附 録
$\S\ 56.$ イデヤルの種とノルム剰余
$\boldsymbol{1.}$ 前節に述べたイデヤルの種は二次体論において重大な意味を有するものであるが，それを説明するためには，まず二次体に関するノルム剰余なるものを考察しなければならない．$k$，$n$ は有理整数，$\alpha$ は二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ の整数で\[N\left(\alpha\right)\equiv n\hspace{5mm}\left(\text{mod}.\ k\right)\]であるとき，$n$ を $\text{mod}.\ k$ に関して二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ のノルム剰余という．
ここでわれわれの目的に必要なのは，二次体の判別式 $d$ を $\text{mod}.$ とし，かつ $\left(d,\hphantom{1}n\right)=1$ である場合だけである．
その場合に次の定理が成り立つ．
〔定理 $\boldsymbol{6.\ 6}$〕 二次体 $\boldsymbol{K\left(\sqrt{m}\right)}$ の判別式を $\boldsymbol{d}$ とし，$\boldsymbol{d}$ に含まれる相異なる素数の数を $\boldsymbol{t}$ とすれば，$\boldsymbol{\text{mod}.\ d}$ に関する $\boldsymbol{\varphi\left(\ \!\!\left|d\right|\ \!\!\right)}$ の既約類の中の $\boldsymbol{1/2^t}$ だけがノルム剰余から成り立つ．
〔証〕 $\left(1^\circ\right)$ まず $l$ を $d$ に含まれる奇の素数とする．しからば二次体 $K$ において $l=L^2$，$\mathrm{N}\left(L\right)=l$．故に $\text{mod}.\ L$ に関して二次体の整数は $l$ 類に分かれる．したがって，それらは $0$，$1$，$2$，$\cdots$，$l-1$ なる有理整数で代表される．故に $\alpha$ を二次体の任意の整数とすれば\[\alpha\equiv a\hphantom{n}\left(\text{mod}.\ L\right)\]なる有理整数 $a$ がある．共軛に移れば，$L^\prime=L$ に注意して\[\alpha^\prime\equiv a\hphantom{n}\left(\text{mod}.\ L\right),\]したがって\[N\left(\alpha\right)={\alpha\alpha}^\prime\equiv a^2\hphantom{n}\left(\text{mod}.\ L\right).\]$N\left(\alpha\right)-a^2$ は有理数だから，この合同式は $\text{mod}.\ l$ に関しても成り立つ．逆に $N\left(a\right)\equiv a^2\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ l\right)$ だから，$\text{mod}.\ l$ に関してはノルム剰余はすなわち平方剰余にほかならない．故に既約類だけに関しては，半数だけがノルム剰余で，$n$ がノルム剰余であることの鑑別条件は\[\left(\frac{n\vphantom{1}}{l}\right)=1\]である．
$\left(2^\circ\right)$ $d$ が偶数ならば，$d$ は $4$ または $8$ で割り切れる．このとき $K\left(\sqrt{m}\right)$ の整数は\[\alpha=x+y\sqrt{m}\]で\[N\left(\alpha\right)=x^2-y^2m.\] まず $m\equiv3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ とすれば，$N\left(\alpha\right)$ が奇数になるのは $x$，$y$ のうち一つは奇数，一つは偶数のときだけで，そのとき $N\left(\alpha\right)\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$．次に $m\equiv2\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，$d=8\hspace{0.7mm}\cdotp\left(m/2\right)$ とすれば，$N\left(\alpha\right)$ が奇数になるのは $x$ が奇数のときだけで，そのとき\[N\left(\alpha\right)\equiv1-y^2m\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right).\]故に $m\equiv2\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ ならば\[N\left(\alpha\right)\equiv1,\hphantom{1}-1\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right),\]また $m\equiv6\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ ならば\[N\left(\alpha\right)\equiv1,\hphantom{1}3\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right).\]すなわち正の奇数 $n$ が $d$ に含まれる $2$ の巾を $\text{mod}.$ としてノルム剰余であることの鑑別条件は\begin{alignat*}{1}m&\equiv3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)\ のとき,\ \left(\frac{-1}{n}\right)=1,\\[2mm]m&\equiv2\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 8\right)\ のとき,\ \left(\frac{2}{n}\right)=1,\\[2mm]m&\equiv6\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 8\right)\ のとき,\ \left(\frac{-2}{n}\right)=1.\end{alignat*} $\left(3^\circ\right)$ 一般に $\left(k,\ k^\prime\right)=1$ とすれば，$\left(n,\hphantom{1}{kk}^\prime\right)=1$ なる $n$ が $\text{mod}.\ {kk}^\prime$ に関するノルム剰余であるならば\[N\left(\alpha\right)\equiv n\hphantom{k}\left(\text{mod}.\ {kk}^\prime\right)\]だから，$n$ はもちろん $\text{mod}.\ k$ に関してもまた $\text{mod}.\ k^\prime$ に関してもノルム剰余であるが，逆に\begin{alignat*}{1}N\left(\beta\right)&\equiv n\hphantom{k}\left(\text{mod}.\ k\right),\\[2mm]N\left(\gamma\right)&\equiv n\hphantom{k}\left(\text{mod}.\ k^\prime\right)\end{alignat*}ならば，$n$ は $\text{mod}.\ {kk}^\prime$ に関してノルム剰余である．実際
| $\begin{alignat*}{1}b&\equiv 1\hphantom{k}\left(\text{mod}.\ k\right)\\[2mm]&\equiv 0\hphantom{k}\left(\text{mod}.\ k^\prime\right)\ \ \end{alignat*}$ | $\begin{alignat*}{1}\ \ c&\equiv 0\hphantom{k}\left(\text{mod}.\ k\right)\\[2mm]&\equiv 1\hphantom{k}\left(\text{mod}.\ k^\prime\right)\end{alignat*}$ |
$\left(4^\circ\right)$ 上記 $\left(1^\circ\right)$，$\left(2^\circ\right)$，$\left(3^\circ\right)$ を総合すれば，定理 $6.\ 6$ の証明が完成する．いま $d=\pm l_1l_2\cdots l_t$ とし，$d$ が偶数の場合には，$m\equiv3$，$2\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ に従って，$l_1=4$，$8$ とする．その他の $l$ は奇の素数である．しからば $\text{mod}.\ d$ に関する $\varphi\left(\ \!\!\left|d\right|\ \!\!\right)=\varphi\left(l_1\right)\varphi\left(l_2\right)\ldots\varphi\left(l_t\right)$ の既約類の中から任意に $n$ をとって\[n\equiv n_1\hphantom{n}\left(\text{mod}.\ l_1\right),\ \equiv n_2\hphantom{n}\left(\text{mod}.\ l_2\right),\cdots,\ \equiv n_t\hphantom{n}\left(\text{mod}.\ l_t\right)\]とおけば，$n$ が $\text{mod}.\ d$ に関するノルム剰余であるためには，$\left(3^\circ\right)$ によって，$n_1$，$n_2$，$\cdots$，$n_t$ がそれぞれ $\text{mod}.\ l_1$，$\text{mod}.\ l_2$，$\cdots$，$\text{mod}.\ l_t$ に関するノルム剰余であることが必要かつ十分な条件であるが，その条件は $\left(1^\circ\right)$，$\left(2^\circ\right)$ によってそれぞれの $\text{mod}.\ l$ に関して，$\left(1/2\right)\varphi\left(l\right)$ だけの $n$ によってのみ満足させられる．故に $\text{mod}.\ d$ に関しては $\left(1/2^t\right)\varphi\left(\ \!\!\left|d\right|\ \!\!\right)$ だけの既約類がノルム剰余から成り立つ．
上記ノルム剰余の鑑別条件を次のようにいい表わすことができる．
判別式 $d$ に含まれる相異なる素数を $l_1$，$l_2$，$\ldots$，$l_t$ とする．ただし $d=4m$ が偶数のときには，前の通り $m\equiv3$ または $2\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ に従って $l_1$，$l_2$，$\cdots$，$l_t$ の中の一つ，例えば $l_1$ を $4$ または $8$ とする．
いま $\left(n,\hphantom{1}d\right)=1$ である $n$ に関して\[\chi_\nu\left(n\right)=\left(\frac{n}{l_\nu}\right),\hspace{1cm}\left(\nu=1,\ 2,\ \cdots,\ t\right)\]特に $l_1=4$，または $8$ であるときは，\begin{alignat*}{1}&m\equiv3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)\ のとき\ \chi_1\left(n\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{n-1}{2}}\\[2mm]&m\equiv2\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 8\right)\ のとき\ \chi_1\left(n\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}{\frac{n^2-1}{8}.}}\\[2mm]&m\equiv6\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 8\right)\ のとき\ \chi_1\left(n\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}{\frac{n^2-1}{8}+\frac{n-1}{2}}}\end{alignat*}とする．$\left(n,\hphantom{1}d\right)\gt1$ であるときは $\chi_\nu\left(n\right)=0$．
このような記号によれば，$n$ が $d$ を法としてのノルム剰余であることの鑑別条件は\[\chi_1\left(n\right)=1,\hphantom{1}\chi_2\left(n\right)=1,\ \cdots,\ \chi_t\left(n\right)=1\tag{$\ 1\ $}\]である．
〔注意〕 $\chi_1\left(n\right)$，$\cdots$，$\chi_t\left(n\right)$ は $\text{mod}.\ d$ に関する指標で，その積は第二種の正式指標であるが，それはちょうど Kronecker-Weber の記号（$295$ 頁）に等しい．実際，$d$ が奇数ならば上記の通り\[\chi_1\left(n\right)\cdots\chi_t\left(n\right)=\left(\frac{n}{l_1}\right)\cdots\left(\frac{n}{l_t}\right)=\left(\frac{n}{\left|d\right|}\right).\]また $d=4m$，または $d=8m^\prime$ のときには，\[\chi_2\left(n\right)\cdots\chi_t\left(n\right)=\left(\frac{n}{\left|m\right|}\right)\ または\ \left(\frac{n}{\left|m^\prime\right|}\right)\]で，$\chi_1\left(n\right)$ は上記の通りだから，$\chi_1\left(n\right)\cdots\chi_t\left(n\right)$ はちょうど $296$ 頁 $\left(\ 8\ \right)$ に掲げた $\chi\left(n\right)$ に等しいのである．
$\boldsymbol{2.}$ もしも二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ において $J$ を $d$ と互いに素なイデヤルとして\[J={PP}_1\cdots{QQ}_1\hspace{1cm}\left(P\neq P^\prime,\ \cdots,\ q=Q,\ \cdots\right)\]とおけば\[n=\mathrm{N}\left(J\right)=pp_1\cdots q^2q_1{}^2\cdots\]であるが，\[\left(\frac{d}{p}\right)=\left(\frac{d}{p_1}\right)=\cdots=1,\]また $p=2$ でも，$295/6$ 頁に述べた意味で $\left(\dfrac{d}{2}\right)=1$．
故に $\chi\left(n\right)=\left(\dfrac{d}{2}\right)$ を Kronecker-Weber の記号とすれば\[\chi\left(n\right)=\left(\dfrac{d}{n}\right)=1.\]すなわち（上記注意）\[\chi_1\left(n\right)\chi_2\left(n\right)\cdots\chi_t\left(n\right)=1.\] これは $n$ が $K\left(\sqrt{m}\right)$ のイデヤルのノルムであるために必要な条件である．これは十分な条件ではないが，$\text{mod}.\ d$ に関して考察すれば，定理 $6.\ 6$ をも併合して次のようにいうことができる．
〔定理 $\boldsymbol{6.\ 7}$〕 $\alpha$，$J$ は二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ の数またはイデヤルを表わすことにすれば，$\left(n,\hphantom{1}d\right)=1$ である $n$ に関して\[n\equiv N\left(\alpha\right)\hphantom{d}\left(\text{mod}.\ d\right)\]なるがために必要かつ十分な条件は，\[\chi_1\left(n\right)=1,\hphantom{1}\chi_2\left(n\right)=1,,\ \cdots,\ \chi_t\left(n\right)=1.\]また\[n\equiv \mathrm{N}\left(J\right)\hphantom{d}\left(\text{mod}.\ d\right)\]なるがために必要かつ十分な条件は\[\chi_1\left(n\right)\chi_2\left(n\right)\cdots\chi_t\left(n\right)=1.\tag{$\ 2\ $}\] 〔注意〕 まだ証明のすんでいないのは後段の関係式 $\left(\ 2\ \right)$ が十分な条件であることだけである．その証明がむずかしい．
上記の定理は $n$ を $\text{mod}.\ d$ に関する既約類からとるときにのみ簡明である．よって二次体におけるイデヤルを $d$ と互いに素であるものに限るために，まず次の一般的の定理を証明する必要がある．
〔定理 $\boldsymbol{6.\ 8}$〕 二次体のイデヤルの各類は任意に与えられたイデヤル $M$ と互いに素なるイデヤルを含む．すなわち $\boldsymbol{M}$ と互いに素であるイデヤルのみを考察しても類の数には影響がないのである．
〔証〕 いま $\mathrm{C}$ を与えられた類とし，その逆の類 $\mathrm{C}^{-1}$ から任意のイデヤル $A$ をとっておけば $AJ=\left(\alpha\right)$ なるイデヤル $J$ は $C$ に属する．故に $\left(J,\ M\right)=1$ になるように $\alpha$ を求め得ることを示せばよい．
さて $M$ に含まれる相異なる素因子を $P_1$，$P_2$，$\ldots$，$P_m$ とすれば，$\left(J,\ M\right)=1$ は $\left(J_1,\hphantom{1}P_1P_2\cdots P_m\right)=1$ と同じである．
いま $\alpha_1$ を $AP_2$，$\cdots$，$AP_m$ では割り切れ，$AP_1$ では割り切れない数とする．$\alpha_1$ はすなわち $AP_2\cdots P_m$ では割り切れて，$AP_1P_2\cdots P_m$ では割り切れない数だから，$\alpha_1$ を $AP_2\cdots P_m$ には含まれ，しかも $AP_1P_2\cdots P_m$ には含まれない数にすればよい．同様に $\alpha_2$，$\alpha_3$，$\cdots$，$\alpha_m$ を定めて\[\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_m\]と置けば，$\alpha$ は $A$ では割り切れるが，$AP_1$，$AP_2$，$\cdots$，$AP_m$ では割り切れない．故に $\alpha=AJ$ と置けば $\left(J,\hphantom{1}P_1P_2\cdots P_m\right)=1$，したがって $\left(J,\ M\right)=1$．
もしも類を狭義にとれば $N\left(\alpha\right)\gt0$ にすることを要する．そのためには $a=\mathrm{N}\left(A\right)$，$b=\mathrm{N}\left(M\right)$ と置いて $\alpha$ に $\alpha+abt$ を代用して，$t$ を適当に大きくとれば十分である．
さて $A$ を主なる種（狭義）に属するイデヤルとすれば\[A=\rho J^2.\]$A$ も $J$ も $d$ と互いに素と仮定する．$\rho$ は必ずしも整数ではないが，いま $\mathrm{N}\left(J\right)=n$ とすれば，\[AJ^{\prime2}=\rho n^2\]だから，$\rho n^2=\alpha$ とおけば，$\alpha$ は整数で $\rho=\alpha/n^2$．故に\[n^2A=\alpha J^2\tag{$\ 3\ $}\]$\left(n,\ d\right)=1$ であるから $\left(\alpha,\ d\right)=1$．すなわち $\rho$ は $d$ と素なる二つの整数の商である．
$\left(\ 3\ \right)$ からノルムをとって\[n^2\mathrm{N}\left(A\right)=\pm N\left(\alpha\right).\]類を狭義にとるのだから $N\left(\alpha\right)\gt0$．故に\[n^2\mathrm{N}\left(A\right)=\mathrm{N}\left(\alpha\right)\]よって\[\chi_1\left(\mathrm{N}\left(A\right)\ \!\!\right)=1,\ \cdots\cdots,\ \chi_t\left(\mathrm{N}\left(A\right)\ \!\!\right)=1\]一般に $A$，$B$ を同じ種に属するイデヤルとすれば\[A=\rho J^2\hspace{0.7mm}\cdotp B,\]故に，上と同じ記号を用いて\[n^2\mathrm{N}\left(A\right)=\mathrm{N}\left(\alpha\right)\mathrm{N}\left(B\right)\]を得るから，\[\chi_1\left(\mathrm{N}\left(A\right)\ \!\!\right)=\chi_1\left(\mathrm{N}\left(B\right)\ \!\!\right),\ \cdots\cdots,\ \chi_t\left(\mathrm{N}\left(A\right)\ \!\!\right)=\chi_t\left(\mathrm{N}\left(B\right)\ \!\!\right).\]いま $\left(J,\ d\right)=1$，$\mathrm{N}\left(J\right)=n$ として\[\chi_1\left(n\right),\ \chi_2\left(n\right),\ \cdots\cdots,\ \chi_t\left(n\right)\]をイデヤル $J$ に属する指標系（Charakterensystem）という．
しからば定理 $6.\ 7$ を次のようにいい表わすことができる．
〔定理 $\boldsymbol{6.\ 9}$〕 二次体においてイデヤルの属する種は，その指標系によって確定する（Gauss の定理）．
同一の種に属するイデヤルの指標系は同一であることは上文に述べたが，その逆の証明はまだ述べていない．いま定理 $6.\ 7$ の後段の証明ができたとすれば，関係式\[\chi_1\left(n\right)\chi_2\left(n\right)\cdots\cdots\chi_t\left(n\right)=1\tag{$\ 4\ $}\]を満足せしめるような\[\chi_1\left(n\right)=\pm1,\hphantom{1}\chi_2\left(n\right)=\pm1,\ \cdots\cdots,\ \chi_t\left(n\right)=\pm1\]の組合せは二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ のイデヤルの指標系で，その組合せの数 $2^{t-1}$ がちょうど種の数に等しいから，相異なる種には相異なる指標系が対応しなければならない．すなわち定理 $6.\ 9$ が成り立つ．
$\text{mod}.\ d$ に関する既約類に属する数 $n^\prime$ に関しては\[\chi_1\left(n^\prime\right)=\pm1,\hphantom{1}\chi_2\left(n^\prime\right)=\pm1,\ \cdots\cdots,\ \chi_t\left(n^\prime\right)=\pm1\]は $2^t$ 組の値をとり得るが，その中の半分，すなわち\[\left(\frac{d}{n}\right)=\chi_1\left(n\right)\chi_2\left(n\right)\cdots\cdots\chi_t\left(n\right)=1\]なるものだけが，二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ のイデヤルの指標系で，他の半分，すなわち\[\left(\frac{d}{n^\prime}\right)=\chi_1\left(n^\prime\right)\chi_2\left(n^\prime\right)\cdots\cdots\chi_t\left(n^\prime\right)=-1\]なるものに関しては\[\mathrm{N}\left(J\right)\not\equiv n^\prime\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ d\right).\]さて $\left(\ 4\ \right)$ に適合する $2^{t-1}$ 組の指標系を有するイデヤルが実際存在することを証明するには，\[\chi_1\left(p\right)=\chi_1\left(n\right),\ \cdots\cdots,\ \chi_t\left(p\right)=\chi_t\left(n\right)\]なる素数 $p$ が一つでもあることがわかれば十分である．そのときには\[\left(\frac{d}{p}\right)=1\]になるのだから $p={PP}^\prime$ で，$\chi_1\left(p\right)$，$\cdots$，$\chi_t\left(p\right)$ はすなわちイデヤル $P$ の指標系である．一般の $n$ に関しては，$\left(\dfrac{d}{n}\right)=1$ からは $n={JJ}^\prime$ は出てこないが，$\left(\dfrac{d}{n}\right)=1$ ならば，$n\equiv\mathrm{N}\left(J\right)\ \left(\text{mod}.\ d\right)$ である．それが定理 $6.\ 7$ または $6.\ 9$ の証明未済の部分である．
もしも算術級数中の素数に関する Dirichlet の定理（$21$ 頁）を用いるならば，$\text{mod}.\ d$ に関する各既約類に属する素数 $p$ があるのだから，それで十分（十分以上）である．
よって定理 $6.\ 9$ の証明の未済の部分を，われわれは Dirichlet の定理に依託して片付けることにする（$\S\ 59$）．
〔注意〕 その証明は函数論的の手段を用いる．定理 $6.\ 9$ の整数論的証明はむずかしい．Gauss はそれを三元二次形式論によって証明した．Hilbert の「整数論報文」には二次体論として数学的帰納法による証明が載せてあるが，それの簡易化が面倒であって本書に掲げ得なかったのである．
「種の理論」は一般化されて相対的 Abel 体にまで拡張されているが，定理 $6.\ 9$ に該当する定理の純整数論的の証明は二次体以外にはできていない．
〔例 $1$〕 $K\left(\sqrt{-65}\right)$，$d=-2^2\hspace{0.7mm}\cdotp5\hspace{0.7mm}\cdotp13$，$t=3$，$2^{t-1}=4$，$h=8$．
| （巻末の表，参照） |
| 種に属する類 | 種 を 代 表 す る イ デ ヤ ル $J$ | $\ \ n=\mathrm{N}\left(J\right)\ $ | $\chi_1\left(n\right)$ | $\chi_2\left(n\right)$ | $\chi_3\left(n\right)$ | |
| $\mathrm{E}$， | $\mathrm{A}^2$ | $1$ | $\hphantom{1}1$ | $+1$ | $+1$ | $+1$ |
| $\mathrm{A}$， | $\mathrm{A}^3$ | $\left[3,\hphantom{11}1+\sqrt{-65}\right]$ | $\hphantom{1}3$ | $-1$ | $-1$ | $+1$ |
| $\mathrm{B}$， | $\mathrm{BA}^2$ | $\left[33,\hphantom{1}1+\sqrt{-65}\right]$ | $33$ | $+1$ | $-1$ | $-1$ |
| $\mathrm{BA}$， | $\mathrm{BA}^3$ | $\left[11,\hphantom{1}1+\sqrt{-65}\right]$ | $11$ | $-1$ | $+1$ | $-1$ |
〔例 $2$〕 $K\left(\sqrt{34}\right)$，$d=2^3\hspace{0.7mm}\cdotp17$，$t=2$，$2^{t-1}=2$．\[\chi_1\left(n\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{n^2-1}{8}},\hspace{1cm}\chi_2\left(n\right)=\left(\frac{n\vphantom{1}}{17}\right).\]狭義では $h=4$ で，$\left[3,\hphantom{1}1+\sqrt{34}\right]$ の代表する類を $\mathrm{A}$ とすれば，四つの類は $\mathrm{E}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{A}^2$，$\mathrm{A}^3$．それらが二つの種に分かれる．
| 種 | $J$ | $n$ | $\chi_1\left(n\right)$ | $\chi_2\left(n\right)$ | |
| $\mathrm{E}$， | $\mathrm{A}^2$ | $1$ | $1$ | $+1$ | $+1$ |
| $\mathrm{A}$， | $\mathrm{A}^3$ | $\left[3,\hphantom{1}1+\sqrt{34}\right]$ | $3$ | $-1$ | $-1$ |
Hilbert は「整数論報文」（Zahlbericht）において，驚嘆すべき天才的透察力をもって，ノルム剰余の記号\[\left(\frac{n,\ m}{p}\right)\]を創始して，二次体論を整理した．Hilbert は二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ において\[N\left(\alpha\right)\equiv n\hphantom{p}\left(\text{mod}.\ p^k\right)\hspace{1cm}\left(k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots\right)\]なる整数 $\alpha$ があるとき，上記の記号は $+1$ を表わし，その他の場合には，$-1$ を表わすとするのである．法として $p$ の巾をもとるのは，$p=2$ の場合に必要であり，かつ $\left(n,\hphantom{1}p\right)\neq1$ なる場合にも必要であるが，このように最も一般的にノルム剰余を取り扱うことははなはだ煩雑で，しかも問題の中心に触れないところにおいて，形式上の一般化に関してまず混雑が生ずる．
ノルム剰余は $n$ を法 $p$ と素であるもののみに限るときに，最も簡明で，またわれわれの目的のためには $p$ を $d$ の約数である素数 $l$ のみに限っても十分であったのである．その場合には\[\left(\frac{n,\ m}{l_i}\right)=\chi_i\left(n\right)\]であって，有理体における指標で用が弁ずるから，本書では，Hilbert の記号を用いなかった．
二次体論の手引きをするのに，無批判的に Hilbert の記号を襲用するのは得策ではない．それはイデヤル論に対する興味を喚起するゆえんではあるまい．
| $\ ^{\hphantom{*}*}\ $ | 東京帝国大学理学部紀要，$41$ 巻，（$1920$）．$^{**}$ 目今流布本の中では Hecke の書（Theorie der algebraischen Zahlen，$1923$）が類体論に理解をもって書かれているから，二次体における種の理論が簡明である． |
| $\ ^{**}\ $ | ［（この脚注，第 $2$ 版で挿入）本書初版刊行後，著者の代数的整数論（$1947$）が刊行された．それにも類体論の解説がある．］ |