第 $1$ 章 初 等 整 数 論
$\S\ 1.$ 整 数 の 整 除
$\boldsymbol{1.}$ 本章では整数の整除，倍数，約数などに関する最も卑近な理論を述べる．中には周知の事項もあろうが，一応根本から系統的に考察をしておく必要がある．本章では文字は必ず整数を表わすのであるから，いちいちそれを断わらない．もっとも整数というのは\[{\small\cdots\cdots\cdots},\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ {\small\cdots\cdots\cdots}\]など，正および負の整数と $0$ とを総括していうのである．
整数の和，差および積は整数であるが，商は特別な場合のほかは整数ではない．商$a/b$が整数$q$に等しいとき，すなわち\[a=bq\hspace{5mm}\left(b\neq0\right)\]のとき，$a$ は $b$ で割り切れるという．また $a$ を $b$ の倍数，$b$ を $a$ の約数という．
この定義によれば，$0$ は任意の整数 $b$（ただし $b\neq0$ ）の倍数である．また $\left|a\right|\lt\left|b\right|$ で $a$ が $b$ で割り切れるときは，$a=0$（ $\left|a/b\right|\lt1$ が整数であるから，それは $0$，したがって，$a=0$ ）．
〔定理 $\boldsymbol{1.\ 1}$〕 或る整数の倍数の和，または倍数の倍数はその整数の倍数である．一般に $a_1$，$a_2$，$\cdots\cdots$，$a_n$ が $b$ の倍数ならば，\[a_1x_1+a_2x_2+\cdots\cdots+a_nx_n\]は $b$ の倍数である．
〔証〕 $\dfrac{a_1x_1+a_2x_2+\cdots\cdots+a_nx_n}{b}=\dfrac{a_1}{b}x_1+\dfrac{a_2}{b}x_2+\cdots\cdots+\dfrac{a_n}{b}x_n$
で仮定によって右辺は整数の和であるから．
次の定理は基本的である．
〔定理 $\boldsymbol{1.\ 2}$〕 $a$ は任意の整数で，$b\gt0$ ならば，\[a=qb+r,\hspace{1cm}0\leqq r\lt b,\]を満足させる整数 $q$，$r$ がただ一組に限って存在する．
〔証〕 $b$の倍数を\[{\small\cdots\cdots\cdots},\ -3b,\ -2b,\ -b,\ 0,\ b,\ 2b,\ 3b,\ {\small\cdots\cdots\cdots}\]のように大きさの順序に並べると，それらの中には絶対値において，いかほどでも大きいものがあるから実数 $x$ の全範囲が\[qb\leqq x\lt\left(q+1\right)b\]のような無数の区間に分けられる．$a$ はこれらの区間のなかのただ一つに属するから\[qb\leqq a\lt\left(q+1\right)b\]になるような $q$ が存在する．しからば\[a-qb=r\]と置くとき，\[0\leqq r\lt b.\] $q$，$r$ がただ一組に限って存在することも明白であるが，念のために証明すれば次の通りである．
もしも\begin{alignat*}{3}a&=qb+r,&\hspace{1cm}0&\leqq r&&\lt b,\\a&=q^\prime b+r^\prime,&\hspace{1cm}0&\leqq r^\prime&&\lt b\end{alignat*}とすれば\[\left(q-q^\prime\right)b=r^\prime-r.\]すなわち，$r^\prime-r$ は $b$ で割り切れる．しかるに，仮定によって $\left|r^\prime-r\right|\lt b$，故に，$r^\prime-r=0$，したがって $q-q^\prime=0$．すなわち $q=q^\prime$，$r=r^\prime$．
〔例〕 $b=12$ とすれば，
| $a=50$ | のとき， | $q=4$， | $r=2$． | |
| $a=-50$ | のとき， | $q=-5$， | $r=10$． | |
| $a=-5$ | のとき， | $q=-1$， | $r=7$． |
定理 $1.\ 2$ において $r=0$ なるときが，すなわち $a$ が $b$ で割り切れる場合である．$r\gt0$ であるときには，$r$ を「$b$ を法としての $a$ の最小正剰余」という．また $q$ は $a/b$ よりも大でなくて，それに最も近い整数である．一般に実数 $x$ よりも大でない最大の整数を $\left[x\right]$ で表わすことがある（Gauss の記号）．しからば $q=\left[a/b\right]$．
もしも $a/b$ より大きくても，小さくても，それに最も近い整数を $q$ とするならば\[\left|\dfrac{a}{b}-q\right|\leqq\frac{1}{2}.\]そのとき $a-qb=r$ とおけば，$\left|r\right|\leqq b/2$．故に\[a=bq+r,\hspace{5mm}\left|r\right|\leqq\frac{b}{2}\]になるような $q$，$r$ は必ずあるが，この場合には $q$，$r$ が二組生ずることもある．それは $b$ が偶数で，$a$が $b/2$ の奇数倍の場合である．$a=\left(2h+1\right)b/2$ ならば，$q=h$，$r=b/2$，または $q=h+1$，$r=-b/2$
上記のように $\left|r\right|\leqq b/2$ なる $r$ を「$b$ を法としての $a$ の絶対的最小剰余」という．
| 〔例〕 | $b=12$ | のとき， |
| $a=70$ | ならば，$q=6$， $r=-2$． | |
| $a=-67$ | ならば，$q=-6$， $r=5$． | |
| $a=30$ | ならば，$q=2$， $r=6$ または $q=3$， $r=-6$． |