第 $9$ 章 二 次 形 式
$\S\ 61.$ 対 称 行 列 式
$\boldsymbol{1.}$ 行列式において第一対角線に関して対称な位置にある組成分子が相等しい（$a_{pq}=a_{qp}$）とき，それを対称行列式という．たとえば二次形式の判別式は対称である．本節では対称行列式が特有する二，三の性質に関して述べる．対称行列式 $A$ からの小行列式の中で，同番号の行と列とを同一の順序に取って作ったもの，すなわち\[A\begin{pmatrix}\alpha\beta\cdots\lambda\\\alpha\beta\cdots\lambda\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}\ a_{\alpha\alpha}&a_{\alpha\beta}&\cdotp&a_{\alpha\lambda}\ \\[1mm]\ a_{\beta\alpha}&a_{\beta\beta}&\cdotp&a_{\beta\lambda}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{\lambda\alpha}&a_{\lambda\beta}&\cdotp&a_{\lambda\lambda}\ \end{vmatrix}\]はやはり対称である．それらを首座の小行列式という．
対称行列では位が首座の行列式によって定められる．すなわち次の定理の通り．
〔定理 $\boldsymbol{9.\ 4}$〕 対称行列の位が $\boldsymbol{r}$ ならば$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$$\boldsymbol{r}$ 次の首座行列式の中に $\boldsymbol{0}$ に等しくないものがある．組成分子が実数であるときには$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$それらは同一の符号をもつ．
〔証〕 $A$ を対称行列式，$r$ を $A$ の位，$0$ に等しくない $r$ 次の小行列式を\[A^{(r)}\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}\neq0\tag{$\ 1\ $}\]とする．しからば $A$ における各行は $\alpha$，$\beta$，$\cdots$，$\lambda$ なる行の一次的結合である（定理 $8.\ 11$）．よって\begin{alignat*}{1}&(\style{font-family:serif}{\text{第}}\ \alpha^\prime\ \style{font-family:serif}{\text{行}})=c_{11}\times(\style{font-family:serif}{\text{第}}\ \alpha\ \style{font-family:serif}{\text{行}})+c_{12}\times(\style{font-family:serif}{\text{第}}\ \beta\ \style{font-family:serif}{\text{行}})+\cdots+c_{1r}\times(\style{font-family:serif}{\text{第}}\ \lambda\ \style{font-family:serif}{\text{行}}),\\[2mm]&(\style{font-family:serif}{\text{第}}\ \beta^{\ \prime}\ \style{font-family:serif}{\text{行}})=c_{21}\times(\style{font-family:serif}{\text{第}}\ \alpha\ \style{font-family:serif}{\text{行}})+c_{22}\times(\style{font-family:serif}{\text{第}}\ \beta\ \style{font-family:serif}{\text{行}})+\cdots+c_{2r}\times(\style{font-family:serif}{\text{第}}\ \lambda\ \style{font-family:serif}{\text{行}}),\\[2mm]&\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[2mm]&(\style{font-family:serif}{\text{第}}\ \lambda^\prime\ \style{font-family:serif}{\text{行}})=c_{r1}\times(\style{font-family:serif}{\text{第}}\ \alpha\ \style{font-family:serif}{\text{行}})+c_{r2}\times(\style{font-family:serif}{\text{第}}\ \beta\ \style{font-family:serif}{\text{行}})+\cdots+c_{rr}\times(\style{font-family:serif}{\text{第}}\ \lambda\ \style{font-family:serif}{\text{行}})\end{alignat*}とする．
$\alpha^\prime$，$\beta^{\ \prime}$，$\cdots$，$\lambda^\prime$ の中に $\alpha$，$\beta$，$\cdots$，$\lambda$ の中のあるものと同じ番号があってもよい．たとえば $\alpha^\prime=\beta$ ならば，$c_{11}=0$，$c_{12}=1$，$c_{13}=0$，$\cdots$，$c_{1r}=0$ とする．
$A$ は対称であるから，上の関係は列に関しても同じ乗数 $c_{11}$，$c_{12}$，$\cdots$，$c_{1r}$；$\cdots$；$c_{r1}$，$c_{r2}$，$\cdots$，$c_{rr}$ をもって成り立つ．
しからば，対称に注意して\begin{alignat*}{1}A^{(r)}\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\end{pmatrix}\times C=A^{(r)}\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix},\tag{$\ 2\ $}\\[2mm]A^{(r)}\begin{pmatrix}\alpha\hphantom{^\prime}\beta\hphantom{^\prime}\cdots\lambda\hphantom{^\prime}\\\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}\times C=A^{(r)}\begin{pmatrix}\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\\\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix},\tag{$\ 3\ $}\end{alignat*}ただし\[C=\begin{vmatrix}\ c_{11}&c_{12}&\cdotp&c_{1r}\ \\[1mm]\ c_{21}&c_{22}&\cdotp&c_{2r}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ c_{r1}&c_{r2}&\cdotp&c_{rr}\ \end{vmatrix}.\] よって $(\ 1\ )$，$(\ 2\ )$ から\[A^{(r)}\begin{pmatrix}\alpha\beta\cdots\lambda\\\alpha\beta\cdots\lambda\end{pmatrix}\neq0.\]すなわち，定理の前半が証明されたのである．
さて $A^{(r)}\begin{pmatrix}\alpha\beta\cdots\lambda\\\alpha\beta\cdots\lambda\end{pmatrix}\neq0$ として，$C$ の組成分子は上の $(\ 4\ )$ と同様の意味をもつとせよ．しからば $(\ 2\ )$，$(\ 3\ )$ が成り立ち，したがって\[A^{(r)}\begin{pmatrix}\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\\\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}=A^{(r)}\begin{pmatrix}\alpha\beta\cdots\lambda\\\alpha\beta\cdots\lambda\end{pmatrix}\times C^2.\] ゆえに $A^{(r)}\begin{pmatrix}\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\\\alpha^\prime\beta^{\ \prime}\cdots\lambda^\prime\end{pmatrix}\neq0$ ならば，そうして組成分子がすべて実数ならば，$C$ の組成分子も実数であるから，$C^2\gt0$．ゆえに定理の後半が証明されたのである．
$k\lt r$ ならば，$k$ 次の首座行列式が全部 $0$ になることはあり得る．たとえば\[\begin{vmatrix}\ 0&a_{12}&\cdotp&a_{1n}\ \\[1mm]\ a_{21}&0&\cdotp&a_{2n}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&0\ \end{vmatrix}\neq0\]のように位は $n$ で，$1$ 次の首座行列式は全部 $0$ であることもある．
また\[\begin{vmatrix}\ 0&0&0&a\ \\[1mm]\ 0&0&b&0\ \\[1mm]\ 0&b&0&0\ \\[1mm]\ a&0&0&0\ \end{vmatrix}\]では $1$ 次および $3$ 次の首座行列式は全部 $0$ である．
$\boldsymbol{2.}$ 次の定理も後に引用されるものである．
〔定理 $\boldsymbol{9.\ 5}$〕 対称行列式 $A$ の位が $r$ ならば，$1$ 次ないし $r$ 次の首座行列式 $A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_r$ を適当に選んで\[A_0\ \!(=1),\hphantom{A}A_1,\ A_2,\ \cdots,\ A_r\ \!(\neq0)\]において，一般に $A_k$ は $A_{k-1}$ を含み，かつ二つの相接するものが同時に $0$ にならないようにすることができる．
また組成分子が実数である場合には，$A_k=0$ であるときは，$A_{k-1}$ と $A_{k+1}$ とは反対の符号をもつ．
〔証〕 Sylvester の定理（$8.\ 22$）によって，かつ対称を用いて，\begin{alignat*}{1}&A^{(k-2)}\begin{pmatrix}\alpha\beta\cdots\lambda\\\alpha\beta\cdots\lambda\end{pmatrix}A^{(k)}\begin{pmatrix}\alpha\beta\cdots\lambda\mu\nu\\\alpha\beta\cdots\lambda\mu\nu\end{pmatrix}\\[2mm]&\hphantom{A^(}=A^{(k-1)}\begin{pmatrix}\alpha\beta\cdots\lambda\mu\\\alpha\beta\cdots\lambda\mu\end{pmatrix}A^{(k-1)}\begin{pmatrix}\alpha\beta\cdots\lambda\nu\\\alpha\beta\cdots\lambda\nu\end{pmatrix}-\left[A^{(k-1)}\begin{pmatrix}\alpha\beta\cdots\lambda\mu\\\alpha\beta\cdots\lambda\nu\end{pmatrix}\right]^2.\end{alignat*} よって $k$ 次の首座行列式 $A^{(k)}\begin{pmatrix}\alpha\beta\cdots\lambda\mu\nu\\\alpha\beta\cdots\lambda\mu\nu\end{pmatrix}$ の小行列式の中 $k-1$ 次と $k-2$ 次との首座行列式が全部 $0$ ならば，$k-1$ 次の小行列式がすべて $0$，したがって $A^{(k)}$ が $0$ でなければならない．
いま対称行列式 $A$ の位が $r$ ならば，$r$ 次の首座行列式の中に $0$ に等しくないものがあるから，それを $A_r$ とする．$A_r$ に含まれる $r-1$ 次の首座行列式の中に $0$ に等しくないものがあれば，それを $A_{r-1}$ とする．このように進んで，$k$ 次の首座行列式 $A_k$ が $0$ に等しくないとするとき，$A_k$ に含まれる $k-1$ 次の首座行列式が全部 $0$ に等しいならば，上のように，$k-2$ 次の首座行列式の中には $0$ に等しくないものが必ずあるから，それを $A_{k-2}$ として，$A_k$ に含まれ $A_{k-2}$ を含む $k-1$ 次の首座行列式を $A_{k-1}$ にすればよい．最後に $A_2$ が $0$ に等しくないとき，$A_1$ が $0$ であっても，$A_0=1$ とおくのであるから，それもさしつかえない．
次に定理の後段，組成分子が実数のときに，$A_k=0$ ならば，Sylvester の定理によって，$A_{k-1}A_{k+1}=A_kA_k{}^\prime-B_k{}^2=-B_k{}^2$ になるから，$A_{k-1}A_{k+1}\lt0$．（$B_k$，$A_k{}^\prime$ は $k$ 次の小行列式である）．
| 〔例〕 | |
| \[A_4=\begin{vmatrix}\ 0&0&0&a\ \\[1mm]\ 0&0&b&0\ \\[1mm]\ 0&b&0&0\ \\[1mm]\ a&0&0&0\ \end{vmatrix}\neq0,\] | |
| $A_0=1$，$A_1=0$，$A_2=-b^2$，$A_3=0$，$A_4=(ab)^2$． | |
| \[A_5=\begin{vmatrix}\ 0&0&0&0&a\ \\[1mm]\ 0&0&0&b&0\ \\[1mm]\ 0&0&c&0&0\ \\[1mm]\ 0&b&0&0&0\ \\[1mm]\ a&0&0&0&0\ \end{vmatrix}\neq0,\] | |
| $A_0=1$，$A_1=c$，$A_2=0$，$A_3=-b^2c$，$A_4=0$，$A_5=a^2b^2c$． |
〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 対称行列 $A$ において，$r$ 次の首座行列式 $A_r\neq0$ で，$A_r$ を含む $r+1$ 次と $r+2$ 次との首座行列式が全部 $0$ ならば，行列の位は $r$ である．
〔解〕 Sylvester の定理によって $A_r$ を含む任意の $r+1$ 次の小行列式が $0$ になる．ゆえに定理 $8.\ 12$ によって $A$ の位は $r$ である（前頁参照）．
〔注意〕 対称行列 $A$ において $r+1$ 次と $r+2$ 次との首座行列式が全部 $0$ ならば，位は $r$ 以下である．ただし $0$ に等しい $A_r$ を含む $r+1$ 次と $r+2$ 次との首座行列式だけが全部 $0$ であっても位は $r$ より高いこともある．たとえば $A$ が $n$ 次で第 $1$ 行，第 $2$ 行が互いに比例するならば，$A\begin{pmatrix}12\\12\end{pmatrix}$ を含む首座行列式は全部 $0$ であるが，位は $n-1$ でもあり得る．
〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 $n$ 次の対称行列式 $A_n$ において，$k$ 次の首座行列式 $A_k\neq0$，それを含むある一つの首座行列式 $A_{k+1}=0$ また $A_{k+1}$ を含むすべての首座行列式ならば，$A_n=0$．
〔解〕 $A_k=A_k\begin{pmatrix}12\cdots k\\12\cdots k\end{pmatrix}\neq0\hspace{1.7em}A_{k+1}\begin{pmatrix}12\cdots k,\ k+1\\12\cdots k,\ k+1\end{pmatrix}=0,\hspace{1.7em}A_{k+2}\begin{pmatrix}12\cdots k,\ k+1,\ \rho\\12\cdots k,\ k+1,\ \rho\end{pmatrix}=0$（$\rho=k+2$，$\cdots$，$n$）とすれば，Sylvester の定理によって\[A_kA_{k+2}=\left|\begin{array}{ll}\ 0&B_{k+1,\ \rho}\ \\[2mm]\ B_{\rho,\ k+1}&B_{\rho\rho}\end{array}\right|=0\hspace{2em}\therefore\hphantom{\therefore}B_{k+1,\ \rho}=0\hspace{1em}(\rho=k+2,\ \cdots,\ n).\]ただし $B_{\alpha\beta}=A_{k+1}\begin{pmatrix}12\cdots k\alpha\\12\cdots k\beta\end{pmatrix}$．ゆえに再び Sylvester の定理によって\[A_k{}^{n-k-1}A_n=\begin{vmatrix}\ B_{k+1,\ k+1}&B_{k+1,\ k+2}&\cdotp&\cdotp&B_{k+1,\ n}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ B_{n,\ k+1}&B_{n,\ k+2}&\cdotp&\cdotp&B_{n,\ n}\ \end{vmatrix}=0\hspace{1cm}(\style{font-family:serif}{\text{第一行が全部}}\ 0)\]$A_k\neq0$ だから，$A_n=0$．
〔問題 $\boldsymbol{3}$〕 $k$ 次の首座行列式 $A_k\neq0$($k\lt r$）ならば，$A_k$ を含んで定理 $9.\ 5$ にいうような首座行列式の一組 $A_0$，$A_1$，$\cdots$，$A_r$ を作ることができる．
〔解〕 $A_0$，$A_1$，$\cdots$，$A_{k-1}$ は定理 $9.\ 5$ のように，また $A_{k+1}$，$\cdots$，$A_r$ は問題 $1$ または $2$ によって作る．