname{arc}\ \!a_1=\pi+\theta,\hphantom{a}\operatorname{arc}\ \!a_2=\pi+2\theta,\ \cdots,\hphantom{a}\operatorname{arc}\ \!a_n=\pi+n\theta.\]ゆえに $w=\cos\theta+i\sin\theta$ とすれば\[a_1=-|a_1|\ \!\omega,\hphantom{a}a_2=-|a_2|\ \!\omega^2,\hphantom{a}\cdots,\hphantom{a}a_n=-|a_n|\ \!\omega^n.\]そこで $z=r_0\ \!\omega$ を原方程式に代入すれば，$\omega^n$ で割った後\[r_0{}^n-|a_1|\ \!r_0{}^{n-1}-|a_2|\ \!r_0{}^{n-2}-\cdots-|a_n|=0.\]すなわち $z=r_0\ \!\omega$ が根である．ゆえに $|z|=r_0$ なる根があっても，それはただ一つである．
〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 方程式 $(\ 1\ )$ において係数 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ の最大絶対値を $M$ とすれば，$1+M$ が根の限界である．
〔解〕 $r\gt1+M$ とすれば\[\frac{|a_1|}{r}+\frac{|a_2|}{r^2}+\cdots+\frac{|a_n|}{r^n}\lt M\left(\frac{1}{1+M}+\frac{1}{(1+M)^2}+\cdots\right)=1\tag{$\ 3\ $}\]ゆえに $(\ 2\ )$ の左辺は正．したがって $r_0\lt1+M$．
〔注意〕 $(\ 1\ )$ において $z^n$ の係数が $1$ にしてあることに注意を要する．
〔問題 $\boldsymbol{3}$〕 方程式 $(\ 1\ )$ において\[\operatorname{Max}\ \!\!\left(n|a_1|,\ \sqrt{n|a_2|},\ \sqrt[\large 3]{n|a_3|},\ \cdots,\\ \sqrt[\large n]{n|a_n|}\right)\]が根の限界である．
〔注意〕 $\operatorname{Max}\ \!\!(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_m)$ は $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_m$ の中の最大値を表わす．
〔解〕 この最大値を $G$ とすれば，$r\gt G$ のとき $(\ 3\ )$ の左辺の各項が $\dfrac{1}{n}$ よりも小になる．
〔問題 $\boldsymbol{4}$〕 実係数の方程式\[x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0\]において，負の係数は $k$ 個あるとして，それらは $a_\alpha$，$a_\beta$，$a_\gamma$，$\cdots$ とすれば\[\operatorname{Max}\ \!\!\left(\sqrt[\large \alpha]{k|a_\alpha|},\hphantom{1}\sqrt[\large \beta]{k|a_\beta|},\hphantom{1}\sqrt[\large \gamma]{k|a_\gamma|},\ \cdots\right)\]が正根の限界である．
〔解〕 この最大絶対値を $G$ とすれば，$x\gt G$ のとき\[1+\frac{\ a_1\ }{x}+\frac{\ a_2\ }{x^2}+\cdots+\frac{\ a_n\ }{x^n}\gt0.\]各負項の絶対値が $\dfrac{\hphantom{1}1\hphantom{1}}{k}$ よりも小さくて，すべて負項を合わせても，絶対値が $1$ にすら達しないから．
〔問題 $\boldsymbol{5}$〕 実方程式\[f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0,\hspace{1cm}a_0\gt0\]において，$a_\nu$ が最初の負係数で，すべての負係数の最大絶対値が $N$ ならば\[1+\sqrt[\large \nu-k]{\frac{N}{\ a_0+a_1+a_2+\cdots+a_k}}\hspace{1cm}(k=0,\hphantom{1}1,\hphantom{1}\cdots,\hphantom{1}\nu-1)\]が正根の限界である．
特に $k=0$，$k=\nu-1$ とすれば，$1+\sqrt[\large \nu]{\dfrac{\ N\ }{a_0}}$ または $1+\dfrac{N}{\ a_0+a_1+\cdots+a_{\nu-1}\ }$ が正根の限界である．
〔解〕 正項は控え目に，負項は余計に書けば，（$x\gt1$）\begin{alignat*}{1}\frac{f(x)}{x^{n-\nu}}&\gt(a_0+a_1+\cdots+a_k)x^{\nu-k}-N\left(1+\frac{1}{x}+\cdots\right)\\[2mm]&=(a_0+a_1+\cdots+a_k)x^{\nu-k}-\frac{Nx}{x-1}\\[2mm]&=\{(a_0+a_1+\cdots+a_k)x^{\nu-k-1}(x-1)-N)\frac{x}{x-1}\\[2mm]&\gt\{(a_0+a_1+\cdots+a_k)(x-1)^{\nu-k}-N\}\frac{x}{x-1}\end{alignat*} ゆえに $x-1\gt\sqrt[\large \nu-k]{\dfrac{N}{a_0+a_1+\cdots+a_k}}$ とすれば，$f(x)\gt0$．
〔注意〕 上の限界 $1+\dfrac{N}{a_0+a_1+\cdots+a_{\nu-1}}$ よりは，一般に次の限界がよい．すなわち各負係数を，それに先だつ正係数の和で割った商の最大値に $1$ を加えたものが，正根の限界である．
たとえば $f(x)=ax^5+bx^3-cx^2+dx-e$，（$a$，$b$，$c$，$d$，$e\gt0$）において，$x\gt1$ とすれば，\[f(x)=ax^5+bx^3-cx^2+dx-e=(x-1)\{ax^4+ax^3+(a+b)x^2+(a+b)x+(a+b+d)\}\]\[+a+b+d-cx^2-e\gt\{(a+b)(x-1)-c\}x^2+\{(a+b+d)(x-1)-e\}.\]ゆえに $x-1\gt\dfrac{c}{a+b}$，$x-1\gt\dfrac{e}{a+b+d}$ であるとき，$f(x)\gt0$．
問題 $1\sim5$ を $\S\ 15.$（$85$ 頁）に掲げた\[f(x)=3.22x^6+4.12x^4+3.11x^3-7.25x^2+1.88x-7.84\]に応用して見る（四桁対数表または計算尺を使用）．
根の絶対値の限界として，問題 $2$ からは $1+\dfrac{\ 7.84\ }{3.22}=3.5$ を得る．また問題 $3$ から $\sqrt{\dfrac{6\times4.12}{3.22}\ }=2.8$ を得る．しかし\[3.22|x|^6\gt7.84\frac{|x|^5-1}{|x|-1},\hphantom{1}いわんや\hphantom{1}3.22|x|^6\gt7.84\frac{|x|^5}{|x|-1}\]ならば，$|f(x)|\gt0$ である．すなわち $|x|(|x|-1)\gt\dfrac{7.84}{3.22}=2.43$．これは $|x|\geqq2.2$ のときに成り立つから，$2.2$ が根の絶対値の限界である．
次に正根の限界としては，問題 $4$ から $\sqrt[\large 4]{\dfrac{2\times7.25}{3.22}}=1.5$，問題 $5$ から $1+\sqrt[\large 4]{\dfrac{7.84}{3.22}}=2.3$，同じく注意から $1+\dfrac{7.25}{\ 3.22+4.12+3.11\ }=1.7$ を得る．しかし，$f(x)=(3.22x^6-7.84)+(4.12x^2+3.11x-7.25)x^2+1.88x$ で，第一の括弧は $x\gt\sqrt[\large 6]{\dfrac{7.84}{3.22}}=1.16$ のとき正になり，第二の括弧は $x\gt1.01$ でもすでに正になるから，正根の限界として $1.16$ を取ってよい．
〔問題 $\boldsymbol{6}$〕 実方程式\[a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0\]において，$a_0\gt a_1\gt a_2\gt\cdots\gt a_n\gt0$ ならば，根の絶対値は $1$ よりも小さい（掛谷の定理）．
〔解〕 $(x-1)(a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n)=a_0x^{n+1}-(a_0-a_1)x^n-\cdots-(a_{n-1}-a_n)x-a_n$．この積に問題 $1$ を応用する．そのとき，$r_0=1$．$x=1$ は原方程式に適しない（問題 $1$ 注意参照）．
〔問題 $\boldsymbol{7}$〕 実方程式\[a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0\]において，係数が同符号（正とする）ならば，根は $r\leqq|x|\leqq r^\prime$ なる円輪内にある．ただし $r$，$r^\prime$ はそれぞれ\[\frac{\ a_1\ }{a_0},\ \frac{\ a_2\ }{a_1},\ \cdots,\ \frac{\ a_n\ }{a_{n-1}}\]の中の最小値および最大値である．
〔解〕 $x=rx^\prime$ または $x=r^\prime x^\prime$ とおいて方程式を変形すれば係数が単調に増大または減少するようになる．そこで前の問題を応用する．