第 $4$ 章 二次体 $K\left(i\right)$，$K\left(\sqrt{-3}\right)$ の整数
$\S\ 39.$ 二次体 $\boldsymbol{K\left(\sqrt{-3}\right)}$ の整数
$\boldsymbol{1.}$ 本節では $1$ の三乗根を $\omega$ で表わし\[\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},\hphantom{m}\overline{\omega}=\omega^2=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\]とする．$x$，$y$ を有理数とすれば\[x+y\omega\tag{$\ 1\ $}\]のような数からは四則によって同様の数のみが生ずる．和および差に関しては論はないが，積は\begin{alignat*}{1}\left(x+y\omega\right)\left(x^\prime+y^\prime\omega\right)&=xx^\prime+\left(xy^\prime+x^\prime y\right)\omega+yy^\prime\omega^2\\[2mm]&=\left(xx^\prime-yy^\prime\right)+\left(xy^\prime+x^\prime y-yy^\prime\right)\omega.\end{alignat*}またそれによって商は\begin{alignat*}{1}\frac{x^\prime+y^\prime\omega}{x+y\omega}&=\frac{\ \left(x^\prime+y^\prime\omega\right)\left(x+y\overline{\omega}\right)\ }{\left(x+y\omega\right)\left(x+y\overline{\omega}\right)}\\[2mm]&=\frac{\ \ \left(x^\prime+y^\prime\omega\right)\left(x-y-y\omega\right)\ \ }{x^2-xy+y^2}\end{alignat*}で $\left(\ 1\ \right)$ のような形の数に等しい．$\left(\ 1\ \right)$ のような数の全部が二次体 $K\left(\sqrt{-3}\right)$ を組成するのである．
この計算で $\omega^2+\omega+1=0$ を用いた．また $x+y\omega$ と共軛な複素数 $x+y\overline{\omega}=\left(x-y\right)-y\omega$ もやはり $\left(\ 1\ \right)$ の形の数であり，かつ $N\left(x+y\omega\right)=\left(x+y\omega\right)\left(x+y\overline{\omega}\right)=x^2-xy+y^2$ は正の有理数である．
$\left(\ 1\ \right)$ のような数の中で $x$，$y$ が有理整数であるものだけを二次体 $K\left(\sqrt{-3}\right)$ の整数ということにする．しからばこのように拡張された意味においても，整数の和，差および積はやはり整数であるが，商は一般には整数でない．本節では，このような整数をギリシャ文字で表わし，有理数はローマ字で表わすことにする．
整数といっても，$\S\S\ 36\sim38$ で取り扱った Gauss の複素整数 $a+bi$ とは全く別のものである（$x+y\omega$ を $a+bi$ の形に書けば，$a=x-\left(y/2\right)$，$b=y\sqrt{3}/2$ で，$b$ は有理数でない）．
このように整数の意味を規定して，それに基づいて整数，倍数，約数，それからまた単数，同伴数などを $\S\ 36$ と同様に定義することができる．ただし概念の構成は同様でも，結果はもちろん違う．まず単数 $\varepsilon=x+y\omega$ は $N\left(x+y\omega\right)=1$ なる整数である．故に\[x^2-xy+y^2=1,\]すなわち\[\left(2x-y\right)^2+3y^2=4.\] よって $y=0$ したがって $x=\pm1$．あるいは $y^2=1$ したがって $x\left(x\mp1\right)=0$ すなわち，$x=0$，$y=\pm1$，または $x=\pm1$，$y=\pm1$．故に単数は $\pm1$ のほか，\[\pm\omega,\hphantom{\omega}\pm\left(1+\omega\right)=\mp\omega^2.\]すなわち合わせて六つある．それらはすなわち $1$ の六乗根である．
最も重要なのは除法に関する基本定理である．
$\alpha$ と $\beta$（$\neq0$）とが与えられた整数であるとき，\[\alpha=\beta\kappa+\rho,\hphantom{\rho}\left|\rho\right|\lt\left|\beta\right|\]になるような整数 $\kappa$，$\rho$ が存在する．
ここでは，整数を複素数平面上の点で表わすとき，それは $120^\circ$ の角を有する菱形を基本とする格子の点である．
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長くなるから，以下要点だけを説明することにするけれども，読者が練習問題として $\S\ 36$ にならって綿密に考察することを望むのである．
$\boldsymbol{2.}$ 二次体 $K\left(\sqrt{-3}\right)$ における素数 $\pi$ は有理素数 $p$ の約数である．したがって $N\pi=p$ または $N\pi=p^2$．
さて $N\pi=p^2$，$\pi\overline{\pi}=p^2$ なるときは，素因数分解の一意性によって $\pi$ は $p$ の同伴数である．すなわち有理素数がそのまま $K\left(\sqrt{-3}\right)$ における素数である．
また $N\pi=p$，すなわち $p=\pi\overline{\pi}$ で，有理素数 $p$ が二つの素因数に分解されるときには，\[\pi=x-y\omega\]とおけば\[x^2+xy+y^2=p.\tag{$\ 2\ $}\] ここでは $p=3$ が重大である．恒等式\[x^2+x+1=\left(x-\omega\right)\left(x-\overline{\omega}\right)\]において，$x=1$ とおけば，\[3=\left(1-\omega\right)\left(1-\overline{\omega}\right)\]よって $1-\omega$ が一つの素数であるが，\[1-\overline{\omega}=1-\omega^2=\left(1+\omega\right)\left(1-\omega\right)=-\omega^2\left(1-\omega\right)\]であるから，\[3=-\omega^2\left(1-\omega\right)^2.\] 本節では $\lambda=1-\omega$ とする．しからば $3$ は $\lambda^2$ の同伴数である．すなわち素因数分解の意味において（単数因子を無視すれば），$3$ が素数 $\lambda$ の平方である．
〔注意〕 ここの $\lambda=1-\omega$ は $\S\ 36$ の $\lambda=1-i$ に類似する特別な素数である．\[\lambda=1-\frac{-1+\sqrt{-3\vphantom{1^1}}}{2}=\frac{3-\sqrt{-3\vphantom{1^1}}}{2}=\sqrt{-3\vphantom{1^1}}\times\frac{-1-\sqrt{-3\vphantom{1^1}}}{2}=\overline{\omega}\sqrt{-3\vphantom{1^1}}.\] すなわち $\lambda=1-\omega$ は $\sqrt{-3\vphantom{1^1}}$ の同伴数である．
〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 $K\left(\sqrt{-3}\right)$ の整数 $\xi=x-y\omega$ が $\lambda$（すなわち $\sqrt{-3}$）で割り切れるのは $x\equiv y\hphantom{3}\left(\text{mod}.\ 3\right)$ であるときである．
〔解〕 $\lambda=1-\omega$．$\therefore\hphantom{1}\omega=1-\lambda\hphantom{1}\therefore\hphantom{1}x-y\omega=x-y+y\lambda$．これが $\lambda$ で割れるのは，有理整数 $x-y$ が $\lambda$ で，したがって $3$ で割れるときに限る．
〔注意〕 $\xi$ が $\lambda$ で割れないならば，$x-y\equiv\pm1\left(\text{mod}.\ 3\right)$，故に $\xi=\pm1+\lambda\eta$，ただし，$\eta$ は $K\left(\sqrt{-3}\right)$ の整数である．あるいは $\xi=\pm1+\eta\sqrt{-3}$ と書いてもよい．
次に $p\neq3$ なるとき，$\left(\ 2\ \right)$ に解があるとして，\[\pi=a-b\omega すなわち p=a^2+ab+b^2\]と置けば，\[4p=\left(2a+b\right)^2+3b^2.\]故に\[\left(\frac{4p}{3}\right)=1,\]したがって\[\left(\frac{p}{3}\right)=1.\]故に（$\S\ 12$）\[p\equiv1\hphantom{3}\left(\text{mod}.\ 3\right).\tag{$\ 3\ $}\]これが $\left(\ 2\ \right)$ に解があるために必要な条件であるが，それはまた十分な条件である．この条件のもとにおいて\[\left(\frac{-3}{p}\right)=1\]（平方剰余の相互法則．$\S\ 13$ 参照）．故に\[r^2\equiv-3\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)\tag{$\ 4\ $}\]なる有理整数 $r$ が存在する．よって\[\left(p,\hphantom{r}r-\sqrt{-3}\right)=\delta\]と置けば，$\delta=1$，あるいは $\delta=p$，あるいはまた $\delta=\pi$，$p=\pi\overline{\pi}$ でなければならない．$\delta=1$ とすれば，共軛数に関しても，$\left(p,\ r+\sqrt{-3}\right)=1$，したがって $\left(r-\sqrt{-3}\right)\left(r+\sqrt{-3}\right)=r^2+3$ が $p$ と互いに素で $\left(\ 4\ \right)$ に矛盾する．また $r-\sqrt{-3}=\left(r-1\right)-2\omega$ は $p$ で割り切れないから，$\delta=p$ も不可能である．故に $\delta=\pi$，$p=\pi\overline{\pi}$ である．
$\left(r-1\right)-2\omega$ が $p$ で割り切れるならば，$p=2$．それは $\left(\ 3\ \right)$ に合わない．
さて $\pi=\left(p,\ r-\sqrt{-3}\right)$，$\overline{\pi}=\left(p,\ r+\sqrt{-3}\right)$，したがって\[\left(\pi,\ \overline{\pi}\right)=\left(p,\ r-\sqrt{-3},\ r+\sqrt{-3}\right)\]であるが，$\left(r-\sqrt{-3}\right)+\left(r+\sqrt{-3}\right)=2r$ は，$\left(\ 4\ \right)$ から見えるように，$p$ で割り切れない（$p\neq3$）．故に，\[\left(\pi,\ \overline{\pi}\right)=1,\]したがって $\pi$ と $\overline{\pi}$ とは同伴数ではあり得ない．
以上要約すれば：
二次体 $K\left(\sqrt{-3}\right)$ において $3$ は素数 $\sqrt{-3}$ の平方（と同伴）である．
$p\equiv1\hphantom{3}\left(\text{mod}.\ 3\right)$ なる有理素数 $p$ は二つの相異なる（同伴でない）素因数に分解される．
$p\equiv2\hphantom{3}\left(\text{mod}.\ 3\right)$ なる有理素数 $p$ は分解されない．すなわち $K\left(\sqrt{-3}\right)$ においても素数である．
さて $p\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 3\right)$\[p=\pi\overline{\pi},\hphantom{\pi}\pi=a-b\omega,\hphantom{\pi}4p=\left(2a+b\right)^2+3b^2\tag{$\ 5\ $}\]において $\pi$ をその同伴数なる $\pm\pi$ または\begin{alignat*}{1}\pm\omega\pi&=\pm\left\{b+\left(a+b\right)\omega\right\},\\[2mm]\pm\omega^2\pi&=\mp\left\{\left(a+b\right)+a\omega\right\}\end{alignat*}で置き換えることができる．しかるに，$a$，$b$ がともに偶数であることはできないから，$b$，$a+b$，$a$ のうち一つだけが偶数である．よって初めから $\pi=a-b\omega$ において，$b$ は偶数であるとしてもよい．しからば $\left(\ 5\ \right)$ の両辺を $4$ で割って\[p=x^2+3y^2\]を得る．よって有理整数に関する次の定理を得る．
〔定理 $\boldsymbol{4.\ 4}$〕 有理素数 $p$ に関して，$p=x^2+3y^2$ が整数解を有するために必要かつ十分な条件は $p=3$ または $p\equiv1\left(\text{mod}.\ 3\right)$ である．正の整数解はただ一組に限る．
$p=3$ の場合には $x=0$，$y=1$．
〔例〕 $7=2^2+3\hspace{0.7mm}\cdotp1^2$，$13=1^2+3\hspace{0.7mm}\cdotp2^2$，$19=4^2+3\hspace{0.7mm}\cdotp1^2$．等々．
| 〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 | $a=x^2+3y^2$， $\left(x,\ y\right)=1$ |
〔解〕 定理 $4.\ 3$ と同様．
| 〔例〕 | $\begin{alignat*}{1}7&=N\left(2+\sqrt{-3\vphantom{3^n}}\right).\hphantom{1}13=N\left(1+2\sqrt{-3\vphantom{3^n}}\right).\\[2mm]91&=N\left(2+\sqrt{-3\vphantom{3^n}}\right)\left(1+2\sqrt{-3\vphantom{3^n}}\right)=N\left(-4+5\sqrt{-3\vphantom{3^n}}\right)=4^2+3\hspace{0.7mm}\cdotp5^2\\[2mm]&=N\left(2+\sqrt{-3\vphantom{3^n}}\right)\left(1-2\sqrt{-3\vphantom{3^n}}\right)=N\left(8-3\vphantom{3^n}\sqrt{-3\vphantom{3^n}}\right)=8^2+3\hspace{0.7mm}\cdotp3^2.\end{alignat*}$ |