第 $9$ 章 二 次 形 式
$\S\ 62.$ 二 次 形 式 の 位
$\boldsymbol{1.}$ 二次形式 $A(x,\ x)$ が $n$ 個の変数を含む場合に，もしもその位が $r$ ならば，一次変形によってそれを $r$ 個の変数の二次形式に変形することができる．これが二次形式の位の意義である．〔定理 $\boldsymbol{9.\ 6}$〕 二次形式 $A(x,\ x)=\sum\ \!a_{\mu\nu}x_\mu x_\nu$，（$\mu,\ \nu=1$，$2$，$\cdots$，$n$）の位が $r$ であるとき\[A_r=A\begin{pmatrix}12\cdots r\\12\cdots r\end{pmatrix}\neq0\]とすれば，一次変形によって，$A(x,\ x)$ を\[A_r(x^\prime,\ x^\prime)={\textstyle\sum}\ \!a_{\mu\nu}x_\mu{}^\prime x_\nu{}^\prime\hphantom{1}(\mu,\ \nu=1,\ 2,\ \cdots,\ r)\]なる二次形式に変ずることができる．
すなわち変形後の二次形式は $r$ 個の変数だけを含んで$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$かつその係数の行列が $A_r$ になるのである．
〔証〕 仮定によって，$A_r\neq0$ だから，連立一次方程式\[A_i(x)=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n=0,\hphantom{m}(i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\]は $n-r$ の互いに独立な解\[x_1{}^{(\nu)},\ x_2{}^{(\nu)},\ \cdots,\ x_n{}^{(\nu)}\hspace{1cm}(\nu=1,\ 2,\ \cdots,\ n-r)\]をもつ．それらを第 $r+1$，$r+2$，$\cdots$，$n$ の列として，行列\[P=\begin{pmatrix}\ 1&0&\cdotp&0&x_1{}^{(1)}&x_1{}^{(2)}&\cdotp&x_1{}^{(n-r)}\ \\[1mm]\ 0&1&\cdotp&0&x_2{}^{(1)}&x_2{}^{(2)}&\cdotp&x_2{}^{(n-r)}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&1&x_r{}^{(1)}&x_r{}^{(2)}&\cdotp&x_r{}^{(n-r)}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ 0&0&\cdotp&0&x_n{}^{(1)}&x_n{}^{(2)}&\cdotp&x_n{}^{(n-r)}\ \end{pmatrix}\]として，それを一次変形の係数の行列とする．しからば $\S60$，$(\ 5\ )$ の公式において，$i\leqq r$，$j\leqq r$ ならば，$A\left(p^{(i)},\ p^{(j)}\right)=a_{ij}$．また $i\gt r$ または $j\gt r$ ならば，$A_i\left(x^{(\nu)}\right)=0$，$A_j\left(x^{(\nu)}\right)=0$ だから，$A\left(p^{(i)},\ p^{(j)}\right)=0$，ゆえに\[A(x,\ x)=\overset{r}{\underset{i,\ j=1}{\textstyle\sum}}a_{i,\ j}x_j{}^\prime x_j{}^\prime.\]すなわち $A(x,\ x)$ が $x_1{}^\prime$，$x_2{}^\prime$，$\cdots$，$x_r{}^\prime$ だけの二次形式に変形されたのである．
〔注意〕 二次形式の係数が実数である場合には，上の一次変形 $P$ の係数をも実数とすることができる．
〔例 $1$〕 二次形式 $f=\sum\ \!a_{\mu\nu}x_\mu x_\nu$ の位が $1$ であるとする．しからば $f$ は一つの変数の二次形式になる．すなわちいわゆる完全な平方になる．
$a_{11}\neq0$ とすれば，$A$ における二次の行列式は全部 $0$ になって，$A$ の各行は第一行に比例する．ゆえに\[f=a_{11}\left(x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}x_2+\frac{a_{13}}{a_{11}}x_3+\cdots+\frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n\right)^2\] 〔例 $2$〕 二次形式 $f$ の位が $2$ であるときには，$f$ は二つの変数の二次形式に変形される．すなわち\[f=aX^2+2bXY+cY^2\]のような形になる．ゆえに $f$ は二つの一次因数に分解される．
二つの変数の二次式を斉次の形にしるせば，三つの変数の二次形式を得る．この場合には，判別式が $0$ に等しいときには，$r\leqq2$ であるから，二次式が一次因数に分解される．