第 $3$ 章 二元二次不定方程式
$\S\ 31.$ 二次無理数の対等
$\boldsymbol{1.}$ 整係数の二次方程式\[ax^2+bx+c=0\tag{$\ 1\ $}\]において，判別式\[D=b^2-4ac\tag{$\ 2\ $}\]が平方数でないときには，根は有理数でない．この場合に，$\left(\ 1\ \right)$ の根を，実数でも虚数でも，二次の無理数という．方程式 $\left(\ 1\ \right)$ の二つの根は\[\theta=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},\hphantom{\theta}\theta^\prime=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]である．これらを互いに共軛な二次の無理数という．$D$ が負の場合には，これらは互いに共軛な複素数である．
$\theta$ を二次の無理数とすれば，上記の定義によって $\theta$ は整係数の二次方程式を満足せしめる．その方程式の係数の公約数をとり去ったものを $\left(\ 1\ \right)$ とするとき，その判別式 $D$ を $\theta$ の判別式と略称する．また $\theta$ を判別式 $D$ に属する二次の無理数という．
二次の無理数 $\theta$ が $\left(\ 1\ \right)$ 以外に整係数の二次方程式\[a^\prime\theta^2+b^\prime\theta+c^\prime=0\]を満足せしめるとすれば，$a^\prime=au$ と置くとき，\begin{alignat*}{1}&a^\prime\theta^2+b^\prime\theta+c^\prime-u\left(a\theta^2+b\theta+c\right)\\[2mm]&\hphantom{a^\prime}=\left(b^\prime-bu\right)\theta+\left(c^\prime-cu\right)=0.\end{alignat*}故に $b^\prime-bu=0$（さもなくば，$\theta$ は有理数である）．したがって $c^\prime-cu=0$．よって\[a^\prime=au,\ \ b^\prime=bu,\ \ c^\prime=cu.\]故に $\left(a,\ b,\ c\right)=1$ なる仮定のもとにおいて，$u$ は整数である．
実際，$u=m/n$，$\left(m,\ n\right)=1$ とすれば\[a^\prime n=am,\ \ b^\prime n=bm,\ \ c^\prime n=cm\]から $n$ は $a$，$b$，$c$ の公約数，したがって $n=1$．
要約すれば，二次の無理数 $\theta$ を根とする原始二次式（代．$128$ 頁）$ax^2+bx+c$ は，符号だけを別にすれば一定である．
したがって $\theta$ の共軛数 $\theta^\prime$ も一定で，また $\theta$ の判別式 $D$ の意味も確定する．
〔定理 $\boldsymbol{3.\ 1}$〕 $D$ が二次無理数の判別式であるがために必要かつ十分な条件は，$D$ が平方数でなくて，\[D\equiv0 または 1 \left(\text{mod}.\ 4\right)\]であることである．
〔証〕 $D$ が二次の無理数 $\theta$ の判別式ならば，\[a\theta^2+b\theta+c=0,\\[2mm]\left(a,\ b,\ c\right)=1,\\[2mm]D=b^2-4ac.\] $D$ はもちろん平方数ではない．また $b$ が偶数であるか，奇数であるかに従って，\[D\equiv0 または 1 \left(\text{mod}.\ 4\right).\]これは必要な条件である．
逆に $D\equiv0$ または $1$ $\left(\text{mod}.\ 4\right)$ にしたがって，$b$ を任意の偶数または奇数とすれば，$D-b^2$ は $4$ で割り切れる．いま $\left(D-b^2\right)/4$ を二つの因数 $ac$ に分解するとき，$\left(a,\ b,\ c\right)=1$ ならば $\theta=\left(-b+\sqrt{D}\right)/2a$ は判別式 $D$ に属する．例えば，$a=\pm1$，または $c=\pm1$ とすれば，$\left(a,\ b,\ c\right)=1$ になる．故に与えられた判別式に属する二次無理数は無数にある．
〔注意〕 $D=4m$ のとき，$b=2b^\prime$ とすれば\[\theta=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-b^\prime+\sqrt{m}}{a}.\]しかし $m$ は $\theta$ の判別式ではない．
| 〔例〕 | $\theta=\sqrt{2}$．$\theta^2-2=0$，$a=1$，$b=0$，$c=-2$，$D=8$． |
| $\theta=\sqrt{3}$．$\theta^2-3=0$，$a=1$，$b=0$，$c=-3$，$D=12$． | |
| $\theta=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$．$2\theta^2-2\theta-1=0$，$a=2$，$b=-2$，$c=-1$，$D=12$． | |
| $\theta=\sqrt{5}$．$\theta^2-5=0$，$a=1$，$b=0$，$c=-5$，$D=20$． | |
| $\theta=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$．$\theta^2-\theta-1=0$，$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，$D=5$． | |
| $\theta=i$．$\theta^2+1=0$，$a=1$，$b=0$，$c=1$，$D=-4$． | |
| $\theta=\dfrac{1+\sqrt{-3}}{2}$．$\theta^2+\theta+1=0$，$a=b=c=1$，$D=-3$． | |
| $\theta=\sqrt{-3}$．$\theta^2+3=0$，$a=1$，$b=0$，$c=3$，$D=-12$． | |
| $\theta=\dfrac{5+\sqrt{-5}}{2}$．$2\theta^2-10\theta+15=0$，$a=2$，$b=-10$，$c=15$，$D=-20$． |
$\boldsymbol{2.}$ 二次の無理数の対等（「モ変形」に関する対等，$\S\ 28$ 参照）に関して，次の定理が基本的である．
〔定理 $\boldsymbol{3.\ 2}$〕 二次の無理数と対等な数は同一の判別式に属する二次の無理数である．
詳しくいえば次の通り．
$\omega$ を判別式 $D$ に属する二次の無理数\[a\omega^2+b\omega+c=0,\hphantom{m}\omega=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\tag{$\ 1\ $}\]\[\left(a,\ b,\ c\right)=1,\hphantom{m}D=b^2-4ac\]とする．また $\omega_1$ は $\omega$ と対等で\[\omega=\frac{p\omega_1+q}{r\omega_1+s},\hphantom{m}\begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}=e=\pm1\tag{$\ 2\ $}\]とする．しからば，$\omega_1$ も判別式 $D$ に属する二次の無理数であって，\[\left.\begin{alignat*}{1}k&=ap^2+bpr+cr^2,\\[2mm]l&=2apq+b\left(ps+qr\right)+2crs,\\[2mm]m&=aq^2+bqs+cs^2\end{alignat*}\right\}\tag{$\ 3\ $}\]と置けば，\begin{eqnarray*}k\omega_1{}^2+l\omega_1+m=0,\hphantom{mm}\omega_1&=&\frac{-l+e\sqrt{D}}{2k}\tag{$\ 4\ $}\\[2mm]\left(k,\ l,\ m\right)=1,\hphantom{nmmmmm}D&=&l^2-4km.\end{eqnarray*} 〔証〕 $\left(\ 1\ \right)$ ，$\left(\ 2\ \right)$ によって $\omega_1$ は二次方程式\[a\left(px^\prime+q\right)^2+b\left(px^\prime+q\right)\left(rx^\prime+s\right)+c\left(rx^\prime+s\right)^2=0\]の根である．すなわち $\left(\ 3\ \right)$ によって\[kx^{\prime2}+lx^\prime+m=0.\tag{$\ 5\ $}\] この二次方程式の判別式 $l^2-4km$ を $\left(\ 3\ \right)$ によって計算すれば $D=b^2-4ac$ を得るのである．
上記の変形 $\left(\ 2\ \right)$ は斉次の形にしていえば，二次形式 $ax^2+bxy+cy^2$ が $x=px^\prime+qy^\prime$，$y=rx^\prime+sy^\prime$ なる一次変形によって $kx^{\prime2}+lx^\prime y^\prime+my^{\prime2}$ になるのである．故に\[\begin{vmatrix}a&\dfrac{b}{2}\\\dfrac{b}{2}&c\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vphantom{\dfrac{l}{2}}\ \!p\ \!&\ \!q\ \!\\\vphantom{\dfrac{l}{2}}r&s\end{vmatrix}^2\ \begin{vmatrix}k&\dfrac{l}{2}\\\dfrac{l}{2}&m\end{vmatrix},\]すなわち $l^2-4km=b^2-4ac=D$（代．$291$ 頁参照）．
このように $\omega_1$ は判別式 $D$ なる二次方程式 $\left(\ 5\ \right)$ の根であるが，$\omega_1$ が判別式 $D$ に属する二次の無理数であるためには，$\left(k,\ l,\ m\right)=1$ であることを要する．いまかりに $\left(k,\ l,\ m\right)=t\gt1$ として，$\left(\ 5\ \right)$ の左辺を $t$ で割れば，$\omega_1$ は判別式 $D/t^2$ なる整係数の二次方程式の根になる．$\omega$ と $\omega_1$ とは互いに対等であるから，上記の計算において $\omega$ と $\omega_1$ とを交換して見るならば，$\omega$ が判別式 $D/t^2$ なる二次方程式の根になる．それは $\omega$ が判別式 $D$ に属するという仮定に矛盾する．故に\[\left(k,\ l,\ m\right)=1.\] 最後に，$\omega_1$ は方程式 $\left(\ 5\ \right)$ の二つの根のうちのどちらであるかを確かめねばならないが，$\left(\ 2\ \right)$ から\[\omega_1=\frac{s\omega-q}{-r\omega+p},\]故に $\omega^\prime$，$\omega_1{}^\prime$ を $\omega$，$\omega_1$ と共軛とすれば，\begin{eqnarray*}\omega_1-\omega_1{}^\prime&=&\frac{s\omega-q}{p-r\omega}-\frac{s\omega^\prime-q}{p-r\omega^\prime}=\frac{\left(ps-qr\right)\left(\omega-\omega^\prime\right)}{\left(p-r\omega\right)\left(p-r\omega^\prime\right)}\\[2mm]&=&\frac{ea\left(\omega-\omega^\prime\right)}{k},\end{eqnarray*}したがって\[k\left(\omega_1-\omega_1{}^\prime\right)=e\sqrt{D}.\]故に\[\omega_1=\frac{-l+e\sqrt{D}}{2k},\hphantom{m}\omega_1{}^\prime=\frac{-l-e\sqrt{D}}{2k}.\]よって定理のすべての部分が証明されたのである．