第 $5$ 章 対 称 式$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$置 換
$\S\ 28.$ 終 結 式
$\boldsymbol{1.}$ $f(x)$，$g(x)$ を $m$ 次と $n$ 次との多項式とし，その根を $\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_m$ および $\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_n$ として\begin{alignat*}{1}f(x)&=a_0x^m&&+a_1x^{m-1}&&+\cdots+a_m&&=a_0\overset{m}{\underset{\mu=1}{\textstyle\prod}}(x-\alpha_\mu),\\[2mm]g(x)&=b_0x^n&&+b_1x^{n-1}&&+\cdots+b_n&&=b_0\overset{n}{\underset{\nu=1}{\textstyle\prod}}(x-\beta_\nu),\end{alignat*}\[R=a_0^nb_0^m{\textstyle\prod}(\alpha_\mu-\beta_\nu)\]とおく，$\prod$ において $\mu$ は $1$，$2$，$\cdots$，$m$，また $\nu$ は $1$，$2$，$\cdots$，$n$ の上にわたるので，すなわち因数 $\alpha_n-\beta_\nu$ の数は $mn$ である．上の $f(x)$，$g(x)$ の因数分解によれば，\begin{alignat*}{1}&R=a_0^ng(\alpha_1)g(\alpha_2)\cdots g(\alpha_m)\\[2mm]&\ =(-1)^{mn}b_0^mf(\beta_1)f(\beta_2)\cdots f(\beta_n).\end{alignat*} $R$ は $\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_m$ に関しても，また $\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_n$ に関しても対称で，それを $a_0$，$a_1$，$\cdots$，$a_m$ および $b_0$，$b_1$，$\cdots$，$b_n$ によって表わせば，$a$ に関しては斉次 $n$ 次，$b$ に関して斉次 $m$ 次になる．
$R$ を方程式 $f(x)=0$，$g(x)=0$ または多項式 $f(x)$，$g(x)$ の終結式という．終結式とは $f(x)=0$ と $g(x)=0$ とから $x$ を追い出すときの最後の結果を意味するものである．
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 3}$〕 $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{0}$ は $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}$ と $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}$ とが共通根をもつために必要かつ十分な条件である．
〔注意〕 上の式から見える通り，$f$ と $g$ とを交換すれば $R$ は $(-1)^{mn}R$ になる．すなわち $f$，$g$ がともに奇数次であるときに限って符号を変える．
$\boldsymbol{2.}$ $R$ は $\alpha$ だけに関して，または $\beta$ だけに関しては，斉次でないから，$a$ だけまたは $b$ だけに関しては斉重ではないが，$a$ と $b$ とをいっしょにして重さを取れば，斉重で，その重さは $mn$ である．それを見るには各根 $\alpha$，$\beta$ に任意の係数 $t$ を掛けて見るがよい．そうすれば，$R$ は $t^{mn}$ 倍されるが，一方において $a_h$ は $a_ht^h$ に，また $b_k$ は $b_kt^k$ に変わるから，$R$ の展開における項\[a_0^{p_0}a_1^{p_1}a_2^{p_2}\cdots b_0^{q_0}b_1^{q_1}b_2^{q_2}\cdots\]には，その重さに等しい $p_1+2p_2+\cdots+q_1+2q_2+\cdots$ を指数とする $t$ の冪が掛かる．この指数は各項とも $mn$ に等しくなくてはならない．ゆえに $R$ の各項は係数 $a$，$b$ の双方に関しては $mn$ なる重さをもつ．
〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 $R$ を $a_0$，$a_1$，$\cdots$，$a_m$；$b_0$，$b_1$，$\cdots$，$b_n$ なる文字の多項式と見れば，それは分解不可能である（$a$，$b$ の多項式である二つの因子には分解ができない）．
〔解〕 仮りに分解ができるとして $R=R_1R_2$ とおけば，$R_1$，$R_2$ は $a$ に関しても，また $b$ に関しても斉次であるから，$R_1$ および $R_2$ を $a_0$，$b_0$ と $\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_m$ および $\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_n$ の整式として表わすことができる．$R_1$，$R_2$ を独立変数 $\alpha$，$\beta$ の函数と見るとき，もし $\alpha_1$ に $\beta_1$ を代入すれば $R=0$，したがって $R_1=0$ または $R_2=0$．いま $R_1=0$ とすれば，$R_1$ は $\alpha_1-\beta_1$ という因子をもつ．しかるに $R_1$ は $\alpha$ および $\beta$ に関して対称でなければならないから，$R_1$ は $\alpha_\mu-\beta_\nu$ という $mn$ 個の因子をもたねばならない．ゆえに $R_1$ が $R$ に等しくないとすれば，$R_2$ は $a_0$ または $b_0$ という因子のみを含まねばならない．すなわち $R$ が $a_0$ または $b_0$ という因子を含まねばならない．しかるに $R$ は $a_0{}^nb_n{}^m$，$b_0{}^ma_m{}^n$ という項を含むから，それは不可能である．
〔注意〕 判別式 $D$ が同様の意味において分解不可能であることも，同じように証明される．
〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 一次式 $a_0x+b_1$，$b_0x+b_1$ の終結式は\[a_0b_1-a_1b_0.\]一般に $n$ 次の多項式 $f(x)$ と $b_0x+b_1$ との終結式は\[b_0^nf\left(-\frac{\ b_1\ }{b_0}\right).\] 〔解〕 $g(x)=b_0x+b_1$，$\beta=-b_1/b_0$．
〔問題 $\boldsymbol{3}$〕 二次式\[f(x)=a_0x^2+a_1x+a_2,\hspace{5mm}g(x)=b_0x^2+b_1x+b_2\]の終結式を次の形に書くことができる．\[R=(a_0b_2-a_2b_0)^2-(a_0b_1-a_1b_0)(a_1b_2-a_2b_1).\]
| 〔解〕 | $\begin{alignat*}{1}\vphantom{1^\frac{1}{1}}R&=b_0{}^2(a_0\beta_1{}^2+a_1\beta_1+a_2)(a_0\beta_2{}^2+a_1\beta_2+a_2)\\[2mm]&=a_0{}^2(b_0\beta_1\beta_2)^2+a_0a_1b_0{}^2\beta_1\beta_2(\beta_1+\beta_2)+a_1{}^2b_0{}^2\beta_1\beta_2+a_0a_2b_0{}^2(\beta_1{}^2+\beta_2{}^2)\\[2mm]&\hphantom{=a_0{}^2(b_0\beta_1\beta_2)^2}+a_1a_2b_0{}^2(\beta_1+\beta_2)+a_2{}^2b_0{}^2\\[2mm]&=a_0{}^2b_2{}^2-a_0a_1b_1b_2+a_1{}^2b_0b_2+a_0a_2(b_1{}^2-2b_0b_2)-a_1a_2b_0b_1+a_2{}^2b_0{}^2\\[2mm]&=(a_0b_2-a_2b_0)^2-(a_0b_1-a_1b_0)(a_1b_2-a_2b_1).\end{alignat*}$ |