初 等 整 数 論 講 義 第 $2$ 版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 52$ 二次不定方程式の続き($f\gt1$ の場合)  $\S\ 54.$ イデヤルの類別(広義と狭義) $\blacktriangleright$

『初等整数論講義 第 $2$ 版』目次へ



第 $5$ 章 二次体の整数論

 $\S\ 53.$ 一般の二元二次不定方程式

 $\boldsymbol{1.}$ 一般の二元二次不定方程式\[ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\]において,$D=b^2-4ac\neq0$ であるときは,一次の項をとり払って前節で論じたような形に帰せしめることができる.次の例は Gauss が取り扱ったものである.
 〔例〕$x^2+8xy+y^2+2x-4y+1=0.\tag{$\ 1\ $}$
 解析幾何学で座標の平行変換によって原点を二次曲線の中心に移すのと同様の変形をする.すなわち\[x=x^\prime+\frac{3}{5},\hspace{5mm}y=y^\prime-\frac{2}{5}\]とすれば,\[x^{\prime2}+8x^\prime y^\prime+y^{\prime2}+\frac{12}{5}=0.\]$x$,$y$ の整数値に新未知数の整数値を対応させるために\[x^\prime=\frac{X}{5},\hspace{5mm}y^\prime=\frac{Y}{5}\]すなわち\[x=\frac{X+3}{5},\hspace{5mm}y=\frac{Y-2}{5}\tag{$\ 2\ $}\]とおけば,方程式は\[X^2+8XY+Y^2=-60\tag{$\ 3\ $}\]になる.まずこの方程式の整数解を求める.\[N\left(X+4Y+\sqrt{15}Y\right)=-60,\]$D=60=2^2\hspace{0.7mm}\cdotp3\hspace{0.7mm}\cdotp5$ で,$K\left(\sqrt{15}\right)$ において $\left(\ 2\ \right)=L^2$,$\left(\ 3\ \right)=P^2$,$\left(\ 5\ \right)=Q^2$ はイデヤルの平方で,$PQ=\left(\sqrt{15}\right)$.故にノルムが $60$ になるイデヤルは $\left(2\sqrt{15}\right)$.よって $\left(\ 3\ \right)$ の整数解は\[X+4Y+\sqrt{15}Y=\pm2\sqrt{15}\left(t_n+u_n\sqrt{15}\right)\]から得られる.ただし\[t_n+u_n\sqrt{15}=\left(4+\sqrt{15}\right)^n,\hphantom{1}\left(n=0,\ \pm1,\ \pm2,\ \cdots\right)\]すなわち\[\left.\begin{array}{l}X=-8t_n+30u_n\\[2mm]Y=2t_n\end{array}\ \ \right\}\ \ または\ \ \left.\begin{array}{l}X=8t_n-30u_n\\[2mm]Y=-2t_n\end{array}\ \ \right\}\]これを $\left(\ 2\ \right)$ に入れて\[x=\frac{\ -8t_n+30u_n+3\ }{5},\hphantom{1}y=\frac{\ 2t_n-2\ }{5}.\tag{$\ 4\ $}\]または\[x=\frac{\ 8t_n-30u_n+3\ }{5},\hphantom{1}y=\frac{\ -2t_n-2\ }{5}.\tag{$\ 5\ $}\]$x$,$y$ が整数になるのは,$\left(\ 4\ \right)$ においては $t_n\equiv1\hphantom{5}\left(\text{mod}.\ 5\right)$,$\left(\ 5\ \right)$ においては $t\equiv-1\hphantom{5}\left(\text{mod}.\ 5\right)$ であるときである.さて $n$ が正でも,負でも\[t_{n+1}=4t_n+15u_n,\]故に\[t_{n+1}\equiv-t_n\hphantom{5}\left(\text{mod}.\ 5\right).\]$t_0=1$ であるから,$n$ が偶数のとき $t_n\equiv1$,奇数のとき $t_n\equiv-1\hphantom{5}\left(\text{mod}.\ 5\right)$.よって $\left(\ 4\ \right)$ では $n=0$,$\pm2$,$\pm4$,$\cdots$,$\left(\ 5\ \right)$ では $n=\pm1$,$\pm3$,$\pm5$,$\cdots\cdots$ を取るべきである.例えば $t_0=1$,$u_0=0$,よって $\left(\ 4\ \right)$ から\[x=-1,\hspace{5mm}y=0.\]また $t_1=4$,$u_1=1$.よって $\left(\ 5\ \right)$ から\[x=1,\hspace{5mm}y=-2\]等を得る.

 $\boldsymbol{2.}$ 次に $b^2-4ac=0$ のときには,二次式が一次式の積に分解される場合を除けば,問題は二次の合同式に帰する.
 〔例〕$18x^2-24xy+8y^2+6x-5y+2=0,\tag{$\ 6\ $}$
すなわち\[2\left(3x-2y\right)^2+6x-5y+2=0.\] 「モ変形」\[\begin{alignat*}{1}X&=3x-2y,\\[0.3mm]Y&=-x+y\end{alignat*}\hspace{1cm}\begin{vmatrix}\hphantom{-}3&-2\\-1&\hphantom{-}1\end{vmatrix}=1\]によって未知数を $X$,$Y$ に変換して\[\left.\begin{eqnarray*}x&=X+2Y\\[2mm]y&=X+3Y\end{eqnarray*}\ \right\}\tag{$\ 7\ $}\]と置けば,$\left(\ 6\ \right)$ は\[2X^2+X-3Y+2=0\tag{$\ 6^{\large*}$}\]になる.よって\[Y=\frac{2X^2+X+2}{3}.\tag{$\ 8\ $}\]$Y$ を整数ならしめる $X$ の値は合同式\[2X^2+X+2\equiv0\hphantom{3}\left(\text{mod}.\ 3\right)\]を満足せしめるものである.あるいは係数を合同な数で置きかえて\[X^2+2X+1\equiv0\hphantom{3}\left(\text{mod}.\ 3\right),\]したがって\[X\equiv-1\hphantom{3}\left(\text{mod}.\ 3\right).\]このような $X$ の値を $\left(\ 8\ \right)$ に入れて $Y$ を求め,$\left(\ 7\ \right)$ から $x$,$y$ の整数値を得るのである.例えば $X=-1$ とすれば $Y=1$,よって $x=1$,$y=2$,また $X=2$ とすれば $Y=4$,よって $x=10$,$y=14$,等々.








$\blacktriangleleft$ $\S\ 52$ 二次不定方程式の続き($f\gt1$ の場合)  $\S\ 54.$ イデヤルの類別(広義と狭義) $\blacktriangleright$

『初等整数論講義 第 $2$ 版』目次へ


 ページトップへ inserted by FC2 system