代 数 学 講 義 改訂新版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 51.$ 基本定理の拡張  $\S\ 53.$ 行列の結合 $\blacktriangleright$

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第 $8$ 章 行  列  式


 $\S\ 52.$ Laplace の 定 理

 $\boldsymbol{1.}$ $n$ 次の行列式\[D=\begin{vmatrix}\ a_{11}&a_{12}&\cdotp&a_{1n}\ \\[1mm]\ a_{21}&a_{22}&\cdotp&a_{2n}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&a_{nn}\ \end{vmatrix}\]から $r$ 行($r\lt n$,$n=r+s$)を取り出して,その番号を $\alpha$,$\beta$,$\cdots$,$\lambda$ とする.$D$ において,これらの $r$ 行の文字のみを変数と見て,その他の行の文字を定数として取り扱うならば,$D$ はこれらの $r$ 行の文字についてもとより斎次一次であり,またこれらの $r$ 行の中,任意の $2$ 行がまったく同一になれば,$D$ は $0$ になるから,定理 $8.\ 15$ の第三の場合を適用することができる.よって $D$ を\[D=c_1D_1+c_2D_2+\cdots+c_\nu D_\nu\tag{$\ 1\ $}\]のような形に書き表わすことができる.ここで,$D_1$,$D_2$,$\cdots$,$D_\nu$ はもとの行列式の $\alpha$,$\beta$,$\cdots$,$\lambda$ なる $r$ 行から $r$ 列ずつを取って作られる $\nu=\dbinom{n}{r}$ 個の $r$ 次の小行列式で,$c_1$,$c_2$,$\cdots$,$c_\nu$ はこれらの $r$ 行の文字を含まない係数であるから,この場合には,他の $s$ 行の文字のみを含むものである.いまこれらの $r$ 次の小行列式の中で $\alpha^\prime$,$\beta^{\ \prime}$,$\cdots$,$\lambda^\prime$ なる $r$ 列から作ったものを\[D\begin{pmatrix}\alpha,\ \hphantom{^\prime}\beta,\ \hphantom{^\prime}\cdots,\ \lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime,\ \beta^{\ \prime},\ \cdots,\ \lambda^\prime\end{pmatrix}\]で表わす.すなわち括弧の中の上の方に書いたのが $D$ における行の番号で,下の方に書いたのが列の番号である.上の展開式において,この小行列式に掛かる係数をこの小行列式の余因子(adjunct)という.それを\[\operatorname{Adj}.\ D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}\]で表わすことにすれば,上の展開式は次のようになる.\[D=\underset{(\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdotp\cdotp\lambda^\prime)}{\textstyle\sum}D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}\times\operatorname{Adj}.\ D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}\tag{$\ 2\ $}\]この和は $1$,$2$,$\cdots$,$n$ の中から選ばれる $r$ ずつの番号の $\dbinom{n}{r}$ 個の組合せに関するものである.そこで任意の小行列式の余因子を求める必要が生ずる.
 $\boldsymbol{2.}$ この問題は定理 $8.\ 8$ の展開の拡張である.あそこでした通り,まず最も簡単な場合として\[\operatorname{Adj}.\ D\begin{pmatrix}1\ 2\ \cdots\ r\\[0mm]1\ 2\ \cdots\ r\end{pmatrix}\]を求める.いま上の展開式 $(\ 1\ )$ で,$\alpha=1$,$\beta=2$,$\cdots$,$\lambda=r$ として\[D_1=D\begin{pmatrix}1\ 2\ \cdots\ r\\[0mm]1\ 2\ \cdots\ r\end{pmatrix}\]とすれば,求めるべきものは $c_1$ であるが,それには $D$ の初めの $r$ 行の文字に適当な特別の値を与えて,その場合における $(\ 1\ )$ の両辺の値を比較するがよい.その特別の値は次のようにする.
\[\begin{pmatrix}\hphantom{1}1&0&0&\cdotp&\cdotp&0&\cdotp&\cdotp&\cdotp&0\hphantom{1}\\[1mm]\hphantom{1}0&1&0&\cdotp&\cdotp&0&\cdotp&\cdotp&\cdotp&0\hphantom{1}\\[1mm]\hphantom{1}0&0&1&\cdotp&\cdotp&0&\cdotp&\cdotp&\cdotp&0\hphantom{1}\\[1mm]\hphantom{1}\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{1}\\[1mm]\hphantom{1}\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{1}\\[1mm]\hphantom{1}0&0&0&\cdotp&\cdotp&1&\cdotp&\cdotp&\cdotp&0\hphantom{1}\end{pmatrix}\]\[\begin{matrix}1)\\[1mm]2)\\[1mm]3)\\[1mm]\cdotp\\[1mm]\cdotp\\[1mm]r)\end{matrix}\]\[1\ 2\ 3\ \cdotp r\ n\ )\]
すなわち第一行では,第一の文字を $1$ としてその他はみな $0$ にし,第二行では,第二の文字を $1$ として,その他はみな $0$,順次そのようにして,第 $r$ 行では,第 $r$ 番の文字を $1$ にして,その他はみな $0$ にするのである.そうすれば,$D_1$ はもとより $1$ になるが,$D_2$,$\cdots$,$D_\nu$ は $0$ ばかりの列を必ず含むことになるから,みな $0$ になり,したがって $(\ 1\ )$ の右辺は $c_1$ になる.また左辺は\[\begin{vmatrix}\ 1&0\hphantom{nm}\cdotp&\cdotp&\cdotp&0&0\hphantom{nm}\cdotp&\cdotp&0\ \\[1mm]\ 0&1\hphantom{nm}\cdotp&\cdotp&\cdotp&0&0\hphantom{nm}\cdotp&\cdotp&0\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp\hphantom{nm}\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{nm}\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ 0&0\hphantom{nm}\cdotp&\cdotp&\cdotp&1&0\hphantom{nm}\cdotp&\cdotp&0\ \\[1mm]\ a_{r+1,\ 1}&a_{r+1,\ 2}&\cdotp&\cdotp&a_{r+1,\ r}&a_{r+1,\ r+1}&\cdotp&a_{r+1,\ n}\ \\[1mm]\ a_{r+2,\ 1}&a_{r+2,\ 2}&\cdotp&\cdotp&a_{r+2,\ r}&a_{r+2,\ r+1}&\cdotp&a_{r+2,\ n}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp\hphantom{nm}\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{nm}\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{n1}&a_{n2}\ &\cdotp&\cdotp&a_{nr}&a_{n,\ r+1}\hphantom{1}&\cdotp&a_{n,\ n}\ \end{vmatrix}\]で,これは\[\begin{vmatrix}\ a_{r+1,\ r+1}&a_{r+1,\ r+2}&\cdotp&a_{r+1,\ n}\ \\[1mm]\ a_{r+2,\ r+1}&a_{r+2,\ r+2}&\cdotp&a_{r+2,\ n}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{n,\ r+1}&a_{n,\ r+2}&\cdotp&a_{n,\ n}\ \end{vmatrix}\]に等しい.すなわち $D$ の $1$ ないし $r$ の行および列を取り去って残りの $s$ 行,$s$ 列をそのままの順序においた行列からできる $s$ 次の行列式である.これが $c_1$ で,すなわち\[\operatorname{Adj}.\ D\begin{pmatrix}1\ 2\ \cdots\ r\\[0mm]1\ 2\ \cdots\ r\end{pmatrix}=D\begin{pmatrix}r+1,\ r+2,\ \cdots n\\[0mm]r+1,\ r+2,\ \cdots n\end{pmatrix}.\] さて一般に任意の $r$ 個の行と $r$ 個の列とを取って,それを番号順に\[\alpha\lt\beta\cdots\lt\lambda,\hspace{15mm}\alpha^\prime\lt\beta^{\ \prime}\cdots\lt\lambda^\prime\]として\[\operatorname{Adj}.\ D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}\]を求めるために,残りの $s$ 行および $s$ 列をやはり番号順に\[\rho\lt\sigma\lt\cdots\lt\tau,\hspace{15mm}\rho^\prime\lt\sigma^\prime\lt\cdots\lt\tau^\prime\]で表わすことにする.いま行列式 $D$ の行の順序と列の順序とを\[\begin{array}{ccccccc}\alpha,&\beta,&\cdots,\ \lambda&;&\rho,&\sigma,&\cdots,\tau\\[2mm]\alpha^\prime,&\beta^{\ \prime},&\cdots,\ \lambda^\prime&\hspace{5mm};\hspace{5mm}&\rho^\prime,&\sigma^\prime,&\cdots,\tau^\prime\end{array}\]に変えたものを $D^\prime$ とすれば,行の順列では $\alpha$ よりも小さい番号 $1$,$2$,$\cdots$,$\alpha-1$ がみな $\alpha$ よりも後にあるから,それから $\alpha-1$ の転倒が生ずる.また $\beta$ よりも小さい番号が $\beta-1$ だけあるうち $\alpha$ を除いたほかの $\beta-2$ は $\beta$ の後にあるからそれから $\beta-2$ の転倒が生ずる.同じようにして $\lambda$ よりも小さい番号が $\lambda-1$ だけある中で,$\lambda-1-(r-1)$ だけが $\lambda$ よりも後にあるから,それから $\lambda-r$ の転倒が生ずる.$\rho$,$\sigma$,$\cdots$,$\tau$ は大きさの順序に並んでいるから転倒を含まない.ゆえに行の順列における転倒の総数は\[(\alpha-1)+(\beta-2)+\cdots+(\lambda-r)=\alpha+\beta+\cdots+\lambda-(1+2+\cdots+r)\]である.同じように,列の順列における転倒の総数は\[\alpha^\prime+\beta^{\ \prime}+\cdots+\lambda^\prime-(1+2+\cdots+r)\]である.ゆえに\[D^\prime=D\times(-1)^{\alpha+\beta+\ldots+\lambda+\alpha^\prime+\beta^{\ \prime}+\ldots+\lambda^\prime}\]である.$1+2+\cdots+r$ の $2$ 倍は偶数だから書かなくてもよい.
 さて $D^\prime$ においては\[D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}\]は初めの $r$ 行と $r$ 列とから作った小行列式になっているから,それに掛けるべき余因子は,それらの $r$ 行 $r$ 列を $D^\prime$ から取り去った跡に残る $s$ 次の行列式であるが,それはすなわち\[D\begin{pmatrix}\rho\hphantom{^\prime}\sigma\hphantom{^\prime}\cdots\tau\hphantom{^\prime}\\[0mm]\rho^\prime\sigma^\prime\cdots\tau^\prime\end{pmatrix}\]にほかならない.よって $D$ と $D^\prime$ との符号の関係を計算に入れて,$D$ においては\[\operatorname{Adj}.\ D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}=(-1)^{\alpha+\beta+\ldots+\lambda+\alpha^\prime+\beta^{\ \prime}+\ldots+\lambda^\prime}D\begin{pmatrix}\rho\hphantom{^\prime}\sigma\hphantom{^\prime}\cdots\tau\hphantom{^\prime}\\[0mm]\rho^\prime\sigma^\prime\cdots\tau^\prime\end{pmatrix}.\]よって次の定理を得る.
 〔定理 $\boldsymbol{8.\ 16}$〕 Laplace の定理\[D=\underset{(\alpha^\prime\lt\beta^{\ \prime}\lt\ldots\lt\lambda^\prime)\ \ }{{\textstyle\sum}(-1)^{\alpha+\beta+\!}}{}^{\ldots+\lambda+\alpha^\prime+\beta^{\ \prime}+\ldots+\lambda^\prime}D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}D\begin{pmatrix}\rho\hphantom{^\prime}\sigma\hphantom{^\prime}\cdots\tau\hphantom{^\prime}\\[0mm]\rho^\prime\sigma^\prime\cdots\tau^\prime\end{pmatrix}.\]ただし $\alpha\lt\beta\lt\cdots\lt\lambda$ は一定の $r$ 個の番号を大きさの順に並べたもの,$\rho\lt\sigma\lt\cdots\lt\tau$ はその残りの $s$ 個の番号を大きさの順に並べたもので,また $\alpha^\prime\lt\beta^{\ \prime}\lt\cdots\lt\lambda^\prime$ は $1$,$2$,$\cdots$,$n$ の中から大きさの順に選び出した任意の $r$ 個の番号で,$\rho^\prime\lt\sigma^\prime\lt\cdots\lt\tau^\prime$ はその残りの $s$ 個の番号をやはり大きさの順に並べたものである.和 $\sum$ は $1$,$2$,$\cdots$,$n$ の中から $r$ 個ずつの $\dbinom{n}{r}$ の組合せ $\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime$ の全体にわたるのである.
上の\[D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix},\hspace{1cm}D\begin{pmatrix}\rho\hphantom{^\prime}\sigma\hphantom{^\prime}\cdots\tau\hphantom{^\prime}\\[0mm]\rho^\prime\sigma^\prime\cdots\tau^\prime\end{pmatrix}\]のように $D$ の小行列式と,それに含まれない残りの行と列とからできる小行列式とを互いに余行列式(complementary minors)といい,それを $\operatorname{comp.}$ で表わすことにする.すなわち\[D\begin{pmatrix}\rho\hphantom{^\prime}\sigma\hphantom{^\prime}\cdots\tau\hphantom{^\prime}\\[0mm]\rho^\prime\sigma^\prime\cdots\tau^\prime\end{pmatrix}=\operatorname{comp.}\hphantom{^\prime}D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}\]ただし行の番号も大きさの順に並べてあるものとするのである.そうすると,余因数 $\operatorname{Adj.}$ と余行列式 $\operatorname{comp.}$ とは符号だけで違い得るので,その関係は次の通りである.\[\operatorname{Adj.}\hphantom{^\prime}D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}=\pm\operatorname{comp.}\hphantom{^\prime}D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}.\]\[\pm\ \style{font-family:serif}{\text{は}}\ (-1)^{\alpha+\beta+\ldots+\lambda+\alpha^\prime+\beta^{\ \prime}+\ldots+\lambda^\prime}.\] この符号を記憶しやすくするために,$D$ の小行列式の行も列も番号の大きさの順に並べることにして,その小行列式に含まれる行と列との番号の総和が奇数であるかまたは偶数であるかにしたがって,その小行列式を奇類小行列式または偶類小行列式ということにする(よって各小行列式とその余行列式とは同類である).そうすれば,上の余因子と余行列式との符号の異同を示す.$\pm$ は $D=\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}$ が偶類のとき $+$,奇類のとき $-$ である.
 $\boldsymbol{3.}$ Laplace の定理によって,行列式 $D$ の小行列式の間に成り立つ多くの恒等式が得られる.いま $a\lt b\lt\cdots\lt l$ を $\alpha\lt\beta\lt\cdots\lt\lambda$ と異なる組合せとして $(\ 2\ )$ の右辺の $D=\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}$ を $D=\begin{pmatrix}a\ \ b\ \cdots l\ \ \\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}$ に換え,$\operatorname{Adj.}\ D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}$ は元のままにして,\[\underset{(\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdotp\cdotp\lambda^\prime)}{\ {\textstyle\sum}\hphantom{1}D}\begin{pmatrix}a\ \ b\ \cdots l\ \ \\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}\operatorname{Adj.}\ D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}=0.\]なる和を作ったと考えるならば,それはもちろん $D$ の展開ではない.それは $D$ の中の $\alpha$,$\beta$,$\cdots$,$\lambda$ なる番号の行のところへ,それぞれ $a$,$b$,$\cdots$,$l$ なる番号の行を代入したときに生ずる行列式の展開である.しかるに,このような行列式は是非とも同じ行を重複して含むことになるから,$0$ である(この行列式は $D$ の $a$,$b$,$\cdots$,$l$,$\rho$,$\sigma$,$\cdots$,$\tau$ なる番号の行から成り立ち,$(a,\ b,\ \cdots,\ l)$ と $(\rho,\ \sigma,\ \cdots,\ \tau)$ の中に同じ番号が必ずはいっていなければならない).よって次の定理を得る.
 〔定理 $\boldsymbol{8.\ 17}$〕 $a$,$b$,$\cdots$,$l$ を $\alpha$,$\beta$,$\cdots$,$\lambda$ と異なる組合せとすれば\[\underset{(\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime)\hphantom{\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime))\hspace{2em}}}{{\hspace{1em}\textstyle\sum}\begin{pmatrix}a\ \ b\ \cdots l\ \ \\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}}\operatorname{Adj.}\ D\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}=0.\] 〔例 $1$〕\[\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4\\[1mm]b_1&b_2&b_3&b_4\\[1mm]c_1&c_2&c_3&c_4\\[1mm]d_1&d_2&d_3&d_4\end{vmatrix}\begin{array}{c}=\hphantom{+}\begin{vmatrix}a_1&a_2\\[1mm]b_1&b_2\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}c_3&c_4\\[1mm]d_3&d_4\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_1&a_3\\[1mm]b_1&b_3\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}c_2&c_4\\[1mm]d_2&d_4\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_1&a_4\\[1mm]b_1&b_4\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}c_2&c_3\\[1mm]d_2&d_3\end{vmatrix}\hphantom{.}\\[1mm]\hphantom{=}+\begin{vmatrix}a_2&a_3\\[1mm]b_2&b_3\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}c_1&c_4\\[1mm]d_1&d_4\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_2&a_4\\[1mm]b_2&b_4\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}c_1&c_3\\[1mm]d_1&d_3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_3&a_4\\[1mm]b_3&b_4\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}c_1&c_2\\[1mm]d_1&d_2\end{vmatrix}.\end{array}\] 〔例 $2$〕\[\begin{array}{c}\hphantom{+}\begin{vmatrix}a_1&a_2\\[1mm]c_1&c_2\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}b_3&b_4\\[1mm]c_3&c_4\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_1&a_3\\[1mm]c_1&c_3\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}b_2&b_4\\[1mm]c_2&c_4\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_1&a_4\\[1mm]c_1&c_4\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}b_2&b_3\\[1mm]c_2&c_3\end{vmatrix}\hphantom{=0..}\\[1mm]+\begin{vmatrix}a_2&a_3\\[1mm]c_2&c_3\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}b_1&b_4\\[1mm]c_1&c_4\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_2&a_4\\[1mm]c_2&c_4\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}b_1&b_3\\[1mm]c_1&c_3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_3&a_4\\[1mm]c_3&c_4\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}b_1&b_2\\[1mm]c_1&c_2\end{vmatrix}=0.\end{array}\]
 〔問題 $\boldsymbol{1}$〕\[\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4\\[1mm]b_1&b_2&b_3&b_4\end{pmatrix}\]なる行列からの二次の行列式を\[(\lambda\mu)=\begin{vmatrix}\ a_\lambda&a_\mu\ \\[1mm]\ b_\lambda&b_\mu\ \end{vmatrix}\]で表わせば\[(12)(34)+(13)(42)+(14)(23)=0.\] 〔解〕 $a_1a_2a_3a_4$ と $b_1b_2b_3b_4$ を第三行と第四行とにもおいて,四次の行列式を作れば,それは $0$ に等しい.その行列式を第一行,第二行にしたがって展開すれば,上の等式を得る.第二項で $(42)$ だけが番号順になっていないのは,第二項の符号を $+$ にするためである.
 特に $b_1=b_2=b_3=b_4=1$ とすれば\[(a_1-a_2)(a_3-a_4)+(a_1-a_3)(a_4-a_2)+(a_1-a_4)(a_2-a_3)=0\]を得る.

 〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 $D=|a_{pq}|$ を $n$ 次の行列式とし,$\alpha$,$\beta$,$\cdots$,$\lambda$; $\alpha^\prime\beta^{\ \prime}$,$\cdots$,$\lambda$ を $1$,$2$,$\cdots$,$n$ の中から $r$ 個の二つの組合せとするとき,$D$ における\[a_{\alpha\alpha^\prime}a_{\beta\beta^{\ \prime}}\cdots a_{\lambda\lambda^\prime}\]の係数を求めること.ただし $\alpha\beta\cdots\lambda$ も $\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime$ も必ずしも番号順に書いたのではない.
 〔解〕 $1$,$2$,$\cdots$,$n$ から $\alpha$,$\beta$,$\cdots$,$\lambda$ を除いた残りを番号順に $\rho\lt\sigma\lt\cdots\lt\tau$ また $\alpha^\prime$,$\beta^{\ \prime}$,$\cdots\lambda^\prime$ を除いた残りを番号順に $\rho^\prime\lt\sigma^\prime\lt\cdots\lt\tau^\prime$ とし,かつ $\alpha\beta\cdots\lambda$ および $\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime$ の中の順位転倒の数をそれぞれ $I$,$I^\prime$ とすれば,\[(-1)^{I+I^\prime+\alpha+\beta+\cdots+\lambda+\alpha^\prime+\beta^{\ \prime}+\cdots+\lambda^\prime}D\begin{pmatrix}\rho\hphantom{^\prime}\sigma\hphantom{^\prime}\cdots\tau\hphantom{^\prime}\\[0mm]\rho^\prime\sigma^\prime\cdots\tau^\prime\end{pmatrix}\]が求めるところの係数である.
 〔問題 $\boldsymbol{3}$〕 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdotp&\cdotp&a_{1n}&u_1\\[1mm]a_{21}&a_{22}&\cdotp&\cdotp&a_{2n}&u_2\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&\cdotp&a_{nn}&u_n\\[1mm]v_1&v_2&\cdotp&\cdotp&v_n&w\end{vmatrix}=Aw-{\textstyle\sum}A_{pq}u_pv_q\hphantom{p}(p,\ q=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$

ただし $A$ は $a$ なる文字の部分から作った $n$ 次の行列式で,$A_{pq}$ は $A$ における $a_{pq}$ の余因子である.$\sum$ は $p$,$q$ に関してともに $1$,$2$,$\cdots$,$n$ の上にわたるのである.
 〔解〕 行列式を $u$,$v$,$w$ なる文字の函数と見て同類項をまとめるのである.まず $w$ の係数が $A$ であることには論はない.また $u_pv_q$ の係数が $-A_{pq}$ であることは前の問題の応用である.
 〔問題 $\boldsymbol{4}$
$\varDelta=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdotp&\cdotp&a_{1n}&u_{11}&u_{12}&\cdotp&\cdotp&u_{1r}\\[1mm]a_{21}&a_{22}&\cdotp&\cdotp&a_{2n}&u_{21}&u_{22}&\cdotp&\cdotp&u_{2r}\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{1}\\[1mm]a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&\cdotp&a_{nn}&u_{n1}&u_{n2}&\cdotp&\cdotp&u_{nr}\\[1mm]v_{11}&v_{12}&\cdotp&\cdotp&v_{1n}&0\hphantom{1}&0\hphantom{1}&\cdotp&\cdotp&0\hphantom{1}\\[1mm]v_{21}&v_{22}&\cdotp&\cdotp&v_{2n}&0\hphantom{1}&0\hphantom{1}&\cdotp&\cdotp&0\hphantom{1}\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{1}\\[1mm]v_{r1}&v_{r2}&\cdotp&\cdotp&v_{rn}&0\hphantom{1}&0\hphantom{1}&\cdotp&\cdotp&0\hphantom{1}\end{vmatrix}$$\begin{array}{c}\\\\\displaystyle\underset{\hphantom{\alpha\alpha\alpha\alpha}\begin{array}{r}(\alpha\beta\cdots\lambda)\\(\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime)\end{array}}{=(-1)^r\ \ {\textstyle\sum}}U_{\alpha\beta\cdots\lambda}V_{\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime}\\\hphantom{(-1)^r{\textstyle\sum}U}\times\operatorname{Adj.}\ A\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\[0mm]\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}\\(r\leqq n)\end{array}$
ただし $U_{\alpha\beta\cdots\lambda}$ は $u$ なる文字の行列から $\alpha\lt\beta\lt\cdots\lt\lambda$ なる $r$ 個の番号の行を取って作った $r$ 次の行列式 $V_{\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime}$ は $v$ なる文字の行列から $\alpha^\prime\lt\beta^{\ \prime}\lt\cdots\lt\lambda^\prime$ なる $r$ 個の番号の列を取って作った行列式で,$\operatorname{Adj.}$ は $a$ なる文字の行列に関していう.また $\sum$ は $\dbinom{n}{r}\times\dbinom{n}{r}$ の組合せ $(\alpha\beta\cdots\lambda)$,$(\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime)$ の上にわたるのである.
 $r=n$ ならば,$u$ なる文字の行列も $v$ なる文字の行列も方形になる.それらの行列式を $U$,$V$ とすれば,\[\varDelta=(-1)^nUV.\]また $r\gt n$ ならば\[\varDelta=0.\] 〔解〕 $\varDelta$ を最後の $r$ 列に関して展開し,$U_{\alpha\beta\cdots\lambda}$ の余因数を再び最後の $r$ 行に関して展開する.
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