代 数 学 講 義 改訂新版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 28.$ 終結式  $\S\ 30.$ 置換 $\blacktriangleright$

『代数学講義』目次へ



第 $5$ 章 対 称 式$\hspace{0.5mm}$,$\hspace{-0.5mm}$置 換


 $\S\ 29.$ 判別式および終結式の不変性

 $\boldsymbol{1.}$ 方程式\[f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0\]の根を $x_1$,$x_2$,$\cdots$,$x_n$ とすれば\[f(x)=a_0(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n).\] いま一次変形\[x=\frac{\hphantom{1}\alpha x^\prime+\beta\hphantom{1}}{\gamma x^\prime+\delta}\tag{$\ 1\ $}\]によって未知数を $x$ から $x^\prime$ に変えるために,この一次式を $f(x)$ に代入して $(\gamma x^\prime+\delta)^n$ を掛けて分母を払えば,\[a_0(\alpha x^\prime+\beta)^n+a_1(\alpha x^\prime+\beta)^{n-1}(\gamma x^\prime+\delta)+\cdots+a_n(\gamma x^\prime+\delta)^n=0.\] これを整頓して\[f^\prime(x^\prime)=a_0{}^\prime x^{\prime\ n}+a_1{}^\prime x^{\prime\ n-1}+\cdots+a_n{}^\prime=0\]を得るとする($f^\prime$ は導函数を示すのではないが,ここではまぎれる心配はない).$a_0{}^\prime$,$a_1{}^\prime$,$\cdots$,$a_n{}^\prime$ は $a_0$,$a_1$,$\cdots$,$a_n$ に関しては一次,$\alpha$,$\beta$,$\gamma$,$\delta$ に関しては $n$ 次である.特に\begin{alignat*}{1}&a_0{}^\prime=a_0\alpha^n+a_1\alpha^{n-1}\gamma+\cdots+a_n\gamma^n,\ \cdots\cdots\tag{$\ 2\ $}\\[2mm]&a_n{}^\prime=a_0\beta^n+a_1\beta^{n-1}\delta+\cdots+a_n\delta^n.\end{alignat*}また変形後の方程式 $f^\prime(x^\prime)=0$ の根を $x_1{}^\prime$,$x_2{}^\prime$,$\cdots$,$x_n{}^\prime$ とすれば\[x_1=\frac{\alpha x_1{}^\prime+\beta}{\gamma x_1{}^\prime+\delta},\hphantom{1}x_2=\frac{\alpha x_2{}^\prime+\beta}{\gamma x_2{}^\prime+\delta}\cdots,\hphantom{1}x_n=\frac{\alpha x_n{}^\prime+\beta}{\gamma x_n{}^\prime+\delta}.\] さて $f(x)$,$f^\prime(x^\prime)$ の判別式をそれぞれ $D$,$D^\prime$ とするとき,$D$ と $D^\prime$ との間にいかなる関係があるか.
 $D$ が $0$ になるときには $f(x)=0$ は複根をもつ,したがって $f^\prime(x^\prime)=0$ も複根をもつ.ゆえに $D^\prime$ も $0$ である.また逆に $D^\prime$ が $0$ ならば,$f^\prime(x^\prime)$,したがってまた $f(x)$ も複根をもつから,$D$ も $0$ である.$D$ は係数 $a$ の整函数,また $D^\prime$ は係数 $a^\prime$ の整函数で,$a^\prime$ は $a$ に関して一次であるから,$D^\prime$ はやはり $a$ の整函数で,しかも $a$ に関して $D$ と同次である.そうして $D$ を $0$ とする $a$ の値は同時に $D^\prime$ も $0$ とし,かつ $D$ は $a$ という文字に関しては分解することのできない函数であるから($149$ 頁,注意),$D^\prime$ は $D$ で割り切れなければならないが(定理 $4.\ 10$),次数の関係から,$D^\prime$ は $D$ と定数因子においてのみ異なり得る.
 これは明白であるが,あまりに一般的な定理を基礎にしての議論であるから,別に器械的の計算によってその結論を験証して見ることにする.その計算もきわめて簡単である.
 $(\ 1\ )$ から\[x_1{}^\prime=\frac{\delta x_1-\beta}{\ -\gamma x_1+\alpha\ },\hphantom{M}x_2{}^\prime=\frac{\delta x_2-\beta}{\ -\gamma x_2+\alpha\ },\hphantom{1}\cdots.\]ゆえに\[x_1{}^\prime-x_2{}^\prime=\frac{\ (\alpha\delta-\beta\gamma)(x_1-x_2)\ }{(\alpha-\gamma x_1)(\alpha-\gamma x_2)},\hphantom{1}\cdots.\]よって\[D^\prime=a_0{}^{\prime\ 2(n-1)}{\textstyle\prod}(x_1{}^\prime-x_2{}^\prime)^2=(\alpha\delta-\beta\gamma)^{n(n-1)}\frac{a_0{}^{\prime\ 2(n-1)}\prod(x_1-x_2)^2}{[\hspace{0.01em}\prod(\alpha-\gamma x_1)]^{2(n-1)}}.\] さて\[{\textstyle\prod}(\alpha-\gamma x_1)=\gamma^n{\textstyle\prod}\left(\frac{\alpha}{\gamma}-x_1\right)=\gamma^n\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{\hphantom{1}1\hphantom{1}}{a_0}f\left(\frac{\alpha}{\gamma}\right),\]また $(\ 2\ )$ から\[a_0{}^\prime=\gamma^nf\left(\frac{\ \alpha\ }{\gamma}\right),\]よって\[D^\prime=(\alpha\delta-\beta\gamma)^{n(n-1)}D.\]すなわち上述の通りで,かつ $D^\prime$ を得るために $D$ に掛けるべき定数因子が求められたのである.
 また $f(x)$ のほかに $g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m$ においても同一の一次変形 $(\ 1\ )$ を行なって $g^\prime(x^\prime)=b_0{}^\prime x^{\prime\ m}+b_1{}^\prime x^{\prime\ m-1}+\cdots+b_m{}^\prime$ を得るとするとき,$f(x)$,$g(x)$ の終結式を $R$,$f^\prime(x^\prime)$,$g^\prime(x^\prime)$ の終結式を $R^\prime$ とすれば,$R$ と $R^\prime$ との間に次の関係がある.\[R^\prime=(\alpha\delta-\beta\gamma)^{mn}R.\]
 付記 このように多項式の変数に一次変形を行なうときには,多項式を斉次の形に書くのが便利である.一般に斉次の多項式を代数形式といい,変数の数によって二元(binary),三元(ternary),四元(quaternary)などという.一つの変数の多項式を斉次の形に書けば二元の代数形式を得る.代数形式論(または不変式論ともいう)では二元の代数形式を表わすときに,係数を二項係数に乗じた形におくのが便利である.すなわち\[f(x,\ y)=a_0x^n+\binom{n}{1}a_1x^{n-1}y+\binom{n}{2}a_2x^{n-2}y^2+\cdots+\binom{n}{1}a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n.\] この形式において\begin{alignat*}{1}x&=\alpha x^\prime+\beta y^\prime,\\[2mm]y&=\gamma x^\prime+\delta y^\prime\end{alignat*}を代入すれば,$f(x,\ y)$ は $x^\prime$,$y^\prime$ に関する $n$ 次の代数形式になる.\begin{alignat*}{1}&f^\prime(x^\prime,\ y^\prime)=a_0(\alpha x^\prime+\beta y^\prime)^n+\binom{n}{1}a_1(\alpha x^\prime+\beta y^\prime)^{n-1}(\gamma x^\prime+\delta y^\prime)\\[2mm]&\ +\binom{n}{2}a_2(\alpha x^\prime+\beta y^\prime)^{n-2}(\gamma x^\prime+\delta x^\prime)^2+\cdots+a_n(\gamma x^\prime+\delta y^\prime)^n\\[2mm]&=a_0{}^\prime x^{\prime\ n}+\binom{n}{1}a_1{}^\prime x^{n-1}y^\prime+\binom{n}{2}a_2{}^\prime x^{\prime\ n-2}y^{\prime\ 2}+\cdots+a_n{}^\prime y_n{}^\prime.\end{alignat*} ここで $a_0{}^\prime$,$a_1{}^\prime$,$\cdots$,$a_n{}^\prime$ は $a_0$,$a_1$,$\cdots$,$a_n$ に関しては斉次一次,$\alpha$,$\beta$,$\gamma$,$\delta$ に関しては斉次 $n$ 次である.
 さて原形式 $f(x,\ y)$ の係数の有理函数 $J(a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n)$ があって,変形後の形式 $f^\prime(x^\prime,\ y^\prime)$ の係数から同一の有理函数 $J(a_0{}^\prime,\ a_1{}^\prime,\ a_2{}^\prime,\ \cdots,\ a_n{}^\prime)$ を作るとき,その間に\[J(a^\prime)=C\hspace{0.7mm}\cdotp J(a)\tag{$\ 3\ $}\]のような関係があるときには,$J$ を $f(x,\ y)$ の不変式invariant)という.ただし $C$ は係数 $a$ を含まない定数で,一次変形の係数 $\alpha$,$\beta$,$\gamma$,$\delta$ のみを含むものである.また原係数および変形後の係数の代表として $a$,$a^\prime$ なる文字をおいたのである.
 たとえば判別式 $D$ は不変式である.
 また二つ以上の形式 $f(x,\ y)$,$g(x,\ y)$ に同一の一次変形を行なうとき,原形式 $g$ の係数を $b$ なる文字で表わし,変形後の係数を $b^\prime$ なる文字で表わすこととして,\[J(a^\prime,\ b^\prime)=C\hspace{0.7mm}\cdotp J(a,\ b)\tag{$\ 4\ $}\]のような関係が成り立つときには,$J(a,\ b)$ を $f$,$g$ の不変式(連合不変式)という.終結式がその一例である.
 形式の係数のみでなく,変数をも含む有理式 $K(a\ ;x\ ,y)$ において,$J$ と同様に\[K(a^\prime\ ;x^\prime\ ,y^\prime)=C\hspace{0.7mm}\cdotp K(a\ ;x\ ,y)\tag{$\ 5\ $}\]のような関係があるときは,$K$ を $f$ の共変式covariant)という.あるいはまた $K$ が二つ以上の形式 $f$,$g$,$\cdots$ の係数を含むこともあり,また二組以上の変数を含むこともある.ただしその場合には,各組の変数は同一の一次変形を受けるものとする.
 共変式の例としては $f$ のポーラー\begin{alignat*}{1}P_1(\xi,\ \eta\ ;\ x,\ y)&=\frac{1}{n}\left\{\xi\frac{\partial f}{\partial x}+\eta\frac{\partial f}{\partial y}\right\},\\[2mm]P_2(\xi,\ \eta\ ;\ x,\ y)&=\frac{1}{n(n-1)}\left\{\xi^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+2\xi\eta\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}+\eta^2\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\right\},\end{alignat*}または $f$ の Hesse 形式\[\frac{1}{n^2(n-1)^2}\left\{\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\ \frac{\partial^2f}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right)^2\right\}.\]などをあげることができる.
 上の定義における定数因子 $C$ は,実際は一次変形の係数の行列式 $\alpha\delta-\beta\gamma$ のある冪である.判別式および終結式の場合には,実際その通りであったが,それを一般に証明することも容易である.たとえば不変式 $(\ 3\ )$ において $a_0{}^\prime$,$a_1{}^\prime$,$\cdots$,$a_n{}^\prime$ は $a_0$,$a_1$,$\cdots$,$a_n$ に関しては斉次一次で,$\alpha$,$\beta$,$\gamma$,$\delta$ に関しては斉次 $n$ 次であるから,$C$ は $\alpha$,$\beta$,$\gamma$,$\delta$ に関する斉次式である.よってそれを\[C(\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta)\]としるす.さて逆の一次変形\[\begin{array}{lr}\begin{alignat*}{1}x&=\frac{1}{r}(\delta x^\prime-\beta y^\prime)\\[2mm]y&=\frac{1}{r}(-\gamma x^\prime+\alpha y^\prime)\end{alignat*}&\hspace{1em}(r=\alpha\delta-\beta\gamma)\end{array}\]を行なえば $a^\prime$ は $a$ に返り,$J(a^\prime)$ は $J(a)$ になるから,$(\ 3\ )$ によって\[J(a)=C\left(\frac{\delta}{r},\ \frac{-\beta}{r},\ \frac{-\gamma}{r},\ \frac{\alpha}{r}\right).\hphantom{1}J(a^\prime),\] したがって\[C(\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta)\hspace{0.7mm}\cdotp C\left(\frac{\delta}{r},\ \frac{-\beta}{r},\ \frac{-\gamma}{r},\ \frac{\alpha}{r}\right)=1.\] $C$ は斉次であるから,それを $m$ 次とすれば\[C(\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta)\hspace{0.7mm}\cdotp C(\delta,\ -\beta,\ -\gamma,\ \alpha)=\gamma^m\]ゆえに\[C=Nr^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{m}{2}}.\] $N$ はある数字係数である.しかるに $\alpha=1$,$\beta=0$,$\gamma=0$,$\delta=1$($x^\prime=x$,$y^\prime=y$)とすれば $r=1$,$C=1$.ゆえに $N=1$.また $m$ は偶数でなければならない.$(\ 4\ )$,$(\ 5\ )$ などの場合も同様である.
 〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 $f$ を不斉次の形に取って,その根を $\alpha_1$,$\alpha_2$,$\cdots$,$\alpha_n$ とするとき,根の対称式\[a_0^m{\textstyle\sum}(\alpha_h-\alpha_k)(\alpha_{h^\prime}-\alpha_{k^\prime})(\alpha_{h^{\prime\prime}}-\alpha_{k^{\prime\prime}})\cdots\]の各項が根の差の積で因数中に各根が同じ回数($m$)ずつ含まれているときは,この対称式を $f$ の係数の整式として $J(a)$ の形に表わせば,それは一つの不変式である.
 もし一般項の積に $(x-\alpha_i)$ のような因子が含まれるときには,共変式が得られる.
 〔解〕 不変性の証明は上の $D$ の場合($151\sim152$ 頁)と同様の計算による.
 たとえば,$f$ が四次式のとき
    \[a_0{}^2{\textstyle\sum}(\alpha_1-\alpha_2)^2(\alpha_3-\alpha_4)^2\hphantom{(\alpha_1-\alpha_3)(\alpha_2-\alpha_4)}\]$3$ 項の和
    \[a_0{}^3{\textstyle\sum}(\alpha_1-\alpha_2)^2(\alpha_3-\alpha_4)^2(\alpha_1-\alpha_3)(\alpha_2-\alpha_4)\]$6$ 項の和
は不変式である.これらの不変式は四次方程式の解法において出て来る($\S\ 36$).

 〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 二つの二次式\begin{alignat*}{4}f(x)&=a_0x^2&&+2a_1x&&+a_2&&\equiv a_0(x-\alpha_1)(x-\alpha_2),\\[2mm]g(x)&=b_0x^2&&+2b_1x&&+b_2&&\equiv b_0(x-\beta_1)(x-\beta_2)\end{alignat*}に関して\[\varDelta=a_0b_2+a_2b_0-2a_1b_1\]は不変式で,また\[F=(a_0b_1-a_1b_0)x^2+(a_0b_2-a_2b_0)x+(a_1b_2-a_2b_1)\]は共変式である.
 $\varDelta=0$ は $\alpha_1$,$\alpha_2$;$\beta_1$,$\beta_2$ が調和であるための条件である.また $F=0$ の根は $\alpha_1$,$\alpha_2$ をも $\beta_1$,$\beta_2$ をも調和に分離する.
 〔解〕 $k=\dfrac{\ \alpha_1-\beta_1\ }{\ \alpha_2-\beta_1\ }\ :\ \dfrac{\ \alpha_1-\beta_2\ }{\ \alpha_2-\beta_2\ }$ とおけば\begin{alignat*}{1}\frac{\ 1+k\ }{1-k}&=\frac{(\alpha_1-\beta_2)(\alpha_2-\beta_1)+(\alpha_1-\beta_1)(\alpha_2-\beta_2)}{(\alpha_1-\beta_2)(\alpha_2-\beta_1)-(\alpha_1-\beta_1)(\alpha_2-\beta_2)}\\[2mm]&=\frac{\ 2(\alpha_1\alpha_2+\beta_1\beta_2)-(\alpha_1+\alpha_2)(\beta_1+\beta_2)\ }{-(\alpha_1-\alpha_2)(\beta_1-\beta_2)}.\end{alignat*}
ゆえに$\left(\dfrac{1+k}{1-k}\right)^2=\dfrac{\varDelta^2}{\ 4(a_1{}^2-a_0a_2)(b_1{}^2-b_0b_2)\ }.$   
ゆえに $\varDelta=0$ は $k=-1$(調和)であるために必要かつ十分な条件である.
また $f$,$F$ から $\varDelta$ を作れば,それは $0$ になる:\[a_0(a_1b_2-a_2b_1)+a_2(a_0b_1-a_1b_0)-a_1(a_0b_2-a_2b_0)=0.\]ゆえに $F$ の二根は $\alpha_1$,$\alpha_2$ を調和に分離する.$\beta_1$,$\beta_2$ に関しても同様.
 調和の関係は一次変形によって変わらないから($\S\ 6$),$\varDelta$,$F$ が不変性をもつのである.
inserted by FC2 system