第 $9$ 章 二 次 形 式
$\S\ 66.$ 二次形式の固有方程式$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$固有値
$\boldsymbol{1.}$ 変数 $n$ 個の実二次形式 $f=A(x,\ x)=\sum\ \!a_{\mu\nu}x_\mu x_\nu$ を直交変形\[(x)=P(X)\tag{$\ 1\ $}\]によって標準形式\[\rho_1X_1{}^2+\rho_2X_2{}^2+\cdots+\rho_nX_n{}^2\tag{$\ 2\ $}\]に変形しようというのが，われわれの問題であるが，仮りにこのような変形が可能であるとするならば，$\rho$ を任意の係数とするとき，直交変形 $(\ 1\ )$ によって二次形式\[{\textstyle\sum}\ \!a_{\mu\nu}x_\mu x_\nu-\rho{\textstyle\sum}\ \!x_\mu{}^2\]は\[\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}\rho_\mu X_\mu{}^2-\rho\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}X_\mu{}^2\]に変形されるであろう．しからば，これらの二次形式の判別式の間には\begin{alignat*}{1}\left|\begin{array}{llccl}\ a_{11}-\rho&a_{12}&\cdotp&\cdotp&a_{1n}\ \\[1mm]\ a_{21}&a_{22}-\rho\hspace{-0.5em}&\cdotp&\cdotp&a_{2n}\ \\[1mm]\ \hphantom{a}\cdotp&\hphantom{a}\cdotp&\cdotp&\cdotp&\hphantom{a}\cdotp\ \\[1mm]\ a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&\cdotp&a_{nn}-\rho\ \end{array}\right|&=\left|\begin{array}{llccl}\ \rho_1-\rho&0&\cdotp&\cdotp&0\ \\[1mm]\ \ 0&\rho_2-\rho\hspace{-0.5em}&\cdotp&\cdotp&0\ \\[1mm]\ \ \ \!\cdotp&\ \ \!\cdotp&\cdotp&\cdotp&\ \ \!\cdotp\ \\[1mm]\ \ 0&0&\cdotp&\cdotp&\rho_n-\rho\ \end{array}\right|\hspace{0.7mm}\cdotp|\ \!P\ \!|^2\\[2mm]&=(\rho_1-\rho)(\rho_2-\rho)\cdots\cdots(\rho_n-\rho)\tag{$\ 3\ $}\end{alignat*}なる関係が成り立たねばならない（$|\ \!P\ \!|^2=1$）．左辺の行列式は $\rho$ に関する $n$ 次の多項式である．これを $\varphi(\rho)$ とおく．$\varphi(\rho)$ は二次形式 $A(x,\ x)$ または対称行列 $A$ の固有多項式，$\varphi(\rho)=0$ は固有方程式と称するものである．
さて上の等式 $(\ 3\ )$ は $\rho$ の任意の値に対して成り立つのであるから\[\varphi(\rho)=(\rho_1-\rho)(\rho_2-\rho)\cdots(\rho_n-\rho)\]は $\rho$ に関する恒等式である．したがって $\rho_1$，$\rho_2$，$\cdots$，$\rho_n$ は固有方程式の根である．$\rho_1$，$\rho_2$，$\cdots$，$\rho_n$ を行列 $A$（または二次形式 $f$）の固有値という．
二次形式 $f$ が直交変形によって標準形式 $(\ 2\ )$ に変形されるとするならば，$(\ 2\ )$ における係数 $\rho_1$，$\rho_2$，$\cdots$，$\rho_n$ は固有値でなければならない．
本節ではまず，$\varphi(\rho)$ の根がすべて実数であることを証明する．
〔定理 $\boldsymbol{9.\ 11}$〕 $n$ 次の対称行列 $A=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{\mu\nu}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ の組成分子が実数であるとき，固有方程式 $\varphi(\rho)=|\ \!a_{\mu\nu}-\delta_{\mu\nu}\rho\ \!|=0$ は実根のみをもつ．
$\rho=\rho_0$ が $\varphi(\rho)$ の $k$ 重根であるときには，$\rho_0$ を $\rho$ に代入するとき，$\varphi(\rho)$ の行列 $\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{\mu\nu}-\delta_{\mu\nu}\rho_0\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ の位は $n-k$ になる（$\delta$ は $308$ 頁の通り）．
〔証〕 この定理ははなはだ有名で，いろいろ証明法がある．次に中で最も簡易な証明を述べる．
$\rho_0$ を $\varphi(\rho)$ の一つの根とすれば，斉次一次方程式\[\left.\begin{array}{llccl}(a_{11}-\rho_0)x_1\hspace{-0.8em}&+&a_{12}x_2&+\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}+&\hphantom{a}a_{1n}x_n\hphantom{x_n}=0,\\[2mm]\hphantom{(}a_{21}x_1&+&\hspace{-0.8em}(a_{22}-\rho_0)x_2\hspace{-0.8em}&+\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}+&\hphantom{a}a_{2n}x_n\hphantom{x_n}=0,\\[2mm]\hphantom{aa}\cdotp&&\cdotp&\hphantom{+}\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\hphantom{+}&\hphantom{aa}\cdotp\hspace{3.5em}\cdotp\\[2mm]\hphantom{(}a_{n1}x_1&+&a_{n2}x_2&+\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}\cdotp\hphantom{a}+&\hspace{-0.8em}(a_{nn}-\rho_0)x_n=0\end{array}\right\}\tag{$\ 4\ $}\]が解をもつ．解とはもちろん $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$ 以外の解をいう．その解を $(x)$ なる文字で表わすことにして，上の方程式に $\overline{x}_1$，$\overline{x}_2$，$\cdots$，$\overline{x}_n$ を掛けて加えるならば（$\overline{x}$ は $x$ の共役複素数），\[\overset{n}{\underset{\mu,\ \nu=1}{\textstyle\sum}}a_{\mu\nu}\overline{x}_\mu x_\nu=\rho_0\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}x_\mu \overline{x}_\mu\]を得る．
右辺において $\sum\ \!x_\mu\overline{x}_\mu$ は実数であるが，仮定によって，それは $0$ でない．さて左辺の和の共役複素数を作れば，$a_{\mu\nu}=a_{\nu\mu}$ に注意して，\begin{alignat*}{1}\overset{n}{\underset{\mu,\ \nu=1}{\textstyle\sum}}a_{\mu\nu}x_\mu \overline{x}_\nu&=\overset{n}{\underset{\mu,\ \nu=1}{\textstyle\sum}}a_{\nu\mu}x_\nu \overline{x}_\mu=\overset{n}{\underset{\mu,\ \nu=1}{\textstyle\sum}}a_{\mu\nu}x_\nu \overline{x}_\mu\\[2mm]&=\overset{n}{\underset{\mu,\ \nu=1}{\textstyle\sum}}a_{\mu\nu}\overline{x}_\mu x_\nu\end{alignat*}すなわち左辺の和はその共役複素数に等しい．すなわち実数である．ゆえに $\rho_0$ は実数である．
すなわち $\varphi(\rho)$ は実根のみをもつ．
次に $\rho_0$ を $\rho$ に代入するとき行列\[\left(\begin{array}{lllll}\ a_{11}-\rho_0&a_{12}&\cdotp&\cdotp&a_{1n}\ \\[1mm]\ a_{21}&a_{22}-\rho_0&\cdotp&\cdotp&a_{2n}\ \\[1mm]\ \hphantom{1}\cdotp&\hphantom{1}\cdotp&\cdotp&\cdotp&\hphantom{1}\cdotp\ \\[1mm]\ a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&\cdotp&a_{nn}-\rho_0\ \end{array}\right)\tag{$\ 5\ $}\]の位が $r$ になるとして（$r\lt n$），そのとき $\rho_0$ が $\varphi(\rho)$ の $n-r$ 重根である．ことを証明する．あるいは $\rho=\rho^\prime+\rho_0$ とおいて変数を $\rho^\prime$ に換えていえば，$\varphi(\rho^\prime+\rho_0)$ が $\rho^\prime=0$ を $n-r$ 重根としてもつことを証明する．\[\varphi(\rho^\prime+\rho_0)=\left|\begin{array}{lllll}\ (a_{11}-\rho_0)-\rho^\prime&\hphantom{(}a_{12}&\cdotp&\hphantom{(}a_{1n}\ \\[1mm]\ \hphantom{(}a_{21}&(a_{22}-\rho_0)-\rho^\prime&\cdotp&\hphantom{(}a_{2n}\ \\[1mm]\ \hphantom{1(}\cdotp&\hphantom{1(}\cdotp&\cdotp&\hphantom{1(}\cdotp\ \\\ \hphantom{1(}\cdotp&\hphantom{1(}\cdotp&\cdotp&\hphantom{1(}\cdotp\ \\[1mm]\ \hphantom{(}a_{n1}&\hphantom{(}a_{n2}&\cdotp&(a_{nn}-\rho_0)-\rho^\prime\ \end{array}\right|\]を $\rho^\prime$ の降冪に展開すれば，仮定によって\[\varphi(\rho^\prime+\rho_0)=\pm\rho^{\prime\ n}+\cdots\pm C\hspace{0.7mm}\cdotp\rho^{\prime\ n-r}\]を得る．$C$ は行列 $(\ 5\ )$ における $r$ 次の首座行列式全部の和に等しい．$(\ 5\ )$ の位が $r$ であると仮定してあるから，$\rho^{\prime\ n-r-1}$，$\cdots$ の係数は $0$ になるのである．
さて実対称行列 $(\ 5\ )$ の位が $r$ であるから，その $r$ 次の首座行列式の中には $0$ に等しくないものがあって，それらはすべて同一の符号をもつ（定理 $9.\ 4$）．ゆえに $C\neq0$．したがって $\rho^\prime=0$ は $\varphi(\rho^\prime+\rho_0)=0$ の $n-r$ 重根である．
換言すれば，$\rho=\rho_0$ が $\varphi(\rho)$ の $k$ 重根ならば（$k=n-r$），$\rho=\rho_0$ を代入するとき，$\varphi(\rho)$ の行列の位は $n-k$ になる．