代 数 学 講 義 改訂新版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 55.$ 小行列式の行列式  $\S\ 57.$ 行列の Kronecker 積 $\blacktriangleright$

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第 $8$ 章 行  列  式


 $\S\ 56.$ Sylvester の 定 理

 $\boldsymbol{1.}$ $n$ 次の行列式 $A=|a_{pq}|$ から $r$ 次の小行列式\[A_r=\begin{vmatrix}\ a_{11}&a_{12}&\cdotp&a_{1r}\ \\[1mm]\ a_{21}&a_{22}&\cdotp&a_{2r}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{r1}&a_{r2}&\cdotp&a_{rr}\ \end{vmatrix}\]を取って,$A$ において $A_r$ を含む $r+1$ 次の小行列式を次のように表わす.

$B_{\alpha\beta}=\ \!$$A_r\vphantom{\begin{array}a\\[1mm]a\\[1mm]a\\[1mm]a\end{array}}$$\hphantom{a}\begin{array}{l}a_{1,\ r+\beta}\\[1mm]a_{2,\ r+\beta}\\[1mm]\hphantom{a}\cdots\\[1mm]a_{r,\ r+\beta}\end{array}$$\hphantom{m}(\alpha,\ \beta=1,\ 2,\ \cdots,\ n-r).$
$\hphantom{a}a_{r+\alpha,\ 1}\hphantom{m}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{m}a_{r+\alpha,\ r}$$\hphantom{a}a_{r+\alpha,\ r+\beta}\hphantom{a}$

 〔定理 $\boldsymbol{8.\ 22}$〕 (Sylvester の定理)上の小行列式 $B_{\alpha\beta}$ を組成分子とする $n-r$ 次の行列式を $\boldsymbol{B}$ とする.しからば\[\boldsymbol{B}=\left|\begin{array}{l}\ B_{11}&B_{12}&\cdotp&B_{1,\ n-r}\ \\[1mm]\ B_{21}&B_{22}&\cdotp&B_{2,\ n-r}\ \\[1mm]\ \hphantom{B}\cdotp&\hphantom{B}\cdotp&\cdotp&\hphantom{B}\cdotp\ \\[1mm]\ B_{n-r,\ 1}&B_{n-r,\ 2}&\cdotp&B_{n-r,\ n-r}\ \end{array}\right|=A_r{}^{n-r-1}A.\] 〔〕 いろいろ証明の方法はあるが,次に述べる本定理の拡張に適応するものを述べる.
 $A$ の逆行列式を $\boldsymbol{A}$ とすれば,定理 $8.\ 20$ によって($m=n-r-1$)\[A^{n-r-2}B_{\alpha\beta}=(-1)^{\alpha+\beta}\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}r+1,\ \cdots\hspace{-0.4em}\pmb{〔}r+\beta\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\cdots n\\r+1,\ \cdots\hspace{-0.4em}\pmb{〔}r+\alpha\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\cdots n\end{pmatrix},\]$r+1$,$r+2$,$\cdots$,$n$ の中から $r+\alpha$,$r+\beta$ を取り除けることを示すために $\hspace{-0.4em}\pmb{〔}r+\alpha\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$,$\hspace{-0.4em}\pmb{〔}r+\beta\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ をしるしておいた.
 行列式 $\boldsymbol{B}$ の各組成分子に $A^{n-r-2}$ を掛けて,上の等式の右辺を代入し,かつ第 $1$,$2$,$\cdots$,$n-r$ 行および列にそれぞれ $(-1)$,$(-1)^2$,$\cdots$,$(-1)^{n-r}$ を掛けるならば,\[A^{(n-r)(n-r-2)}\boldsymbol{B}\]を得るが,それは\[\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}r+1,\ \cdots\hspace{-0.4em}\pmb{〔}r+\beta\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\cdots n\\r+1,\ \cdots\hspace{-0.4em}\pmb{〔}r+\alpha\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\cdots n\end{pmatrix}\]を組成分子($\alpha$ 行,$\beta$ 列の組成分子)とする行列式になる.この行列式はすなわち $n-r$ 次の行列式\[\boldsymbol{A}_{n-r}=\left|\begin{array}{llll}\ A_{r+1,\ r+1}&A_{r+2,\ r+1}&\cdotp\hphantom{m}\cdotp&A_{n,\ r+1}\ \\[1mm]\ A_{r+1,\ r+2}&A_{r+2,\ r+2}&\cdotp\hphantom{m}\cdotp&A_{n,\ r+1}\ \\[1mm]\ \hphantom{A_r}\cdotp&\hphantom{A}\cdotp&\cdotp\hphantom{m}\cdotp&\hphantom{A}\cdotp\ \\[1mm]\ A_{r+1,\ n}&A_{r+2,\ n}&\cdotp\hphantom{m}\cdotp&A_{n,\ n}\ \end{array}\right|\]からの $n-r-1$ 次の小行列式の行列式であるから,定理 $8.\ 21$ によって $\boldsymbol{A}_{n-r}^{n-r-1}$ に等しい.
 しかるに定理 $8.\ 20$ によれば\[\boldsymbol{A}_{n-r}=A^{n-r-1}A_r.\] ゆえに\[A^{(n-r)(n-r-2)}\boldsymbol{B}=(A^{n-r-1}A_r)^{n-r-1}\]すなわち\[\boldsymbol{B}=A_r{}^{n-r-1}A.\] $\boldsymbol{2.}$ 上の定理 $8.\ 22$ を次のように拡張することができる.
 定理 $8.\ 22$ では,$A_r$ を含む $r+1$ 次の小行列式を組成分子として行列式 $\boldsymbol{B}$ を作ったのであるが,もしも $A_r$ を含む $r+s$ 次の小行列式を取るならば,どうか.
 $r+1$,$r+2$,$\cdots$,$n$ の中から $s$ 個の番号を取り出して,それらの $\nu=\dbinom{n-r}{s}$ 個の組合せに $1$,$2$,$\cdots$,$\nu$ の番号をつけて,$A_r$ に $p$ 番の組合せの $s$ 行と $q$ 番の組合せの $s$ 列とを添えて作った $r+s$ 次の小行列式を $B_{pq}$ とする($p$,$q=1$,$2$,$\cdots$,$\nu$).これら $\nu^2$ 個の $B_{pq}$ を組成分子として $\nu$ 次の行列式 $\boldsymbol{B}$ を作るとすればそれは次のようになる.
 〔定理 $\boldsymbol{8.\ 23}$〕 (Sylvester の定理の拡張)\[\boldsymbol{B}=A_r{}^e\hspace{0.7mm}\cdotp A^f,\]ただし\[e=\binom{n-r-1}{s},\hspace{7mm}f=\binom{n-r-1}{s-1}.\] 〔〕 定理 $8.\ 22$ と同様.この場合にも,$A^\alpha\boldsymbol{B}$ は $\boldsymbol{A}_{n-r}$ からの小行列式に等しいから\[A^\beta\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^r{}_{n-r}=A_r{}^\mu A^\nu,\]ゆえに\[\boldsymbol{B}=A_r{}^eA^f.\]指数($\alpha$,$\cdots$,$\nu$)は途中で一々計算しないで,最後に至って,たとえば $A$ の第一対角線の組成分子を $a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{rr}=x$,$a_{r+1,\ r+1}=\cdots=a_{nn}=y$,その他は $a_{pq}=0$ とおいて,$e$,$f$ を決定するのが近道である.
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