第 $5$ 章 二次体の整数論
$\S\ 44.$ 二次体における素のイデヤル
$\boldsymbol{1.}$ 素のイデヤル $P$ に含まれる最小の正の有理整数を $p$ とすれば，$p$ は素数である．なぜならば，もしも $p=ab$ ならば，$ab\subset P$ だから，$a\subset P$ または $b\subset P$（定理 $5.\ 13$）．$1\lt a\lt p$，$1\lt b\lt p$ ならば，これは不合理である．よって\[p=PQ\]とすれば\[\mathrm{N}\left(p\right)=p^2=\mathrm{N}\left(P\right)\cdotp\mathrm{N}\left(Q\right).\] すなわち $\mathrm{N}\left(P\right)$ は $p^2$ の約数である．よって二つの場合が生ずる．
（第一） $\mathrm{N}\left(P\right)=p$， したがって $p=PP^\prime$．
この場合には $P$ を一次の素のイデヤルという．
（第二） $\mathrm{N}\left(P\right)=p^2$， したがって $\mathrm{N}\left(Q\right)=1$，$Q=1$，$p=P$．
すなわち有理素数 $p$ が二次体 $K$ において分解されない．
この場合には $P$ を二次の素のイデヤルという．
総括すれば，\[\mathrm{N}\left(P\right)=p^f, f=1 または 2\]で，$f$ がすなわち素のイデヤル $P$ の次数である．
これは先繰りであって，第一および第二の両種の素のイデヤルが実際存在することが確定した上で，初めて意味を有するのである．
さて $P$ を素のイデヤルとして，その標準的底数（$\S42$，$2$）を考察する．\[P=\left[a,\hphantom{1}b+c\omega\right]\]とすれば，$a$ は $P$ に含まれる最小の正の有理整数であるから，上記の通り $a=p$．
また $c$ は $a$ の約数であるから，$c=p$ または $c=1$．
さて $c=p$ ならば，$b$ も $c$ の倍数であるから，\[P=\left[p,\hphantom{1}p\omega\right]=p.\]これは第二の場合である．
また $c=1$ ならば，\[P=\left[p,\hphantom{1}b+\omega\right].\]故に\[\mathrm{N}\left(P\right)=p\hspace{1cm}\left(\cssId{eq1}{定理\ 5.\ 9}\right).\]これは第一の場合である．
しかるに $N\left(b+\omega\right)$ は $p$ で割り切れる．よって
$m\equiv2$，$3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ のときには，$N\left(b+\sqrt{m}\right)=b^2-m\equiv0\hphantom{p}\left(\text{mod}.\ p\right)$．
$m\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ のときには，$N\left(b+\left(1+\sqrt{m}\right)/2\right)\equiv0\ \left(\text{mod}.\ p\right)$，したがって $N\left(2b+1+\sqrt{m}\right)\equiv0\ \left(\text{mod}.\ p\right)$，すなわち $\left(2b+1\right)^2-m\equiv0\ \left(\text{mod}.\ p\right)$．いずれにしても，$r=b$ または $r=2b+1$ とおけば，\[r^2\equiv m\ \left(\text{mod}.\ p\right).\tag{$\ 1\ $}\]これが $p=PP^\prime$ であるために必要な条件である．
さてまず $p\neq2$ として，$\left(\ 1\ \right)$ が同時に十分な条件であることを示そう．
$\ \ \!\text{i}\ )$ $p$ が $m$ の約数でないときには，$\left(\ 1\ \right)$ において $r$ は $p$ で割り切れない．故にいま\[P=\left(p,\hphantom{1}r+\sqrt{m}\right)， したがって P^\prime=\left(p,\hphantom{1}r-\sqrt{m}\right)\]と置けば，\[PP^\prime=\left(p^2,\hphantom{1}2pr,\hphantom{1}r^2-m\right)=\left(\ p\ \right).\]$\left(p,\hphantom{1}2r\right)=1$ だから，これは明白である．
この場合に $P\neq P^\prime$ である．なぜならば\[\left(P,\ P^\prime\right)=\left(p,\hphantom{1}r+\sqrt{m},\hphantom{1}r-\sqrt{m}\right)\]は $2r$ を含み，$\left(p,\hphantom{1}2r\right)=1$ だから\[\left(P,\ P^\prime\right)=1,\hspace{5mm}P\neq P^\prime.\]$\ \text{ii}\ \!)$ $p$ が $m$ の約数であるときには，$\left(\ 1\ \right)$ において $r=0$ とすることができる．いま\[P=\left(p,\ \sqrt{m}\right),\hspace{5mm}P^\prime=\left(p,\ -\sqrt{m}\right)\]と置けば，\[PP^\prime=\left(p^2,\ m\right)=\left(p\right).\]この場合にはもちろん $P=P^\prime$，したがって $p=P^2$
さて $p=2$ の場合を三つに分ける．
$\ \!\text{iii})$ $m\equiv2\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ のときは，$\ \text{ii}\ \!)$ と同様に\[2=P^2,\hspace{5mm}P=\left(2,\ \sqrt{m}\right).\] $\ \!\text{iv})$ $m\equiv3\ \left(\text{mod}.\ 4\right)$ のときは，\[P=\left(2,\hphantom{1}1+\sqrt{m}\right),\hphantom{P}P^\prime=\left(2,\hphantom{1}1-\sqrt{m}\right)\]と置けば，$\ \ \!\text{i}\ )$ と同様に\[PP^\prime=\left(4,\ 4,\ 1-m\right)=2\]を得るが，この場合には，$P=P^\prime$ であるから，\[2=P^2.\] $\ \ \!\text{v}\ )$ $m\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ の場合は特別の取り扱いを要する．この場合に，$2=PP^\prime$ ならば\[P=\left[2,\hphantom{1}b+\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right]\]で，$b=0$ または $b=-1$．故に $\left(1+\sqrt{m}\right)/2$ または $\left(\left(1+\sqrt{m}\right)/2\right)-1=\left(-1+\sqrt{m}\right)/2$ が $P$ で割り切れるが，これらの積 $\left(m-1\right)/4$ は有理整数であるから，$2$ で割り切れなければならない．したがって $m\equiv1\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$．これが $2=PP^\prime$ であるために必要な条件である．
逆に $m\equiv1\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ ならば\[P=\left(2,\hphantom{1}\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right),\hspace{5mm}P^\prime=\left(2,\hphantom{1}\frac{1-\sqrt{m}}{2}\right)\]と置くとき，\[PP^\prime=\left(4,\hphantom{1}2,\hphantom{1}\frac{1-m}{4}\right)=2,\\[2mm]\left(P,\ P^\prime\right)=\left(2,\hphantom{1}\frac{1+\sqrt{m}}{2},\hphantom{1}\frac{1-\sqrt{m}}{2}\right)=1.\] 故に
$m\equiv1\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ ならば， $2=PP^\prime$，$P\neq P^\prime$
$m\equiv5\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ ならば， $2=P$．
$\boldsymbol{2.}$ 以上ですべての場合を尽したから，考察の結果を総合するために，まず $p=P^2$（$P=P^\prime$）である場合を見ると，それは $\ \text{ii}\ \!)$，$\ \!\text{iii})$，$\ \!\text{iv})$ である．いま
$m\equiv2$，$3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ のときには，$d=4m$
$m\equiv1$ $\hphantom{34}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ のときには，$d=m$
と記して，$d$ を二次体 $\boldsymbol{K\left(\sqrt{m}\right)}$ の判別式という．
しからば $\ \text{ii}\ \!)$，$\ \!\text{iii})$，$\ \!\text{iv})$ を総括して，$p=2$ と $p\neq2$ との差別なしに，次のようにいうことができる．
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 15}$〕 二次体 $\boldsymbol{K\left(\sqrt{m}\right)}$ において，$\boldsymbol{p=P^2}$ になる有理素数 $p$ は，すなわち判別式 $d$ の約数であるものである．
$\begin{alignat*}{3}\ \ \ \ 〔例〕\ \ &K\left(\sqrt{-1\vphantom{1^1}}\right)&&:\ d=-4,&\left(2\right)&=\left(1-i\right)^2.\\[2mm]&K\left(\sqrt{-3\vphantom{1^1}}\right)&&:\ d=-3,&\left(3\right)&=\left(1-\omega\right)^2,\hphantom{11}\omega=\frac{-1+\sqrt{-3\vphantom{1^1}}}{2}.\\[2mm]&K\left(\sqrt{-5\vphantom{1^1}}\right)&&:\ d=-20,&\hphantom{2222}2&=P^2,\hphantom{11}P=\left(2,\hphantom{1}1+\sqrt{-5\vphantom{1^1}}\right).\\[2mm]&&&&\hphantom{11}5&=P^2,\hphantom{11}P=\left(\sqrt{-5\vphantom{1^1}}\right).\\[2mm]&K\left(\sqrt{2\vphantom{1^1}}\right)&&:\ d=8,&\hphantom{22}2&=P^2,\hphantom{11}P=\left(\sqrt{2\vphantom{1^1}}\right).\\[2mm]&K\left(\sqrt{15\vphantom{1^1}}\right)&&:\ d=60,&\hphantom{22}2&=P^2,\hphantom{11}P=\left(2,\hphantom{1}1+\sqrt{15\vphantom{1^1}}\right).\\[2mm]&&&&\hphantom{11}3&=P^2,\hphantom{11}P=\left(3,\hphantom{1}\sqrt{15\vphantom{1^1}}\right).\\[2mm]&&&&\hphantom{11}5&=P^2,\hphantom{11}P=\left(5,\hphantom{1}\sqrt{15\vphantom{1^1}}\right).\end{alignat*}$
〔注意〕 $K\left(\sqrt{m}\right)$ の判別式 $d$ はすなわち $\omega$（ $\omega=\sqrt{m}$ または $\omega=\left(1+\sqrt{m}\right)/2$）が満足せしめる二次方程式 $x^2-m=0$ または $x^2-x+\left(1-m\right)/4=0$ の判別式である．
$m\equiv2$，$3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ または $m\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ に従って，$d=4m\equiv0\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ または $d=m\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$．
$d$ は奇数の平方因数を有しない．$d$ が $4$ で割り切れるとき，$d$ を $4$ で割れば商（すなわち $m$）は $2$ では割れても，$4$ では割り切れない．
$m$ の二，三の値に対する $K\left(\sqrt{m}\right)$ の判別式 $d$ の値は次の通り．\begin{alignat*}{1}m&=-1,\ -2,\ -3,\ \hphantom{1}-5,\ \hphantom{1}-6,\ -7,\cdots;\ 2,\ \ \hphantom{1}3,\ \hphantom{1}5,\ \ \hphantom{1}6,\ \ \hphantom{1}7,\cdots\\[2mm]d&=-4,\ -8,\ -3,\ -20,\ -24,\ -7,\cdots;\ 8,\ \ 12,\ \hphantom{1}5,\ \ 24,\ \ 28,\cdots\end{alignat*}
このように $K\left(\sqrt{m}\right)$ の判別式 $d$ の約数である有理素数 $p$ は二次体に関して特異な性質（$p=P^2$）を有するものである．これらを除けば $\ \ \!\text{i}\ )$ によって次の定理を得る．
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 16}$〕 $\boldsymbol{p}\left(\neq2\right)$ が $d$ の約数でないときには，\begin{alignat*}{1}&\boldsymbol{\left(\frac{d}{p}\right)=1\ \ のとき，\ \ p=PP^\prime,\hspace{5mm}P\neq P^\prime.}\\[2mm]&\boldsymbol{\left(\frac{d}{p}\right)=-1\ \ のとき，\ \ p=P.}\end{alignat*} また $p=2$ だけに関していえば，
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 17}$〕 $\boldsymbol{K\left(\sqrt{m}\right)}$ における $\boldsymbol{2}$ の分解は次の通り．
$m\equiv2$，$3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，すなわち $d\equiv0\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ のとき，$2=P^2$
（定理 $5.\ 15$，再記）．
$m\equiv1\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$（$d=m$）のとき，$2=PP^\prime$，$P\neq P^\prime$．
$m\equiv5\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$（$d=m$）のとき，$2=P$．
要約して再記すれば，
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 18}$〕 二次体の素のイデヤルは三種に分かれる．
(一) $\left(\dfrac{d}{p}\right)=1$ なるとき，$p=PP^\prime$，$P\neq P^\prime$．$\mathrm{N}\left(P\right)=p$．
$d\equiv1\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ ならば，$2=PP^\prime$，$P\neq P^\prime$．$\mathrm{N}\left(P\right)=2$．
(二) $\left(\dfrac{d}{p}\right)=-1$ なるとき，$p=P$，$\mathrm{N}\left(P\right)=p^2$．
$d\equiv5\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ ならば，$2=P$，$\mathrm{N}\left(P\right)=4$．
(三) $p=2$ でも $p\neq2$ でも，$p$ が $d$ の約数ならば，$p=P^2$．$\mathrm{N}\left(P\right)=p$．
(一) と (三) とにおいて，$P$ は一次の素のイデヤルで， (二) においては，二次の素のイデヤルである．
〔例 $1$〕 $K\left(\sqrt{-1}\right)$ においては，$m\equiv3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，$d=-4$．
$\left(\dfrac{-4}{p}\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}$．よって $p\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ である有理素数のみが $K\left(\sqrt{-1}\right)$ において二つの相異なる素因数に分解される（$\S\ 37$）．
〔例 $2$〕 $K\left(\sqrt{-3}\right)$ においては，$m\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，$d=-3$．
$\left(\dfrac{-3}{p}\right)=\left(\dfrac{p}{3\vphantom{-3}}\right)=\pm1$ は $p\equiv\pm1\hphantom{3}\left(\text{mod}.\ 3\right)$ に従う．故に $p\equiv1\hphantom{3}\left(\text{mod}.\ 3\right)$ なる有理素数が $K\left(\sqrt{-3}\right)$ において二つの相異なる素因数に分解される（$\S\ 39$）．
〔例 $3$〕 $K\left(\sqrt{2}\right)$ においては，$m\equiv2\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，$d=8$．
$p\equiv\pm1\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ のとき，$\left(\dfrac{2}{p}\right)=+1$，$p\equiv\pm5\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ のとき $\left(\dfrac{2}{p}\right)=-1$．故に $p\equiv\pm1\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ なる $p$ のみが $p=PP^\prime$（$P\neq P^\prime$）のように分解される．
例えば，$7=\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)$，$17=-\left(1+3\sqrt{2}\right)\left(1-3\sqrt{2}\right)$．
〔例 $4$〕 $K\left(\sqrt{-7}\right)$．$m\equiv1\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$．$d=-7$．
$\left(\dfrac{-7}{p}\right)=\left(\dfrac{p}{7\vphantom{-7}}\right)=+1$ になるのは，$p\equiv1$，$2$，$4\hphantom{7}\left(\text{mod}.\ 7\right)$．これらのみが分解される．特に $p=2$ が分解される．$2=PP^\prime$，$P=\left(\ \!\left(1+\sqrt{-7}\right)/2\right)$．
〔例 $5$〕 $K\left(\sqrt{-5}\right)$．$d=-20$．これも $m\equiv3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ の場合であるが，$\S\ 41$ との連絡のために掲出する．
$\left(\dfrac{-20}{p}\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\left(\dfrac{p}{5\vphantom{-5}}\right)=+1$ になるのは\[p\equiv1,\hphantom{1}3,\hphantom{1}7,\hphantom{1}9\hphantom{1}\left(\text{mod}.\ 20\right)\]のときに限る．例えば\[3={BB}^\prime.\hphantom{1}B=\left(3,\hphantom{1}1+\sqrt{-5\vphantom{1^1}}\right),\hphantom{1}B^\prime=\left(3,\hphantom{1}1-\sqrt{-5\vphantom{1^1}}\right).\\[2mm]7=CC^\prime.\hphantom{1}C=\left(7,\hphantom{1}4+\sqrt{-5\vphantom{1^1}}\right),\hphantom{1}C^\prime=\left(7,\hphantom{1}4-\sqrt{-5\vphantom{1^1}}\right).\]$2$ は $d=-20$ の約数であるから，素因子の平方に等しい．\[2=A^2,\hphantom{A}A=\left(2,\hphantom{1}1+\sqrt{-5}\right).\] ここで $\S\ 41$（$273/4$ 頁）に掲げた $K\left(\sqrt{-5}\right)$ における分解を回顧する．
$6=2\hspace{0.7mm}\cdotp3=\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)$．
$2=A^2$，$3=BB^\prime$．故に $A^2$，$B$，$B^\prime$ が二つの因数 $1+\sqrt{-5}$，$1-\sqrt{-5}$ の間に分配されねばならない．$1+\sqrt{-5}$，$1-\sqrt{-5}$ は $2=A^2$ で割り切れないから，ともに $A$ で割り切れる．また $B=\left(3,\hphantom{1}1+\sqrt{-5}\right)$ だから，$1+\sqrt{-5}$ が $B$ で割り切れる，したがって $1-\sqrt{-5}$ が $B^\prime$ で割り切れる．故に\[1+\sqrt{-5}=AB,\hspace{5mm}1-\sqrt{-5}=AB^\prime=A^\prime B^\prime.\] 直接に計算してみれば：\[AB=\left(2,\hphantom{1}1+\sqrt{-5}\right)\left(3,\hphantom{1}1+\sqrt{-5}\right)=(6,\hphantom{1}3\left(1+\sqrt{-5}\right),\hphantom{1}2\left(1+\sqrt{-5}\right),\hphantom{1}\left(1+\sqrt{-5}\right)^2).\] 故に $AB$ は $3\left(1+\sqrt{-5}\right)-2\left(1+\sqrt{-5}\right)=1+\sqrt{-5}$ を含み，右辺の $($ $)$ 内の各数が $1+\sqrt{-5}$ で割り切れるから，$AB=\left(1+\sqrt{-5}\right)$．共軛として $A^\prime B^\prime=\left(1-\sqrt{-5}\right)$．
同様に\[21=3\hspace{0.7mm}\cdotp7=\left(4+\sqrt{-5}\right)\left(4-\sqrt{-5}\right)=\left(1+2\sqrt{-5}\right)\left(1-2\sqrt{-5}\right)\]が説明される．
$3=BB^\prime$，$7=CC^\prime$．$B=\left(3,\hphantom{1}1+\sqrt{-5}\right)=\left(3,\hphantom{1}4+\sqrt{-5}\right)$ は $4+\sqrt{-5}$ を割り切る．また $C=\left(7,\hphantom{1}4+\sqrt{-5}\right)$．故に $4+\sqrt{-5}$ は $BC$ で割り切れ，したがって $4-\sqrt{-5}$ は $B^\prime C^\prime$ で割り切れる．故に $4+\sqrt{-5}=BC$，$4-\sqrt{-5}=B^\prime C^\prime$．
よって $1+2\sqrt{-5}=B^\prime C$ または $B^\prime C$ でなければならないが，さて $1+2\sqrt{-5}=3-2\left(1-\sqrt{-5}\right)$ だから，$1+2\sqrt{-5}$ は $B^\prime=\left(3,\hphantom{1}1-\sqrt{-5}\right)$ で割り切れる．したがって\[1+2\sqrt{-5}=B^\prime C,\hspace{5mm}1-2\sqrt{-5}=BC^\prime.\]
$\boldsymbol{3.}$ ここで，平方剰余の相互法則に関する定理 $1.\ 38$（$86$ 頁）を引用する．
二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ の判別式を $d$ とすれば，$d=m$ または $d=4m$ であるが，それがすなわち定理 $1.\ 38$ における第一または第二の場合である．さて判別式 $d$ の約数である有限個の有理素数を除いていえば，$p=PP^\prime$（$P\neq P^\prime$）と $p=P$ の差別は $\left(\dfrac{d}{p}\right)=+1$ と $\left(\dfrac{d}{p}\right)=-1$ とによること，上記（定理 $5.\ 16$）の通りであるが，定理 $1.\ 38$ によれば，$\left(\dfrac{d}{p}\right)=\pm1$ の差別は $p$ が $d$ を法としていかなる既約類に属するかによって定まる．すなわち $d$ を法としての既約類の中の半数に属する $p$ に関しては $\left(\dfrac{d}{p}\right)=+1$，したがって $p=PP^\prime$ で，他の半数の既約類に属する $p$ に関しては $\left(\dfrac{d}{p}\right)=-1$，したがって $p=P$ である．
$p=2$ に関しても，$2$ が $d$ の約数でないとき（$d=m\equiv1$，$\text{mod}.\ 4$）には，同様である．すなわち $2=PP^\prime$ または $2=P$ の差別は $\left(\dfrac{2}{\left|\ d\ \right|}\right)=\pm1$ による，したがって上記 $d$ を法としての既約類の中で $2$ が前の半数に属するか後の半数に属するかによるのである．
ここに至って，平方剰余の相互法則が「二次整数論において基本的」な理由が了解されるのである．
附記 Kronecker の記号
イデヤル論の立場からは Jacobi の記号を次のように拡張するのが適切である．
$d$ を二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ の判別式とする．
この二次体に関して有理素数 $p$ が三種に区別される（定理 $5.\ 18$）．それに順応して
| (一) $p=PP^\prime$（$P\neq P^\prime$） | のとき $\chi\left(p\right)=1$， | \[\tag{$\ 1\ $}\] |
| (二) $p=P$ | のとき $\chi\left(p\right)=-1$， | \[\tag{$\ 2\ $}\] |
| (三) $p=P^2$ | のとき $\chi\left(p\right)=0$ | \[\tag{$\ 3\ $}\] |
上記 $\left(\ 1\ \right)$，$\left(\ 2\ \right)$ によれば，$d$ に含まれない素数 $p$（$p\neq2$）に関しては\[\chi\left(p\right)=\left(\frac{d}{p}\right).\]それは Legendre の記号に等しい．いま $d\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ であるとき Legendre の記号を拡張して\[\chi\left(2\right)=\left(\frac{d}{2}\right)\]とすれば，\[\left(\frac{d}{2}\right)=\left\{\begin{array}{l}+1,\hphantom{d}d\equiv1\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right),\\[2mm]-1,\hphantom{d}d\equiv5\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right).\end{array}\right.\]故に\[\left(\frac{d}{2}\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{d^2-1}{8}}=\left(\frac{2}{\left|\ d\ \right|}\right).\]ただし，$d$ は二次体の判別式なる奇数である（$d\equiv1$，$\text{mod}.\ 4$）．
よって $\left(n,\ d\right)=1$，$n\gt0$ なる $n$ のみに関していえば，$n$ を素因数に分解して $n={\textstyle\prod}\ p$ とおくとき\[\chi\left(n\right)=\overset{p}{\textstyle\prod}\left(\frac{d}{p}\right).\]特に $n$ が奇数ならば，\[\chi\left(n\right)=\left(\frac{d}{n}\right)\tag{$\ 7\ $}\]は Jacobi の記号である．
また $n$ が偶数（そのとき，$d$ は奇数，$d\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$）ならば\[n=2^\nu n^\prime,\hspace{5mm}\left(n^\prime,\ 2\right)=1\]として，$\left(\ 6\ \right)$ から $\chi\left(n\right)=\chi\left(2\right)^\nu\chi\left(n^\prime\right)$．故に\[\chi\left(n\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}{\frac{d^2-1}{8}\nu}}\hspace{0.7mm}\cdotp\left(\frac{d}{n^\prime}\right).\tag{$\ 7^{\large*}$}\] さて Jacobi の記号の相互法則（$\S\ 14$）によって $\chi\left(n\right)$ を次のように表わすことができる．\[\left.\begin{array}{ll}d\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right),&\chi\left(n\right)=\left(\dfrac{n}{\left|\ d\ \right|}\right).\\[2mm]d\equiv4m,\ m\equiv3\ \left(\text{mod}.\ 4\right),&\chi\left(n\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{n-1}{2}}\left(\dfrac{n}{\left|\ m\ \right|}\right).\\[2mm]d\equiv8m^\prime,\ m^\prime\equiv\left\{\begin{array}{c}1\vphantom{\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{n^2-1}{8}}\dfrac{1}{1}}\\[2mm]3\vphantom{\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{n^2-1}{8}}\dfrac{1}{1}}\end{array}\right.\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right), &\chi\left(n\right)=\left\{\begin{array}{l}\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{n^2-1}{8}}\left(\dfrac{n}{\left|m^\prime\right|}\right),\\[2mm]\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}{\frac{n^2-1}{8}+\frac{n-1}{2}}}\left(\dfrac{n}{\left|m^\prime\right|}\right).\end{array}\right.\end{array}\right\}\tag{$\ 8\ $}\]第一の場合：$n=2^\nu\hspace{0.7mm}\cdotp n^\prime$，$\left(n^\prime,\ 2\right)=1$，$\nu\geqq0$ とすれば，\[\chi\left(n\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}{\frac{d^2-1}{8}\nu}}\left(\frac{d}{n^\prime}\right)=\left(\frac{2}{\left|\ d\ \right|}\right)^\nu\left(\frac{n^\prime}{\left|\ d\ \right|}\right)=\left(\frac{2^\nu n^\prime}{\left|\ d\ \right|}\right)=\left(\frac{n}{\left|\ d\ \right|}\right).\] $d\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ だから，$d\gt0$ ならば，$\left|d\right|\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$．故に $\left(\dfrac{d}{n^\prime}\right)=\left(\dfrac{n^\prime}{\left|\ d\ \right|}\right)$．また $d\lt0$ ならば，$\left|d\right|\equiv-1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$．故に $\left(\dfrac{d}{n^\prime}\right)=\left(\dfrac{-1}{n^\prime}\right)\left(\dfrac{\left|\ d\ \right|}{n^\prime}\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{n\prime-1}{2}}\left(\dfrac{\left|\ d\ \right|}{n^\prime}\right)=\left(\dfrac{n^\prime}{\left|\ d\ \right|}\right)$ を得るのである．
第二の場合には，\[\chi\left(n\right)=\left(\frac{d}{n}\right)=\left(\frac{m\vphantom{d}}{n}\right)=\left(\frac{\pm\left|\ \!m\ \!\right|}{n}\right)=\left(\frac{\pm1}{n}\right)\left(\frac{\left|\ \!m\ \!\right|}{n}\right).\]ここで $\pm$ は $d$ の符号であるが，$d\gtrless0$ に従って $\left|\ \!m\ \!\right|=\pm m\equiv\mp1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，故に $\left(\dfrac{d}{n}\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{n-1}{2}}\left(\dfrac{n}{\left|\ \!m\ \!\right|}\right)$ になるのである．
第三の場合には，$m^\prime\equiv\pm1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ に従って\[\chi\left(n\right)=\left(\frac{d}{n}\right)=\left(\frac{2m^\prime}{n}\right)=\left(\frac{\pm2}{n}\right)\left(\frac{\pm m^\prime}{n}\right).\]$\pm m^\prime\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ だから，第一の場合と同様に $\left(\dfrac{\pm m^\prime}{n}\right)=\left(\dfrac{n}{\left|m^\prime\right|}\right)$．
また $\left(\dfrac{\pm2}{n}\right)$ は $\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{n^2-1}{8}}$ または $\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}{\frac{n^2-1}{8}+\frac{n-1}{2}}}$ に等しいから，上記 $\left(\ 8\ \right)$ の通りになる．
$\left(\ 8\ \right)$ の右辺において $\left(\dfrac{n}{\left|\ d\ \right|}\right)$，$\left(\dfrac{n}{\left|\ \!m\ \!\right|}\right)$，$\left(\dfrac{n}{\left|m^\prime\right|}\right)$ は $d$，$m$，$m^\prime$ を法とする正式指標（$\S\ 18$）であるが，$d$ が偶数のときに付加される因数\[\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{n-1}{2}},\hphantom{1}\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{n^2-1}{8}},\hphantom{1}\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}{\frac{n^2-1}{8}+\frac{n-1}{2}}}\]は $4$ または $8$ を法とする指標である．
$\chi\left(n\right)$ は $n\gt0$ の場合にのみ定義をしたが，上記の等式 $\left(\ 8\ \right)$ によってそれを $n\lt0$ の場合に拡張する．それは一般に\[m\equiv n\hphantom{d}\left(\text{mod}.\ d\right)\ のとき，\chi\left(m\right)=\chi\left(n\right)\tag{$\ 9\ $}\]とするのと同じである．またこれによって一般に $\left(n,\ d\right)\neq1$ のとき $\chi\left(n\right)=0$ とする．また $\left(\ 6\ \right)$ も一般に成り立つことが明らかである．$\left(\ 5\ \right)$，$\left(\ 6\ \right)$，$\left(\ 9\ \right)$ は指標の特徴である．すなわち上記 $\chi\left(n\right)$ は $\text{mod}.\ d$ に関する正式指標である．
$\chi\left(n\right)$ の重要な一つの性質は\[\chi\left(-1\right)=\operatorname{sign}\ \!\!\!\left(d\right).\tag{$10$}\]すなわち\[\chi\left(-1\right)=\begin{cases}+1&\left(d\gt0\right),\\[2mm]-1&\left(d\lt0\right).\end{cases}\] 〔証〕 $d$ の正負と奇偶とに従って四つの場合が生ずる．
$\ \ \!\text{i}\ )$ $d\gt0$，$d\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，\[\chi\left(-1\right)=\chi\left(2d-1\right)=\left(\frac{d}{2d-1}\right)=\left(\frac{2d-1}{d}\right)=\left(\frac{-1}{d}\right)=1.\]$\ \text{ii}\ \!)$ $d\gt0$，$d\equiv0\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，\[\chi\left(-1\right)=\chi\left(d-1\right)=\left(\frac{d}{d-1}\right)=\left(\frac{1}{d-1}\right)=1.\]$\ \!\text{iii})$ $d\lt0$，$\left|d\right|\equiv-1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，したがって $2\left|d\right|-1\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，\begin{alignat*}{1}\chi\left(-1\right)=\chi\left(2\left|d\right|-1\right)&=\left(\frac{d}{2\left|d\right|-1}\right)=\left(\frac{-1}{2\left|d\right|-1}\right)\left(\frac{\left|d\right|}{2\left|d\right|-1}\right)\\[2mm]&=\left(\frac{2\left|d\right|-1}{d}\right)=\left(\frac{-1}{\left|d\right|}\right)=-1.\end{alignat*}$\ \!\text{iv})$ $d\lt0$，$d\equiv0\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，したがって $\left|d\right|-1\equiv-1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，\begin{alignat*}{1}\chi\left(-1\right)=\chi\left(\left|d\right|-1\right)&=\left(\frac{d}{\left|d\right|-1}\right)=\left(\frac{-\left(\ \!\left|d\right|-1\right)-1}{\left|d\right|-1}\right)\\[2mm]&=\left(\frac{-1}{\left|d\right|-1}\right)=-1.\end{alignat*}
$\left(10\right)$ から次の重要な定理を得る．
判別式 $d$ に含まれない有理素数 $p$，$p^\prime$ に関して（$p\gt0$，$p^\prime\gt0$）\[p^\prime\equiv-p\hphantom{d}\left(\text{mod}.\ d\right)\]とするとき，実二次体（$d\gt0$）では $p$ と $p^\prime$ との分解性は同一であるが，虚二次体（$d\lt0$）では反対である．
| 〔証〕 | $d\gt0$ ならば，$\chi\left(p^\prime\right)=\chi\left(-1\right)\chi\left(p\right)=\chi\left(p\right)$， | |
| $d\lt0$ ならば，$\chi\left(p^\prime\right)=\chi\left(-1\right)\hspace{0.7mm}\cdotp\chi\left(p\right)=-\chi\left(p\right)$． |
$K\left(\sqrt{-6}\right)$： $d=-24$．\begin{alignat*}{1}\left(\dfrac{-6}{29}\right)&=\left(\dfrac{-1}{29}\right)\left(\dfrac{6}{29}\right)=1,\\[2mm]\left(\dfrac{-6}{43}\right)&=\left(\dfrac{-1}{43}\right)\left(\dfrac{6}{43}\right)=-1.\end{alignat*} 故に $29$ は分解されるが，$43$ は分解されない（$\S\ 14$，問題 $1$，$90$ 頁，参照）．
ただし $n\lt0$ の場合には，文献において記号の意味が著者によってまちまちである．すでに Jacobi の記号 $\left(\dfrac{d}{n}\right)$ に関して $\left(\dfrac{d}{-n}\right)=\left(\dfrac{d}{n}\right)$ とする旧式の定義が行なわれてもいた（例えば Dirichlet の整数論講義）．Jacobi の記号を単に計算上の方便としてのみ見れば，それでもよいが，その実質的の意味に着眼すれば，上記のように，それを $\text{mod}.\ d$ に関する指標になるように定義するのが最も適当であろう．