代 数 学 講 義 改訂新版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 30.$ 置換  $\S\ 32.$ 多項式と置換群 $\blacktriangleright$

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第 $5$ 章 対 称 式$\hspace{0.5mm}$,$\hspace{-0.5mm}$置 換


 $\S\ 31.$ 交 代 式

 $\boldsymbol{1.}$ $n$ 個の変数の多項式が変数にどのような置換を行なっても変わらないときは対称式であるが,その反対に変数の順序を変えるごとに異なる多項式に変わり,全体において $n!$ 個の相異なる形を生ずる場合もある.$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$ において係数 $a_1$,$a_2$,$\cdots$,$a_n$ がみな相異なるときなど,その例である.これらの二つの極端な場合の中間に,一部分対称の性質をもつ多くの場合があり得るが,その中で最も対称式に近い場合として,変数のすべての置換によって二つの相異なる形を生ずる多項式を考察する.
 $f(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots,\ x_n)$ をこのような多項式とすれば,変数の置換が $f$ を変えないものと,$f$ を $f_1$ に変えるものとの二組に分かれるというのが仮定である.
 $f_1$ もやはり同じ $n$ 個の変数 $x_1$,$x_2$,$\cdots$,$x_n$ の多項式であるが,$f_1$ において変数の置換を行なうときに出て来るものは,つまり $f$ から変数の置換によって出て来るものにほかならないから,それは $f$ または $f_1$ である.ゆえに $f$ と $f_1$ とにおいて,同一の置換 $S$ を行なうときには,$f$ も $f_1$ も変わらないか,あるいは $f$ は $f_1$ に変わり,$f_1$ は $f$ に変わるかである($f$ は変わらないで $f_1$ が $f$ に変わり,または $f$ は $f_1$ に変わり,$f_1$ は変わらないということはあり得ない.さもなくば $f$ または $f_1$ から $S$ の逆の置換によって二つの異なる多項式が生ずるであろう).
 ゆえに $f+f_1$ はいかなる置換によっても変わらない,すなわち対称式である.また $f-f_1=F$ とおけば,$F$ はある置換によっては変わらないが,ある置換によっては符号だけを変えて $-F$ になる.そこで,まずこのような多項式 $F$ を求めよう.
 仮定によって $F^2$ はいかなる置換によっても変わらないから対称式である.また $F$ 自身は対称式でないから,ある互換によって変わる.すなわち $-F$ になる.いま $F$ は互換 $(x_1,\ x_2)$ によって $-F$ に変わるとする.すなわち\[F(x_2,\ x_1,\ \cdots,\ x_n)=-F(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n).\]ゆえに $x_1=x_2$ とすれば,\[F(x_2,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)=-F(x_2,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)=0.\] したがって $F(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$ は $(x_1-x_2)$ で割り切れる.いま $F$ はちょうど $(x_1-x_2)^h$ で割り切れるとすれば,$F^2$ は $(x_1-x_2)^{2h}$ で割り切れるが,$F^2$ は対称式であるから,それが $(x_1-x_2)^{2h}$ で割り切れるならば,$\S\ 27$ の多項式 $P$ の $2h$ 乗で割り切れなければならない.したがって $F$ は $P^h$ で割り切れる.よって\[F=P^hF_1\]とおけば,$F$ も $P$ もある置換によって符号だけを変え得るに止まるから,$F_1$ もまた同様である.ゆえに $F_1$ が対称式でないならば,$F_1$ はある互換によって $-F_1$ になる.もししからば,前と同様に $F_1$ は $(x_\lambda-x_\mu)$ のような一次因数をもち,したがって $F_1$ が $P$ で割り切れることになるのであるが,仮定によって $F$ は因数 $x_1-x_2$ を $h$ 乗にだけ含むのであるから,$F_1$ が $P$ で割り切れることは不可能である.ゆえに $F_1$ は対称式でなければならない.しからば上の等式において,指数 $h$ は奇数でなければならない(もし $h$ が偶数ならば $P^h$ は対称式,したがって $F$ も対称式になってしまう).$h$ が奇数ならば,$P^{h-1}$ したがってまた $P^{h-1}F_1$ は対称である.それを $S$ で表わせば\[F=P\hspace{0.7mm}\cdotp S\]すなわち問題の多項式 $F$ は $P$ と対称式との積でなければならない.したがって $F$ は偶の置換によっては変わらず,奇の置換によっては $-F$ に変わるものである.このような多項式を交代式という.
 初めの問題に返って,$f+f_1$ は対称式,$f-f_1$ は $PS$ に等しいから加法によって\[f=S_1+PS_2\]を得る.ただし $S_1$,$S_2$ は対称式を示す.すなわち $f$ は偶の置換では変わらず,奇の置換では $f_1=S_1-PS_2$ に変わるのである.
 この問題で注意すべきことは,ある多項式を変えない置換と,変える置換との区分が任意にはできないことである.上の場合では,$f$ を変えない置換は偶の置換の全部でなければならない.
 $\boldsymbol{2.}$ 有理対称式は対称である多項式の商として表わし得ることの証明は,上の問題を応用すれば簡単である.証明すべきことは次の通りである.
 $f$,$g$ が $x_1$,$x_2$,$\cdots$,$x_n$ の多項式で,公約数をもたず,かつ\[\frac{\hphantom{1}f\hphantom{1}}{g}\]が変数の置換によって変わらないならば,$f$ と $g$ とが別々に対称式である.
 いま仮りに $f$ が対称式でないとすれば,$f$ はある互換,たとえば $(x_1,\ x_2)$ によって変わらねばならない.この互換によって $f$ は $f_1$ に,また $g$ は $g_1$ になるとすれば,仮定によって\[\frac{\hphantom{1}f\hphantom{1}}{g}=\frac{\hphantom{1}f_1\hphantom{1}}{g_1}.\] さて $f$ と $g$ は公約数をもたないと仮定したから,$f_1$,$g_1$ は $f$,$g$ で割り切れる:\[f_1=hf,\hspace{1cm}g_1=hg.\] $f_1$ は変数の置換によって $f$ から生じた多項式であるから,$f$ と同次である.したがって $h$ は定数である.$f_1=hf$ の両辺において再び $x_1$ と $x_2$ とを互換すれば,$f=hf_1$.ゆえに $h^2=1$,$h=-1$.したがって $f_1=-f$,$g_1=-g$.すなわち $f$,$g$ は互換 $(x_1,\ x_2)$ によって符号を変えるから,前の問題の証明中にあるように,$f$,$g$ は $(x_1-x_2)$ で割り切れなければならない.これは $f$,$g$ が公約数をもたないという仮定に矛盾するから,$f$ したがって $g$ は対称式でなければならない.
 〔問題〕 有理式 $f$ から任意の置換によって二つの相異なる有理式だけ($f$ または $f_1$)が生ずるときには,\[f=S_1+PS_2,\hspace{5mm}f_1=S_1-PS_2.\] ただし $S_1$,$S_2$ は対称な有理式である.
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