初 等 整 数 論 講 義 第 $2$ 版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 11.$ 原始根,指数  $\S\ 13.$ 平方剰余の相互法則 $\blacktriangleright$

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第 $1$ 章 初 等 整 数 論


 $\S\ 12.$ 平方剰余,Legendre の記号

 $\boldsymbol{1.}$ 本節においては $p$ を $2$ 以外の素数とする.
 $x^2\equiv a\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)$ が解を有するときに,$a$ を $p$ の平方剰余,しからざるときに平方非剰余という($\S\ 11$,$\boldsymbol{3}$).
 $a\not\equiv0\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)$ であるとき,$a$ が平方剰余であるか,または非剰余であるかに従って,\[\left(\frac{a}{p}\right)=+1 または -1\]とする.これを Legendre の記号という.
 この記号において横線の下に記される数 $p$ は $\text{mod}.$ なる奇の素数で,横線の上に記される数 $a$ は $p$ で割り切れない正または負の整数である.
 $p$ の任意の原始根を底とするとき,$\operatorname{Ind}.\ \!a$ が偶数であるか,または奇数であるかに従って,$a$ は平方剰余または非剰余であるから($\S\ 11$,$\boldsymbol{3}$ 参照,ここでは $e=2$),\[\left(\frac{a}{p}\right)=\left(-1\right){}^{\operatorname{Ind}.\ \!a}\tag{$\ 1\ $}\]である.故に $\text{mod}.\ p$ に関する $p-1$ の既約類のうち,半数は平方剰余のみを,他の半数は非剰余のみを含む.
 〔注意〕 $x^2\equiv\left(p-x\right){}^2\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)$ だから,$1$,$2$,$\cdots\cdots$,$\left(p-1\right)/2$ の平方が $p$ の平方剰余を与える.例えば $p=11$ とすれば,平方剰余は\[1^2=1,\ 2^2=4,\ 3^2=9,\ 4^2\equiv5,\ 5^2\equiv3,\]すなわち $1$,$3$,$4$,$5$,$9$ である.
 〔定理 $\boldsymbol{1.\ 30}$〕 $a\equiv a^\prime\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)$ ならば,$\left(\dfrac{a}{p}\right)=\left(\dfrac{a^\prime}{p}\right)$.
 〔〕 $\left(\ 1\ \right)$ によって明白.
 〔定理 $\boldsymbol{1.\ 31}$〕 $\left(\dfrac{abc\cdots}{p}\right)=\left(\dfrac{a}{p}\right)\left(\dfrac{b}{p}\right)\left(\dfrac{c}{p}\right)\cdots$
 〔〕 $\left(\ 1\ \right)$ によって明白.
 〔定理 $\boldsymbol{1.\ 32}$〕 (Euler の規準)\[\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)\] 〔〕 $a$ が平方剰余であるために必要かつ十分な条件は\[a^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)\]である(定理 $1.\ 29$).故に $\left(\dfrac{a}{p}\right)=1$ ならば,$a^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)$.
 また $\left(\dfrac{a}{p}\right)=-1$ ならば,$a^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\not\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)$.しかるに Fermat の定理によって $(a^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}})^2\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)$ であるから,$a^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\equiv-1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)$.

 $\boldsymbol{2.}$ Euler の規準の簡単な証明を Dirichlet の整数論講義から次に転載する.この証明から副産物として,いわゆる Wilson の定理($\S\ 11$,問題 $5$)も出てくる.
 $a$ を $p$ で割り切れない数とすれば\[1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots,\ p-1\tag{$\ 2\ $}\]の中の任意の数 $r$ に対して\[rs\equiv a\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)\]なる数 $s$ が $\left(\ 2\ \right)$ の中にただ一つ存在する.かりに $s$ を $r$ の配偶と呼ぶならば,$s$ の配偶は $r$ で,また同一の数の配偶はただ一つに限る.
 ただし $\left(\dfrac{a}{p}\right)=1$ のとき,$r$ を $x^2\equiv a\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)$ の解とすれば,$r$ の配偶は $r$ 自身である.このとき $p-r$ もまたこの合同式の解で,その配偶は $p-r$ 自身である.$\left(\ 2\ \right)$ の数の中で,上の合同式を満足させるものは,$r$ と $p-r$ との二つ($p$ が奇数であるから,$r\neq p-r$)に限る(定理 $1.\ 15$)から,この二つを除いた残りの $p-3$ 個は二つずつ互いに配偶となって,それらの $p-3$ 個の数の積は $\equiv a^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-3}{2}}\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)$ になる.さて $r\left(p-r\right)\equiv-r^2\equiv-a\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)$.
 故に\[\left(\frac{a}{p}\right)=1 ならば\!,\ \left(p-1\right)^{\ }\!!\equiv-a^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right).\] 次に $\left(\dfrac{a}{p}\right)=-1$ のときには,上記の $r$,$p-r$ のような特別な数はないから,$\left(\ 2\ \right)$ の数は $\left(p-1\right)/2$ 組の配偶に分かれる.したがって\[\left(\frac{a}{p}\right)=-1 ならば\!,\ \left(p-1\right)^{\ }\!!\equiv a^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right).\]さて $a=1$ はもちろん前の場合に属するから,\[\left(p-1\right)^{\ }\!!\equiv-1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right).\]これがすなわち Wilson の定理である.
 よって,上記の二つの場合の区別は次のようになる.\[\left.\begin{array}{l}\left(\dfrac{a}{p}\right)=1 ならば\!,\ a^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\equiv1\\\left(\dfrac{a}{p}\right)=-1 ならば\!,\ a^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\equiv-1\end{array}\hphantom{ならば}\right\}\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right).\]これがすなわち Euler の規準である.\[\left(\frac{a}{p}\right)\ は\ +1\ でもまたは\ -1\ でも\!,\ a^{p-1}=(a^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}){}^2\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right).\]すなわち Fermat の定理が再び証明されたのである.

 附記 整数を平方数の和に分解すること
平方剰余の応用として,次の有名な定理を紹介する.
 〔定理〕 すべて正の整数を四つの平方数の和として表わすことができる:\[n=x_1{}^2+x_2{}^2+x_3{}^2+x_4{}^2.\] 平方数といっても $0^2$ をも入れるのである.$0$ を除くならば四つ以下の平方数の和というべきである.
 〔〕 恒等式(代.$6/7$ 頁)\begin{alignat*}{1}&\left(x_1{}^2+x_2{}^2+x_3{}^2+x_4{}^2\right)\left(y_1{}^2+y_2{}^2+y_3{}^2+y_4{}^2\right)\\[1mm]&\hphantom{(x_1{}^2+}=\left(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\right)^2\\[1mm]&\hphantom{(x_1{}^2+}+\left(x_1y_2-x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3\right)^2\tag{$\ 3\ $}\\[1mm]&\hphantom{(x_1{}^2+}+\left(x_1y_3-x_2y_4-x_3y_1+x_4y_2\right)^2\\[1mm]&\hphantom{(x_1{}^2+}+\left(x_1y_4+x_2y_3-x_3y_2-x_4y_1\right)^2\end{alignat*}によって,四つの平方数の和の積は,やはり四つの平方数の和として表わされるから,定理を $n$ が素数である場合に証明すれば十分である.まず $2=1^2+1^2$ には論はない.さて $-1$ が $p$ の平方剰余ならば,\[x^2+1=ph\tag{$\ 4\ $}\]とおく.また $-1$ したがって $p-1$ が $p$ の平方非剰余ならば,$1$,$2$,$\cdots\cdots$,$p-1$ は $p$ の平方剰余 $1$ に始まって非剰余 $p-1$ に終わるから,その中に,$k$ は平方剰余で,$k+1$ は非剰余であるような $k$ が必ずある.しからば\[\left(\frac{-k-1}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{k+1}{p}\right)=-1\hspace{0.7mm}\cdotp-1=+1\]であるから,\begin{alignat*}{2}x_1{}^2&\equiv k&\hphantom{m}&\left(\text{mod}.\ p\right),\\[1mm]x_2{}^2&\equiv-k-1&\hphantom{m}&\left(\text{mod}.\ p\right)\end{alignat*}が解を有する.故に\[x_1{}^2+x_2{}^2+1\equiv0\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right).\]よって\[x_1{}^2+x_2{}^2+1=ph\tag{$\ 5\ $}\]と置く.$\left(\ 4\ \right)$ でも,$\left(\ 5\ \right)$ でも,$h=1$ ならば,証明が終わるのであるが,いま一般に\[x_1{}^2+x_2{}^2+x_3{}^2+x_4{}^2=ph,\ \ h\gt1\tag{$\ 6\ $}\]とするとき,$0\lt h^\prime\lt h$ なる或る $h^\prime$ をもって $ph^\prime$ を四つの平方の和に分解し得ることを示そう.しからば $p$ の係数が $1$ になるまで,同様の操作が続けられるから,ついには $p$ それ自身の分解が成就する.
 $\left(\ 6\ \right)$ における $x_1$,$x_2$,$x_3$,$x_4$を $h$ で割って,絶対値において最小の剰余を求め\[x_1\equiv y_1,\ \ x_2\equiv y_2,\ \ x_3\equiv y_3,\ \ x_4\equiv y_4\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ h\right),\tag{$\ 7\ $}\]\[\left|y_i\right|\leqq\frac{h}{2}\tag{$\ 8\ $}\]とする.しからば\[y_1{}^2+y_2{}^2+y_3{}^2+y_4{}^2\equiv x_1{}^2+x_2{}^2+x_3{}^2+x_4{}^2\equiv0\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ h\right).\] よって\[y_1{}^2+y_2{}^2+y_3{}^2+y_4{}^2=hh^\prime\]と置いて,$\left(\ 3\ \right)$ に代入して\[z_1{}^2+z_2{}^2+z_3{}^2+z_4{}^2=ph^2h^\prime,\]ただし,$\left(\ 3\ \right)$ および $\left(\ 7\ \right)$ によって\begin{alignat*}{1}z_1&=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\equiv{\textstyle\sum}x_i{}^2\equiv0\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ h\right),\\[1mm]z_2&=x_1y_2-x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3\equiv x_1x_2-x_2x_1+x_3x_4-x_4x_3\equiv0\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ h\right),\end{alignat*}同様に\[\begin{alignat*}{2}z_3&=x_1y_3-x_2y_4-x_3y_1+x_4y_2&&\equiv0,\\[1mm]z_4&=x_1y_4+x_2y_3-x_3y_2-x_4y_1&&\equiv0.\end{alignat*}\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ h\right).\]よって\[z_1=ht_1,\ \ z_2=ht_2,\ \ z_3=ht_3,\ \ z_4=ht_4\]とおけば\[t_1{}^2+t_2{}^2+t_3{}^2+t_4{}^2=ph^\prime.\] さて $\left(\ 8\ \right)$ によって\[hh^\prime={\textstyle\sum}y_i{}^2\leqq4\left(\frac{h}{2}\right)^2.\]故に $h^\prime\leqq h$.
 もしも,ここで等号が成り立つならば,$y_i=\left(h/2\right)$  $\left(i=1,\ 2,\ 3,\ 4\right)$,したがって $h/2$ は整数で,$x_i$ は $h/2$ の奇数倍でなければならない.いま\[x_i=\left(2m_i+1\right)\frac{h}{2}\]とすれば,$\left(\ 6\ \right)$ に代入して\[{\textstyle\sum}\left(2m_i+1\right)^2\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{h}{4}=p.\]左辺の和は $4$ で割り切れ,$h$ は偶数だから,これは不可能である.よって\[h^\prime\lt h.\]すなわち証明は完成した.
 上記定理は Fermat が言明した有名な定理の一つの特別の場合である.その定理は「すべての正の整数を $k$ 個以下の $k$ 角数の和として表わし得る」というのである.
 $k$ 角数($k$ 次の多角数,$k\geqq3$)とは初項 $1$,公差 $k-2$ なる算術級数の和,すなわち $\left(n/2\right)\left\{2+\left(n-1\right)\left(k-2\right)\right\}$ のような形の数である.例えば $k=3$ のとき,すなわち三角数は $n\left(n+1\right)/2$ で,$k=4$ のときは,平方数 $n^2$ である.
 Fermat は上記の定理の証明を発表しなかったのであるが,$k=3$ の場合は Gauss($1801$),上記平方の場合は Lagrange($1770$)が証明し,その後 Cauchy($1815$)が一般の場合を証明した.平方数の場合が最も平易である.






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