第 $5$ 章 二次体の整数論
$\S\ 46.$ イデヤルを法とする合同式
$\boldsymbol{1.}$ 整数 $\alpha$，$\beta$ の差がイデヤル $M$ に含まれるときに，$\alpha$ と $\beta$ とは $M$ を法として合同であるという．記号：\[\alpha\equiv\beta\hphantom{o}\left(\text{mod}.\ M\right).\] これは $\alpha-\beta$ が $M$ で割り切れるというのに等しい．したがって\begin{alignat*}{1}\alpha&\equiv\alpha\hphantom{o}\left(\text{mod}.\ M\right),\\[2mm]\alpha&\equiv\beta\hphantom{o}ならば，\ \beta\equiv\alpha\hphantom{o}\left(\text{mod}.\ M\right),\\[2mm]\alpha&\equiv\beta,\hphantom{o}\beta\equiv\gamma\hphantom{o}ならば，\ \alpha\equiv\gamma\hphantom{o}\left(\text{mod}.\ M\right).\end{alignat*} 特に最後の「推移性」だけに関していえば，仮定によって，$\alpha-\beta$ も $\beta-\gamma$ も $M$ に含まれる．故に $\left(\alpha-\beta\right)+\left(\beta-\gamma\right)=\alpha-\gamma$ も $M$ に含まれる．その他は明白．$M$ を法として互いに合同な整数の集合を $M$ を法としての数の一類という．
上記の定理によって，同一の数が相異なる類に属することを得ないから，この定義は妥当である．
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 21}$〕 $\boldsymbol{M}$ を法とすれば，二次体 $\boldsymbol{K}$ のすべての整数は $\boldsymbol{\mathrm{N}\left(M\right)}$ 個の類に分かれる（補遺 $10$ 参照）．
〔証〕 定理 $5.\ 6$ にしたがって\[M=\left[a,\hphantom{1}b+c\omega\right],\]$a\gt0$，$c\gt0$，$a\gt b\geqq0$ とする．しからば $\mathrm{N}\left(M\right)=ac$（定理 $5.\ 9$）．
さて $\xi=x+y\omega$ を任意の整数とし，$y=qc+y_0$，$0\leqq y_0\lt c$ とすれば，\[\xi-q\left(b+c\omega\right)=\left(x-qb\right)+y_0\omega.\]また\[x-qb=pa+x_0,\hspace{5mm}0\leqq x_0\lt a\]とすれば，\[\xi-\left\{pa+q\left(b+c\omega\right)\ \!\!\right\}=x_0+y_0\omega.\]故に\begin{alignat*}{1}\xi&\equiv x_0+y_0\omega\hphantom{o}\left(\text{mod}.\ M\right),\\[2mm]0&\leqq x_0\lt a,\hphantom{m}0\leqq y_0\lt c.\end{alignat*}すなわち任意の整数 $\xi$ はこの合同式の右辺に書かれたような $ac$ 個の整数のうちの或るものと合同である．
しかるに，このような $ac$ 個の整数は $M$ を法として互いに不合同である．いまかりに\[x_0+y_0\omega\equiv x_0{}^\prime+y_0{}^\prime\omega\hphantom{o}\left(\text{mod}.\ M\right),\\[2mm]0\leqq x_0\lt a,\hspace{5mm}0\leqq y_0\lt c,\hspace{5mm}0\leqq x_0{}^\prime\lt a,\hspace{5mm}0\leqq y_0{}^\prime\lt c\]とすれば，\[\left(x_0-x^\prime{}_0\right)+\left(y_0-y^\prime{}_0\right)\omega\]は $M$ に含まれ，しかも $\left|y_0-y_0{}^\prime\right|\lt c$，故に $y_0=y_0{}^\prime$（$\S42$，$2$）．したがって $x_0-x_0{}^\prime$ は $M$ に含まれ，しかも $\left|x_0-x^\prime{}_0\right|\lt a$．故に $x_0=x_0{}^\prime$（同上）．すなわち $x_0+y_0\omega=x_0{}^\prime+y_0{}^\prime\omega$．
$M$ を法としての $n=\mathrm{N}\left(M\right)$ 個の各類から，その代表として一つずつの整数 $\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots\cdots$，$\alpha_n$ を選び出したとき，これらの $n$ 個の整数を $M$ を法としての代表の一組（または剰余系）という．
$\boldsymbol{2.}$ イデヤル $M$ を法としての合同に関しても，有理整数の場合に第 $1$ 章で述べたような定理が成り立つ．ここでは Fermat の定理と Euler の函数とについて少し述べるだけに止める．
$\alpha\equiv\beta\hphantom{o}\left(\text{mod}.\ M\right)$ ならば，$\left(\alpha,\ M\right)=\left(\beta,\ M\right)$ である．特に $\left(\alpha,\ M\right)=1$ であるとき，$\alpha$ の属する類を既約類といい，そのような類の数を $\varPhi\left(M\right)$ で表わす．しからば，$\left(A,\ B\right)=1$ なるとき，$\varPhi\left(AB\right)=\varPhi\left(A\right)\varPhi\left(B\right)$ である．これは $\S\ 8$ と同様にして証明される．いまその要点をいえば，まず $\left(A,\ B\right)=1$ だから，$A$ と $B$ とは $\alpha+\beta=1$ になるような数 $\alpha$，$\beta$ をそれぞれ含む．このとき $\left(\alpha,\ \beta\right)=1$ であるから，イデヤル $\left(\alpha,\ \beta\right)$ は任意の整数 $\kappa$ を含む，したがって $\alpha\eta+\beta\xi=\kappa$ なる $\xi$，$\eta$ が求められる．いま $\alpha\eta_1+\beta\xi_1=\kappa_1$ とすれば，$\kappa\equiv\kappa_1\hphantom{o}\left(\text{mod}.\ AB\right)$ は $\xi\equiv\xi_1\hphantom{o}\left(\text{mod}.\ A\right)$ かつ $\eta\equiv\eta_1\hphantom{o}\left(\text{mod}.\ B\right)$ のときに限る．よって $\xi$，$\eta$ にそれぞれ $A$ または $B$ を法としての代表の一組の値を与えるときに，$\alpha\eta+\beta\xi$ から生ずる $\mathrm{N}\left(A\right)\mathrm{N}\left(B\right)$ 個の数は，$AB$ を法としての代表の一組である．$AB$ を法としての既約類を得るには，これらの中から $\left(\alpha\eta+\beta\xi,\ AB\right)\neq1$ なるものを省くのであるが，そのようなものは $A$ または $B$ のある素因子 $P$ で割り切れるから，$\xi$ または $\eta$ が $P$ で割り切れる．よって $\xi$，$\eta$ にそれぞれ $A$ または $B$ を法としての既約代表の一組の値を与えるとき，$\alpha\eta+\beta\xi$ から生ずる $\varPhi\left(A\right)\varPhi\left(B\right)$ 個の数が，すなわち $AB$ を法としての既約代表の一組で，したがって $\varPhi\left(AB\right)=\varPhi\left(A\right)\varPhi\left(B\right)$．
よって，$A$，$B$，$C$ が二つずつ互いに素であるときは，$\varPhi\left(ABC\right)=\varPhi\left(A\right)\varPhi\left(BC\right)=\varPhi\left(A\right)\varPhi\left(B\right)\varPhi\left(C\right)$．因子がいくつあっても，同様であるから，イデヤル $M$ を素因子巾に分解して\[M=P^aP_1{}^{a_1}P_2{}^{a_2}\cdots\cdots\]とすれば，\[\varPhi\left(M\right)=\varPhi\left(P^a\right)\varPhi\left(P_1{}^{a_1}\right)\varPhi\left(P_2{}^{a_2}\right)\cdots\cdots.\] さて $\varPhi\left(P^a\right)$ であるが，その値は次のようになる：\[\varPhi\left(P^a\right)=\mathrm{N}\left(P\right)^a-\mathrm{N}\left(P\right)^{a-1}=\mathrm{N}\left(P\right)^a\left\{1-\frac{1}{\mathrm{N}\left(P\right)}\right\}.\] まず $p=PP^\prime$，$P\neq P^\prime$ の場合から始める．このとき $\mathrm{N}\left(P\right)=p$，$\mathrm{N}\left(P^a\right)=p^a$ で，また $P^a$ は原始イデヤルであるから，$P^a$ を標準的底数で表わせば，$P^a=\left[p^a,\hphantom{1}r+\omega\right]$ のようになる（定理 $5.\ 6$）．故にすべての整数は $P^a$ を法として有理整数と合同になり，$0$，$1$，$2$，$\cdots\cdots$，$p^a-1$ が代表の一組である．そのうち $P$ で割り切れる $0$，$p$，$2p$，$\cdots\cdots$，$\left(p^{a-1}-1\right)p$ を省けば，既約代表の一組が得られる．故に $\varPhi\left(P\right)=p^a-p^{a-1}=\mathrm{N}\left(P\right)^a-\mathrm{N}\left(P\right)^{a-1}$
次に $p=P$ の場合を考察する．この場合には $\mathrm{N}\left(P\right)=p^2$ で，$P^a=\left(p^a\right)=\left[p^a,\hphantom{1}p^a\omega\right]$．故に $x+y\omega$，$0\leqq x\lt p^a$，$0\leqq y\lt p^a$ なる $p^{2a}$ 個の数が代表の一組で，そのうち $P$ で割り切れるのは $x$，$y$ がともに $p$ で割り切れるもので，その数は $p^{2\left(a-1\right)}$ である．よって\[\varPhi\left(P^a\right)=p^{2a}-p^{2\left(a-1\right)}=\mathrm{N}\left(P\right)^a-\mathrm{N}\left(P\right)^{a-1}.\] 最後に $p=P^2$ とする．このとき $\mathrm{N}\left(P\right)=p$ であるが，$P=\left[p,\hphantom{1}r+\omega\right]$ は原始イデヤルであるから，上にも述べたように，$\varPhi\left(P\right)=p-1$ である．また $P^2=\left(p\right)=\left[p,\hphantom{1}p\omega\right]$ から，上記第二の場合のように，$\varPhi\left(P^2\right)=p^2-p=\mathrm{N}\left(P\right)^2-\mathrm{N}\left(P\right)$．$P$ の偶数乗巾 $P^{2m}$ の場合も同様である．また\[P^{2m+1}=p^mP=\left[p^{m+1},\ p^m\left(r+\omega\right)\right].\] 故に $P^{2m+1}$ を法としての代表の一組は\[x+y\omega,\hspace{5mm}0\leqq x\lt p^{m+1},\hspace{5mm}0\leqq y\lt p^m.\] この中から $P$ で割り切れるものを省くのであるが，$\omega\equiv-r\hphantom{P}\left(\text{mod}.\ P\right)$ であるから，それらは $x-yr\equiv0\hphantom{P}\left(\text{mod}.\ P\right)$，すなわち $x\equiv yr\hphantom{P}\left(\text{mod}.\ p\right)$ なるものである．$0\leqq y\lt p^m$ なる任意の $y$ に対して，このような $x$ は $0\leqq x\lt p^{m+1}$ の範囲に $p^m$ だけあるから，総数 $p^m\hspace{0.7mm}\cdotp p^m$ である．故に\[\varPhi\left(P^{2m+1}\right)=p^{2m+1}-p^{2m}=\mathrm{N}\left(P\right)^{2m+1}-\mathrm{N}\left(P\right)^{2m}.\] すなわち $\varPhi\left(P^a\right)$ の値はすべての場合において上記の通りである．
よって次の定理を得る．
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 22}$〕 イデヤル $\boldsymbol{M}$ を法としての既約類の数は\[\varPhi\left(M\right)=\mathrm{N}\left(M\right)\overset{P}{\textstyle\prod}\left(1-\frac{1}{\mathrm{N}\left(P\right)}\right).\]ただし積 $\boldsymbol{\prod}$ は $\boldsymbol{M}$ の相異なる素因子の上にわたるのである．
〔注意〕 $M=\left(a\right)$ が有理整数から生ずる単項イデヤルであるとき，$\varPhi\left(a\right)$ は有理整数の範囲内において定義された $\varphi\left(a\right)$ とは違う．例えば，$p=P$ のときには，\[\varPhi\left(p\right)=\mathrm{N}\left(p\right)\left(1-\frac{1}{\mathrm{N}\left(P\right)}\right)=p^2\left(1-\frac{1}{p^2}\right)=p^2-1.\]
$\boldsymbol{3.}$ さて $M$ を法としての既約類の代表の一組を\[\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots\cdots,\ \alpha_n,\hspace{1cm}n=\varPhi\left(M\right)\]とし，$\alpha$ は $M$ と互いに素である任意の整数とすれば，\[\alpha\alpha_1,\hphantom{\alpha}\alpha\alpha_2,\ \cdots\cdots,\hphantom{\alpha}\alpha\alpha_n\]もやはり既約代表の一組であることは明白である．故に\[\alpha^n\left(\alpha_1\alpha_2\cdots\cdots\alpha_n\right)\equiv\alpha_1\alpha_2\cdots\cdots\alpha_n\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ M\right).\]したがって\[\alpha^n\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ M\right).\]よって次の定理を得る．
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 23}$〕 $\boldsymbol{a}$ が $\boldsymbol{M}$ と互いに素であるときは，\[\boldsymbol{\alpha^{\varPhi\left(M\right)}\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ M\right)}\] 特に $\boldsymbol{M=P}$ が素のイデヤルであるとき，$\boldsymbol{\mathrm{N}\left(P\right)=p^f}$（$\boldsymbol{f=1}$ または $2$）とすれば，\[\boldsymbol{a^{p^f-1}\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ P\right).}\] これが二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ における Fermat の定理である．
〔注意〕 上の場合に $e$ を $\alpha^e\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ M\right)$ なる $\alpha$ の最小正指数とすれば，$e$ を $\alpha$ に対応する指数という．このとき $\alpha^n\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ M\right)$ ならば，$n$ は $e$ の倍数でなければならない．特に $e$ は $\varPhi\left(M\right)$ の約数である．
例えば，$K\left(\sqrt{7}\right)$ において，$\alpha=8+3\sqrt{7}$，$M=6$ とすれば，$\alpha^2=127+48\sqrt{7}\equiv1\hphantom{6}\left(\text{mod}.\ 6\right)$，$e=2$．$6=P^2QQ^\prime$．ただし $P^2=2$，$\mathrm{N}\left(Q\right)=3$，$\varPhi\left(6\right)=36\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2=8$．
〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 $\varPhi\left(n\right)=\varphi\left(n\right)\cdotp\psi\left(n\right)$ と置けば，\[\psi\left(n\right)=n\overset{P}{\textstyle\prod}\left(1-\frac{\chi\left(p\right)}{p}\right),\hspace{5mm}\chi\left(p\right)=\left(\frac{d}{p}\right).\] 〔解〕 $n$ に含まれる素因数を $p$，$q$，$l$ の三種に分ける．すなわち $\chi\left(p\right)=\left(\dfrac{d}{p}\right)=1$．$\chi\left(q\right)=\left(\dfrac{d}{q}\right)=-1$，$\chi\left(l\right)=0$ とする（Kronecker の記号，$299$ 頁）．しからば\[\varPhi\left(n\right)=n^2\overset{p}{\textstyle\prod}\left(1-\frac{1}{p}\right)^2\cdotp\overset{q}{\textstyle\prod}\left(1-\frac{1}{q^2}\right)\cdotp\overset{l}{\textstyle\prod}\left(1-\frac{1}{l}\right).\]故に\[\psi\left(n\right)=n\overset{p}{\textstyle\prod}\left(1-\frac{1}{p}\right)\overset{q}{\textstyle\prod}\left(1+\frac{1}{q}\right).\]$p$ も $q$ も統一して $p$ で表わせば上記の通りになる．
〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 素のイデヤル $P$ を法とする $n$ 次の合同式\[\alpha_0x^n+\alpha_1x^{n-1}+\cdots\cdots+\alpha_n\equiv0\hphantom{P}\left(\text{mod}.\ P\right)\]（$\alpha_0$，$\alpha_1$，$\cdots\cdots$，$\alpha_n$ は二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ の整数で，$\alpha_0\not\equiv0\ \left(\text{mod}.\ P\right)\ \!$）は $n$ よりも多くの相異なる（不合同な）解を有しない．
〔解〕 有理整数の場合と同様．
〔問題 $\boldsymbol{3}$〕 一次合同式 $\alpha x\equiv\beta\hphantom{o}\left(\text{mod}.\ M\right)$ は $\left(\alpha,\ M\right)=1$ であるときにはただ一つの解を有する．
〔解〕 有理整数の場合と同様というよりも，むしろかえって簡単である．$\left(\alpha,\ M\right)=1$ だから任意の数 $\beta$ がイデヤル $\left(\alpha,\ M\right)$ に含まれる．故に $\left(\alpha\right)$ に属する或る数 $\alpha\xi$ と $M$ に属する或る数 $\mu$ とがあって，$\alpha\xi+\mu=\beta$ になる．すなわち $\alpha\xi-\beta$ が $M$ に含まれる．すなわち $\alpha\xi\equiv\beta\hphantom{o}\left(\text{mod}.\ M\right)$．
〔注意〕 $\left(\alpha,\ M\right)=D$ ならば，$\beta\subset D$ が解のあるための条件である．そのとき $\text{mod}.\ M$ に関して解の数は $\mathrm{N}\left(D\right)$ である．