第 $8$ 章 行 列 式
$\S\ 43.$ 行 列 式 の 起 源
$\boldsymbol{1.}$ 行列式の起源は連立一次方程式の一般的解法にある．西洋の数学史では行列式は Leibniz の書簡（$1678$）中の記載を初出とするが，その書簡は後年に発見されたのである．その後 Cramer が曲線論に関する著書（$1750$）において任意数の未知数を含める一次方程式の解法を示してから，ようやく学界の注意をひき起こし，後に Cauchy（$1815$），Jacobi（$1841$）に至って，現今の行列式論の基礎が出来たのである．いまここで行列式論を説明するに当たって，行列式をすでに出来上がったものとして，突然その定義を述べることをしない．それはあまりに奇異の感を与えるであろう．われわれはむしろ Leibniz や Cramer やの立場に帰って，いかにして連立一次方程式の解法から，行列式なるものが自然に出て来ねばならないかを説明しようとするのである．
$\boldsymbol{2.}$ 二元一次方程式の解法は周知であるがわれわれはそれを出発点とする．二つの未知数 $x$，$y$ を含める連立一次方程式が次のような形\[\left.\begin{array}{c}a_1x+b_1y+c_1=0\\[2mm]a_2x+b_2y+c_2=0\end{array}\hspace{5mm}\right|\hspace{5mm}\begin{array}{c}\hphantom{-}b_2&-a_2\\[2mm]-b_1&\hphantom{-}a_1\end{array}\]で与えられているとき，それから一つの未知数を消去して，他の一つの未知数のみを含む方程式を得るには，これらの方程式にそれぞれ $b_2$，$-b_1$ または $-a_2$，$a_1$ を掛けて後加えればよい。そうすれば\[(a_1b_2-a_2b_1)x+(c_1b_2-c_2b_1)=0,\hspace{7mm}(a_1b_2-a_2b_1)y+(a_1c_2-a_2c_1)=0\]を得て，それから\[x=\frac{b_1c_2-b_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1},\hspace{1cm}y=\frac{c_1a_2-c_2a_1}{a_1b_2-a_2b_1}\]を得るのである．
このような消去の方法は未知数が二つよりも多い場合にも適用されることは明らかである．すなわち与えられた方程式を二つずつ組み合わせて，それから未知数の中の一つを消去して，しだいに未知数の数を減少させて，ついにはただ一つの未知数を含む方程式に達するのである．しかしながら，その最後の結果として得られる解の公式を予知することは簡単でない．
しかるに上の二元一次方程式の解法に立ち返って，解の公式の組立てに注意するならば，そこに，この公式を三元以上の場合に拡張する手掛りが発見される．上の公式を一見して直ちに眼につくことは，分母分子に同形の式が現われていることである．その形は\[u_1v_2-u_2v_1\]で，この式に特異な性質は，それが $u_1$，$u_2$ および $v_1$，$v_2$ なる二組の文字に関して斎次一次式であり，かつその二組が一致するとき（$u_1=v_1$，$u_2=v_2$）には，常に $0$ に等しくなることである．上の式のこの性質を唯一の根拠として，二元一次方程式の解の公式を導き出すことができるのであるが，それを説明するに先だって，念のために，一般の斎次一次式に関して述べておく必要がある．
$\boldsymbol{3.}$ 任意数の文字 $u_1$，$u_2$，$\cdots$，$u_n$ に関する斎次一次式とは，次のような形の式である．\[\varphi(u_1,\ u_2\cdots,\ u_n)=C_1u_1+C_2u_2+\cdots+C_nu_n.\tag{$\ 1\ $}\]ここで係数 $C_1$，$C_2$，$\cdots$，$C_n$ は定数である．
斎次一次式は次のような性質をもつ．
$1^\circ)$ $\varphi(0,\ 0,\ \cdots,\ 0)=0$.
$2^\circ)$ $\varphi(u_1+u_1{}^\prime,\ u_2+u_2{}^\prime,\ \cdots,\ u_n+u_n{}^\prime)=\varphi(u_1,\ u_2,\ \cdots,\ u_n)+\varphi(u_1{}^\prime,\ u_2{}^\prime,\ \cdots,\ u_n{}^\prime).$
$3^\circ)$ $\varphi(u_1t,\ u_2t,\ \cdots,\ u_nt)=t\hspace{0.7mm}\cdotp\varphi(u_1,\ u_2,\ \cdots,\ u_n)$．
これらは $(\ 1\ )$ から容易に知られる．また $2^\circ)$ において $u_1+u_1{}^\prime$ などを二つより多くの文字の和としても同様の結果を得るから，$3^\circ)$ と組合わせて，一般に
$\begin{alignat*}{1}4^\circ)\hspace{5mm}\varphi(&u_1t+u_1{}^\prime t^\prime+u_1{}^{\prime\prime}t^{\prime\prime}+\cdots,\ \cdots,\ u_nt+u_n{}^\prime t^\prime+u_n{}^{\prime\prime}t^{\prime\prime}+\cdots)\\[2mm]&=t\varphi(u_1,\ \cdots,\ u_n)+t^\prime\varphi(u_1{}^\prime,\ \cdots,\ u_n{}^\prime)+t^{\prime\prime}\varphi(u_1{}^{\prime\prime},\ \cdots,\ u_n{}^{\prime\prime})+\cdots\end{alignat*}$
を得る．$1^\circ)$，$2^\circ)$，$3^\circ)$ はすべて $4^\circ)$ の特別の場合である．$4^\circ)$ において $t=t^\prime=t^{\prime\prime}=\cdots=0$ とすれば $1^\circ)$ を得，また $t=t^\prime=1$，$t^{\prime\prime}=\cdots=0$ とすれば $2^\circ)$ を得，$t^\prime=t^{\prime\prime}=\cdots=0$ とすれば $3^\circ)$ を得る．
これは簡単明瞭であるが，次の説明はただこれだけを基礎にするのである．
$\boldsymbol{4.}$ さて二元一次方程式に立ち返って，方程式の左辺を $f_1$，$f_2$ で表わし\[f_1\equiv a_1x+b_1y+c_1=0,\hspace{1cm}f_2\equiv a_2x+b_2y+c_2=0\]とおく．また $a_1$，$a_2$ に関する斉次一次式\[a_1b_2-a_2b_1\]を $\varphi(a_1,\ a_2)$ としるす．しからば\[\varphi(b_1,\ b_2)=0.\] $\varphi(a_1,\ a_2)$ において $a_1$，$a_2$ に $f_1$，$f_2$ を代入すれば，上の $4^\circ)$ によって\[\varphi(f_1,\ f_2)=x\varphi(a_1,\ a_2)+y\varphi(b_1,\ b_2)+\varphi(c_1,\ c_2),\]すなわち\[\varphi(f_1,\ f_2)=x\varphi(a_1,\ a_2)+\varphi(c_1,\ c_2).\] これは恒等式であって，$x$，$y$ の値のいかんにかかわらず，常に成り立つものである．
いま $x$，$y$ は上の二元一次方程式を満足させるものとすれば，$f_1=0$，$f_2=0$，したがって $\varphi(f_1,\ f_2)=0$（$1^\circ)$ 参照）．その場合には\[x\varphi(a_1,\ a_2)+\varphi(c_1,\ c_2)=0.\] したがって\[x=-\frac{\varphi(c_1,\ c_2)}{\varphi(a_1,\ a_2)}.\] これは上出の $x$ の公式と同じものである．$y$ の値も同様にして得られる．
$\boldsymbol{5.}$ このような考察は任意数の未知数の場合にも適用される．いま $n$ 個の未知数 $x$，$y$，$z$，$\cdots$ を含む $n$ 個の連立一次方程式の一組が，次のような形で与えられているとする．\[\left.\begin{alignat*}{1}&f_1\equiv a_1x+b_1y+c_1z+\cdots+k_1=0,\\[2mm]&f_2\equiv a_2x+b_2y+c_2z+\cdots+k_2=0,\\[2mm]&{\small\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots}\\[2mm]&f_n\equiv a_nx+b_ny+c_nz+\cdots+k_n=0.\hphantom{1}\end{alignat*}\right\}\tag{$\ 2\ $}\] さてここに次のような整式 $\varDelta$ が存在すると仮定する．
$(\ \text{I}\ )$ $\varDelta$ は $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$；$b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n$；$c_1$，$c_2$，$\cdots$，$c_n$；$\cdots$ など，各未知数，$n$ 個の係数 $n$ 組，すなわち合わせて $n^2$ 個の文字の整式で，各組の文字に関して斉次一次式である．
$(\ \text{II}\ )$ もしも，任意の二組の文字が同一の $n$ 個の値でおき換えられるならば $\varDelta$ は常に $0$ になる．
$\varDelta$ が $n^2$ 個の変数 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$；$b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n$；$c_1$，$c_2$，$\cdots$，$c_n$；$\cdots$ の函数であることを示すために，それを次のようにしるす．\[\varDelta\begin{pmatrix}\ a_1\hphantom{n}&b_1\hphantom{n}&c_1\hphantom{n}&\cdotp\ \\[1mm]\ a_2\hphantom{n}&b_2\hphantom{n}&c_2\hphantom{n}&\cdotp\ \\[1mm]\ \cdotp\hphantom{n}&\cdotp\hphantom{n}&\cdotp\hphantom{n}&\cdotp\ \\[1mm]\ a_n\hphantom{n}&b_n\hphantom{n}&c_n\hphantom{n}&\cdotp\ \end{pmatrix}\tag{$\ 3\ $}\] これは函数記法であって，ただ $n^2$ 個の変数を一行に並べる代わりに，$\varDelta$ の特異な性質に適応するように，$n$ 組の変数を $n$ 列にしるしたまでである．
いましばらくこのような整式 $\varDelta$ が存在すると仮定するならば，それを用いて連立一次方程式 $(\ 2\ )$ から未知数の中の任意の一つを残して，その他を消去することができる．それは二元の場合とまったく同様である．
$\varDelta$ は第一縦列の文字に関して斉次一次式であるから，\[\varDelta=\varphi(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n)\]と書けば，上の $4^\circ)$ を $\varDelta$ に適用することができる．
さて $\varDelta$ の第一縦列を一次式 $f_1$，$f_2$，$\cdots$，$f_n$ でおき換えるならば，$4^\circ)$ によって\begin{alignat*}{1}\varphi(f_1,\ f_2,\ \cdots,\ f_n)&=x\hspace{0.7mm}\cdotp\varphi(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n)+y\hspace{0.7mm}\cdotp\varphi(b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n)\\[2mm]&\hphantom{=x\hspace{0.7mm}\cdotp\varphi}+z\hspace{0.7mm}\cdotp\varphi(c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n)+\cdots+\varphi(k_1,\ k_2,\ \cdots,\ k_n).\end{alignat*}すなわち\begin{alignat*}{1}\varDelta\begin{pmatrix}f_1&b_1&c_1&\cdotp\\[1mm]f_2&b_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]f_n&b_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}&=x\hspace{0.7mm}\cdotp\varDelta\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1&\cdotp\\[1mm]a_2&b_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n&b_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}+y\hspace{0.7mm}\cdotp\varDelta\begin{pmatrix}b_1&b_1&c_1&\cdotp\\[1mm]b_2&b_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]b_n&b_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}\\[2mm]&+z\hspace{0.7mm}\cdotp\varDelta\begin{pmatrix}c_1&b_1&c_1&\cdotp\\[1mm]c_2&b_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]c_n&b_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}+\cdots+\varDelta\begin{pmatrix}k_1&b_1&c_1&\cdotp\\[1mm]k_2&b_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]k_n&b_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}.\end{alignat*}しかるに $\varDelta$ に関する仮定 $(\ \text{II}\ )$ によって右辺において第一項と最後の項とのほかは全部 $0$ になる．ゆえに\[\varDelta\begin{pmatrix}f_1&b_1&c_1&\cdotp\\[1mm]f_2&b_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]f_n&b_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}=x\hspace{0.7mm}\cdotp\varDelta\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1&\cdotp\\[1mm]a_2&b_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n&b_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}+\varDelta\ \begin{pmatrix}k_1&b_1&c_1&\cdotp\\[1mm]k_2&b_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]k_n&b_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}.\] ここまでは式の変形であって，この最後の等式は $x$，$y$，$z$，$\cdots$ の値のいかんにかかわらず，常に成り立つものである．
さてもし $x$，$y$，$z\cdots$ が方程式 $(\ 2\ )$ を満足させるならば，$f_1$，$f_2$，$\cdots$，$f_n$ は $0$ になるから，上の等式の左辺は $0$ になる（$1^\circ)$ 参照）．したがって\[x\hspace{0.7mm}\cdotp\varDelta\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1&\cdotp\\[1mm]a_2&b_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n&b_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}+\varDelta\begin{pmatrix}k_1&b_1&c_1&\cdotp\\[1mm]k_2&b_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]k_n&b_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}=0.\]よって\[x=-\varDelta\begin{pmatrix}k_1&b_1&c_1&\cdotp\\[1mm]k_2&b_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]k_n&b_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}\lower{0.4em}{\cssId{eq1}{\Bigg/}}\hspace{-0.2em}\varDelta\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1&\cdotp\\[1mm]a_2&b_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n&b_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}.\]もし $\varDelta$ の第二縦列を $f_1$，$f_2$，$\cdots$，$f_n$ でおき換えて，同様の計算を行なうならば\[y=-\varDelta\begin{pmatrix}a_1&k_1&c_1&\cdotp\\[1mm]a_2&k_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n&k_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}\lower{0.4em}{\cssId{eq2}{\Bigg/}}\hspace{-0.2em}\varDelta\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1&\cdotp\\[1mm]a_2&b_2&c_2&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n&b_n&c_n&\cdotp\end{pmatrix}\]を得る．その他の未知数についても同様である．すなわち各未知数の値を与える式の分母はいずれも $(\ 3\ )$ の式で，分子は $(\ 3\ )$ において未知数の係数を示す文字を既知項 $k_1$，$k_2$，$\cdots$，$k_n$ をおき換えたものである．すなわち二元一次方程式の場合とまったく同様である．
以上の結果は $\varDelta$ なる整式の存在を仮定して得られたものであるが，次にこのような $\varDelta$ が実際存在することを証明し，かつその組立てを説明するであろう．$\varDelta$ がすなわち行列式である．