第 $8$ 章 行 列 式
$\S\ 45.$ 行 列 式 の 性 質
$\boldsymbol{1.}$ 本節では行列式の最も卑近な二，三の性質について述べる．〔定理 $\boldsymbol{8.\ 1}$〕 行列式のある列の各文字に同一の乗数 $t$ を掛けるときは，行列式にその乗数が掛けられる．
〔注意〕 縦列を単に列という．また横列を行ということにする．
〔証〕 たとえば第一列（の各文字）に $\boldsymbol{t}$ を掛けるならば\[\begin{vmatrix}\ a_1t&b_1&\cdotp&l_1\ \\[1mm]\ a_2t&b_2&\cdotp&l_2\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_nt&b_n&\cdotp&l_n\ \end{vmatrix}=t\ \begin{vmatrix}\ a_1&b_1&\cdotp&l_1\ \\[1mm]\ a_2&b_2&\cdotp&l_2\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_n&b_n&\cdotp&l_n\ \end{vmatrix}\]これは行列式が第一列の文字に関して斉次一次であるからである（$\S43,\ 3^\circ$）．
〔定理 $\boldsymbol{8.\ 2}$〕 行列式のある列の各文字が同数の文字の和であるときには，行列式は和の各項をその列においた行列式の和に等しい．
| 〔証〕 たとえば | $\begin{vmatrix}a_1+a_1{}^\prime+a_1{}^{\prime\prime}&b_1&\cdotp&l_1\\[1mm]a_2+a_2{}^\prime+a_2{}^{\prime\prime}&b_2&\cdotp&l_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n+a_n{}^\prime+a_n{}^{\prime\prime}&b_n&\cdotp&l_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&b_1&\cdotp&l_1\\[1mm]a_2&b_2&\cdotp&l_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n&b_n&\cdotp&l_n\end{vmatrix}$ |
| $+\begin{vmatrix}a_1{}^\prime&b_1&\cdotp&l_1\\[1mm]a_2{}^\prime&b_2&\cdotp&l_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n{}^\prime&b_n&\cdotp&l_n\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_1{}^{\prime\prime}&b_1&\cdotp&l_1\\[1mm]a_2{}^{\prime\prime}&b_2&\cdotp&l_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n{}^{\prime\prime}&b_n&\cdotp&l_n\end{vmatrix}$ |
〔定理 $\boldsymbol{8.\ 3}$〕 行列式の二つの列が一致するときは，その行列式は $0$ に等しい．
これは前節に出ている．
〔定理 $\boldsymbol{8.\ 4}$〕 行列式のある列の各文字に同一の乗数を掛けて，それを他の列の同位置の文字に加えても行列式の値は変わらない．
〔証〕 たとえば第 $2$ 列に $t$ を掛けて第 $1$ 列に加える（標語的に略言する，以下同様）ならば\begin{alignat*}{1}\begin{vmatrix}a_1+b_1t&b_1&\cdotp&l_1\\[1mm]a_2+b_2t&b_2&\cdotp&l_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n+b_nt&b_n&\cdotp&l_n\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}a_1&b_1&\cdotp&l_1\\[1mm]a_2&b_2&\cdotp&l_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n&b_n&\cdotp&l_n\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_1&b_1&\cdotp&l_1\\[1mm]b_2&b_2&\cdotp&l_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]b_n&b_n&\cdotp&l_n\end{vmatrix}\hspace{0.7mm}\cdotp t\hphantom{n}\tag{$\style{font-family:serif}{\text{定理}}\ 8.\ 2$}\\[2mm]&=\begin{vmatrix}a_1&b_1&\cdotp&l_1\\[1mm]a_2&b_2&\cdotp&l_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n&b_n&\cdotp&l_n\end{vmatrix}\tag{$\style{font-family:serif}{\text{定理}}\ 8.\ 3$}\end{alignat*}二つ以上の列にそれぞれの乗数を掛けて他の列に加えても，同様である．
〔定理 $\boldsymbol{8.\ 5}$〕 行列式において二つの列を互換すれば，行列式の値は符号だけが変わる．
〔証〕 第 $1$ 列，第 $2$ 列を互換するとして，次のように証明をする．\[0=\begin{vmatrix}a_1+b_1&a_1+b_1&c_1&\cdotp&l_1\\[1mm]a_2+b_2&a_2+b_2&c_2&\cdotp&l_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n+b_n&a_n+b_n&c_n&\cdotp&l_n\end{vmatrix}\tag{$\style{font-family:serif}{\text{定理}}\ 8.\ 3$}\]\begin{alignat*}{1}&=\begin{vmatrix}a_1&a_1+b_1&c_1&\cdotp&l_1\\[1mm]a_2&a_2+b_2&c_2&\cdotp&l_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n&a_n+b_n&c_n&\cdotp&l_n\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_1&a_1+b_1&c_1&\cdotp&l_1\\[1mm]b_2&a_2+b_2&c_2&\cdotp&l_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]b_n&a_n+b_n&c_n&\cdotp&l_n\end{vmatrix}\tag{$\style{font-family:serif}{\text{定理}}\ 8.\ 2$}\\[2mm]&=\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1&\cdotp&l_1\\[1mm]a_2&b_2&c_2&\cdotp&l_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_n&b_n&c_n&\cdotp&l_n\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_1&a_1&c_1&\cdotp&l_1\\[1mm]b_2&a_2&c_2&\cdotp&l_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]b_n&a_n&c_n&\cdotp&l_n\end{vmatrix}\tag{$\style{font-family:serif}{\text{定理}}\ 8.\ 4$}\end{alignat*} 〔定理 $\boldsymbol{8.\ 6}$〕 行列式の列を任意の順序におき換えるとき，その順列が偶順列ならば行列式の値は変わらず，奇順列ならば，符号だけが変わる．
〔証〕 定理 $8.\ 5$ の応用．互換の回数によって二つの場合が生ずるのである．
$\boldsymbol{2.}$ 行列式に関して一般論をするには，組成分子を同一の文字に二つの番号をつけて次のように表わすのが便利である．
\[D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdotp&a_{1n}\\[1mm]a_{21}&a_{22}&\cdotp&a_{2n}\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&a_{nn}\end{vmatrix}\]すなわち $a_{pq}$ は第 $p$ 行，第 $q$ 列の交叉点にある組成分子を示すのである．Leibniz が初めて行列式を発見したときに，すでにこのような記法を用いている．
この記法によれば行列式の展開は次のようになる．\[D={\textstyle\sum}\pm a_{\alpha1}a_{\beta2}a_{\gamma3}\cdots a_{\lambda n}\tag{$\ 1\ $}\]$a_{\alpha1}$，$a_{\beta2}$，$a_{\gamma3}$，$\cdots$，$a_{\lambda n}$ はすなわち $\S\ 44$ の $a_\alpha$，$b_\beta$，$c_\gamma$，$\cdots$，$l_\lambda$ に当たるのである．
この展開において各項の第二番号は自然の順序 $1\ 2\ 3\cdots n$ で，第一番号 $\alpha\beta\gamma\cdots\lambda$ の順列の類によって符号 $\pm$ を定めるのである．いま $\alpha\beta\gamma\cdots\lambda$ および $\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\gamma^\prime\cdots\lambda^\prime$ を $1\ 2\ 3\cdots n$ の任意の二つの順列とするとき，$D$ は\[\pm a_{\alpha\alpha^\prime}a_{\beta\beta^{\ \prime}}a_{\gamma\gamma^\prime}a_{\lambda\lambda^\prime}\tag{$\ 2\ $}\]のような項を含む．実際これは各列から一つずつ，各行から一つずつの $n$ 個の組成分子の積である．さてこの積につけるべき符号 $\pm$ はどうか．
この問題は定理 $8.\ 6$ によって容易に解決される．
いま $D$ の列の順序を変えて $a^\prime$，$\beta^{\ \prime}$，$\gamma^\prime$，$\cdots$，$\lambda^\prime$ の列をそれぞれ $1$，$2$，$3$，$\cdots$，$n$ の位置において，その行列式を $D^\prime$ とする．すなわち\[D=\begin{vmatrix}a_{1\alpha^\prime}&a_{1\beta^{\ \prime}}&a_{1\gamma^\prime}&\cdotp&a_{1\lambda^\prime}\\[1mm]a_{2\alpha^\prime}&a_{2\beta^{\ \prime}}&a_{2\gamma^\prime}&\cdotp&a_{2\lambda^\prime}\\[1mm]a_{3\alpha^\prime}&a_{2\beta^{\ \prime}}&a_{2\gamma^\prime}&\cdotp&a_{3\lambda^\prime}\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_{n\alpha^\prime}&a_{n\beta^{\ \prime}}&a_{n\gamma^\prime}&\cdotp&a_{n\lambda^\prime}\end{vmatrix}\] しからば，定理 $8.\ 6$ によって\[D^\prime=\varepsilon^\prime D,\]ただし $\varepsilon^\prime=\pm1$ で，$\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\gamma^\prime\cdots\lambda^\prime$ が偶順列ならば $+$，奇順列ならば $-$ である．
さて $D^\prime$ においては $(\ 2\ )$ は第 $1$ 列から $\alpha$ 位，第 $2$ 列から $\beta$ 位，$\cdots$，第 $n$ 列から $\lambda$ 位の文字を取って作った項であるから，その符号を $\varepsilon=\pm1$ とすれば，$\pm$ は順列 $\alpha\beta\gamma\cdots\lambda$ の類に従うものである．ゆえに原行列式 $D$ においては $(\ 2\ )$ の符号 $\pm$ は\[\varepsilon\varepsilon^\prime\]である．すなわち $\alpha\beta\gamma\cdots\lambda$ と $\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\gamma^\prime\cdots\lambda^\prime$ とが同種の順列ならば $+$，異種の順列ならば $-$ である．
特に第一番号が自然の順列に並べられているときには，第二番号の順列の種類に従って，その項の符号が定まる．よって行列式 $D$ を次のように展開することができる．\[D={\textstyle\sum}\pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdots a_{n\lambda}\tag{$\ 3\ $}\] 和はもちろん $n!$ 個の順列 $\alpha\beta\gamma\cdots\lambda$ の上にわたり，各項の符号 $\pm$ は順列 $\alpha\beta\gamma\cdots\lambda$ の種類に従う．偶類ならば $+$，奇類ならば $-$ である．
よって次の定理を得る．
〔定理 $\boldsymbol{8.\ 7}$〕 行列式の行と列とを転置しても，行列式の値は変わらない．
転置とは行と列との交換，すなわち第 $1$ 列，第 $2$ 列，$\cdots$，第 $n$ 列の文字をそれぞれ第 $1$ 行，第 $2$ 行，$\cdots$，第 $n$ 行におくのをいう．
〔証〕 原行列式を $(\ 1\ )$ によって展開し，転置後の行列式を $(\ 3\ )$ によって展開すれば，項が一つ一つ同じになる．
よって定理 $8.\ 1\sim8.\ 6$ において列に関して述べたことは，行に関しても当てはまる．