第 $2$ 章 連 分 数
$\S\ 27.$ 方程式の実根の計算に連分数を応用すること
$\boldsymbol{1.}$ 連分数を開拓した Lagrange はそれを方程式の実根の計算に応用せずには置かなかった．連分数から優良なる近似値が得られるからこれは至当な着眼である．$n$ 次の方程式\[f\left(x\right)=0\tag{$\ 1\ $}\]（係数は随意）が実根を有すると仮定して，その一つの実根 $\alpha$ が整数 $k_0$ と $k_0+1$ との間にあることが知られたとして，\[\alpha=k_0+\frac{1}{\alpha_1}\]と置けば $\alpha_1\gt1$ である．$\alpha_1$ は方程式 $\left(\ 1\ \right)$ に\[x=k_0+\frac{1}{x_1}\]なる変換を行なって得られる方程式\[f_1\left(x_1\right)=0\tag{$\ 2\ $}\]$\left(f_1\left(x_1\right)\equiv x_1{}^nf\left(k_0+\dfrac{1}{x_1}\right)\right)$ の根である．$\left(\ 1\ \right)$ の $\alpha$ 以外の根を $\beta$，$\gamma$，$\cdots\cdots$ とすれば\[\beta=k_0+\frac{1}{\beta_1},\hspace{1cm}\gamma=k_0+\frac{1}{\gamma_1},\ \cdots\cdots\]なる $\beta_1$，$\gamma_1$，$\cdots\cdots$ がすなわち $\left(\ 2\ \right)$ の $\alpha_1$ 以外の根である．
$\left(\ 1\ \right)$ の実根の中で，$k_0$ よりも小さいものに対応する $\left(\ 2\ \right)$ の根は負数になり，また $k_0+1$ よりも大きいものに対応する $\left(\ 2\ \right)$ の根は $1$ よりも小さい正数である．ただ $k_0$ と $k_0+1$ との間に $\alpha$ 以外の実根があれば，それらに対応する $\left(\ 2\ \right)$ の根だけが正で，かつ $1$ よりも大である．
さて $\alpha_1$ は整数 $k_1$ と $k_1+1$ との間にあるとして，\[\alpha_1=k_1+\frac{1}{\alpha_2}\]と置けば，$\alpha_2$ は方程式 $\left(\ 2\ \right)$ に\[x_1=k_1+\frac{1}{x_2}\]なる変換を行なって得られる方程式\[f_2\left(x_2\right)=0\tag{$\ 3\ $}\]の根で，$\alpha_2$ 以外の $\left(\ 3\ \right)$ の根は\[\beta_1=k_1+\frac{1}{\beta_2},\hspace{1cm}\gamma_1=k_1+\frac{1}{\gamma_2},\ \cdots\cdots\]なる $\beta_2$，$\gamma_2$，$\cdots\cdots$ である．
このような操作を継続すれば，$\left(\ 1\ \right)$ の実根 $\alpha$ を連分数に展開することができる．いま\[\alpha=k_0+\frac{\lower{0.1em}1}{\lower{0.1em}{k_1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{\lower{0.1em}1}{\lower{0.1em}{k_2}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{\lower{0.1em}1}{\lower{0.1em}{k_{m-1}}}+\frac{\lower{0.1em}1}{\lower{0.1em}{\alpha_m}}\tag{$\ 4\ $}\]とすれば，近似分数 $p_m/q_m$ を実根 $\alpha$ の近似値とするとき，誤差は $1/q_m{}^2$ よりも小である．
さて，このような変換によって，$\left(\ 1\ \right)$ の $\alpha$ 以外の根 $\beta$，$\gamma$，$\cdots\cdots$ の運命はいかように成り行くであろうか．
$\boldsymbol{2.}$ 上記 $\left(\ 4\ \right)$ の $\alpha$ の展開に伴う変換（この場合実根 $\alpha$ は無理数と仮定する）\[x=k_0+\frac{\lower{0.1em}1}{\lower{0.1em}{k_1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{\lower{0.1em}1}{\lower{0.1em}{k_2}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{\lower{0.1em}1}{\lower{0.1em}{k_{m-1}}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{\lower{0.1em}1}{x_m}=\frac{p_mx_m+p_{m-1}}{q_mx_m+q_{m-1}}\]によって，$\left(\ 1\ \right)$ が\[f_m\left(x_m\right)=0\tag{$\ 5\ $}\]に変換されたとすれば，$\alpha$ 以外の $\left(\ 1\ \right)$ の根 $\beta$，$\gamma$，$\cdots\cdots$ に対応して\[\beta=\frac{p_m\beta_m+p_{m-1}}{q_m\beta_m+q_{m-1}},\hphantom{m}\gamma=\frac{p_m\gamma_m+p_{m-1}}{q_m\gamma_m+q_{m-1}},\ \cdots\cdots\]なる $\beta_m$，$\gamma_m$，$\cdots\cdots$ が $\left(\ 5\ \right)$ の根である．すなわち\[\beta_m=\frac{q_{m-1}\beta-p_{m-1}}{-q_m\beta+p_m}=-\frac{q_{m-1}}{q_m}\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{\beta-\dfrac{p_{m-1}}{q_{m-1}}}{\beta-\dfrac{p_m}{q_m}}\tag{$\ 6\ $}\]$m$ を限りなく増大せしめるとき，\[\frac{p_{m-1}}{q_{m-1}}\rightarrow\alpha,\hphantom{m}\frac{p_m}{q_m}\rightarrow\alpha.\]故に\[\frac{\beta-\dfrac{p_{m-1}}{q_{m-1}}}{\lower{0.1em}{\beta-\dfrac{p_m}{q_m}}}\rightarrow\frac{\beta-\alpha}{\beta-\alpha}=1.\tag{$\ 7\ $}\]（ただし，$\beta\neq\alpha$ と仮定する）．$q_{m-1}$，$q_m$ は正の整数であるから，$\beta$ が実数ならば，$\beta_m$ はついには負数になる．
$\beta_m$ が負数になれば\[\beta_m=k_m+\frac{1}{\beta_{m+1}},\]すなわち\[\beta_{m+1}=\frac{1}{\beta_m-k_m}\]で，$k_m\geqq1$ であるから，$\beta_{m+1}$ は負数で，かつ絶対値が $1$ よりも小さい．故に或る値以上の $m$ に対しては，$\alpha_m$ が当該の方程式 $f_m=0$ のただ一つの正根で，しかも $1$ よりも大きく，その他の実根 $\beta_m$，$\gamma_m$，$\cdots\cdots$ は全部負で，しかも区間 $\left(-1,\ 0\right)$ に入るのである．
〔問題〕 $\beta$ が虚根ならば，$\beta_m$ はついには絶対値において $1$ よりも小さくなり，かつ $\operatorname{arc}.\ \beta_m$ は限りなく $\pi$ に近づく．
〔解〕 $\left(\ 6\ \right)$，$\left(\ 7\ \right)$ による．
$\boldsymbol{3.}$ 次の例は Lagrange が取り扱ったものである．
| 〔例〕 | \[\hspace{-1cm}f\left(x\right)=x^3-7x+7=0.\tag{$\ 8\ $}\] |
| $1+0$ $1$ | $-7$ $1$ | $+7$ $-6$ |
| $+1$ $+1$ | $-6$ $+2$ | $+1$ $\vphantom{1}$ |
| $+2$ $1$ | $-4$ $\vphantom{1}$ | |
| $1+3$ |
さて $f_1\left(1\right)=1$，$f_1\left(2\right)=-1$，$f_1\left(3\right)=1$．故に $\alpha_1$ は区間 $\left(2,\ 3\right)$ にある．故に $k_1=2$．よって $\left(\ 9\ \right)$ において $x$ に\[2+\frac{1}{x}\]を代入すれば，\[f_2\left(x\right)=x^3+x^2-2x-1=0,\tag{$10$}\]
| $1-4$ $+2$ | $+3$ $-4$ | $+1$ $-2$ |
| $-2$ $+2$ | $-1$ $0$ | $-1$ $\vphantom{1}$ |
| $0$ $+2$ | $-1$ $\vphantom{1}$ | |
| $1+2$ |
さて $f_2\left(1\right)=-1$，$f_2\left(2\right)=7$．故に $\alpha_2$ は区間 $\left(1,\ 2\right)$ にある．故に $k_2=1$．
| $\alpha_2=1+\dfrac{1}{{\alpha_3}}\vphantom{\dfrac{1^2}{1_q}}$， | $f_3\left(x\right)=x^3-3x^2-4x-1=0$． | ||
| 同様にして | |||
| $k_3=4$， | $\alpha_3=4+\dfrac{1}{{\alpha_4}}\vphantom{\dfrac{1^2}{1_q}}$， | $f_4\left(x\right)=x^3-20x^2-9x-1=0$． | |
| $k_4=20$， | $\alpha_4=20+\dfrac{1}{{\alpha_5}}\vphantom{\dfrac{1^2}{1_q}}$， | $f_5\left(x\right)=181x^3-391x^2-40x-1=0$． | |
| $k_5=2$， | $\alpha_5=2+\dfrac{1}{{\alpha_6}}\vphantom{\dfrac{1^2}{1_q}}$， | $f_6\left(x\right)=\cdots\cdots$ |