代 数 学 講 義 改訂新版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 37.$ 四次方程式(根の非調和比)  $\S\ 39.$ 五次以上の方程式の代数的解法の不可能 $\blacktriangleright$

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第 $6$ 章 三次および四次方程式


 $\S\ 38.$ 二元二次方程式

 $\boldsymbol{1.}$ 二つの未知数 $x$,$y$ に関する連立二次方程式\[\left.\begin{alignat*}{1}F&=ax^2\hphantom{^\prime}+2hxy\hphantom{^\prime}+by^2\hphantom{^\prime}+2gx\hphantom{^\prime}+2fy\hphantom{^\prime}+c\hphantom{^\prime}=0\hphantom{1}\\[2mm]G&=a^\prime x^2+2h^\prime xy+b^\prime y^2+2g^\prime x+2f^\prime y+c^\prime=0\hphantom{1}\end{alignat*}\right\}\tag{$\ 1\ $}\]は,一つの未知数を消去することによって,他の一つの未知数のみを含む四次方程式に帰するけれども,消去法を用いないで,幾何学的の考察法によって,直接に四次方程式との平行な解法が得られる.
 $\lambda$ を定数として二次式\begin{alignat*}{1}F+\lambda G=(a&+\lambda a^\prime)x^2+2(h+\lambda h^\prime)xy+(b+\lambda b^\prime)y^2\\[2mm]&+2(g+\lambda g^\prime)x+2(f+\lambda f^\prime)y+(c+\lambda c^\prime)\tag{$\ 2\ $}\end{alignat*}を作れば,これは\[\begin{vmatrix}\ a+\lambda a^\prime&h+\lambda h^\prime&g+\lambda g^\prime\ \\[2mm]\ h+\lambda h^\prime&b+\lambda b^\prime&f+\lambda f^\prime\ \\[2mm]\ g+\lambda g^\prime&f+\lambda f^\prime&c+\lambda c^\prime\ \end{vmatrix}=0\tag{$\ 3\ $}\]であるとき,二つの一次式の積に分解される($\S\ 62$ 参照).
 $(\ 3\ )$ は $\lambda$ に関する三次方程式である.その根を $\lambda_1$,$\lambda_2$,$\lambda_3$ として\[\left.\begin{alignat*}{1}F+\lambda_1G&=L_1\hspace{0.7mm}\cdotp L_2,\\[2mm]F+\lambda_2G&=M_1\hspace{0.7mm}\cdotp M_2\hphantom{1}\end{alignat*}\right\}\tag{$\ 4\ $}\]という分解を行なって,一次式 $L_1$,$L_2$,$M_1$,$M_2$ を求めるならば,$(\ 1\ )$ の解は $F+\lambda_1G=0$,$F+\lambda_2G=0$ から得られるから,問題は次の $4$ 組の一次方程式を解くことに帰する.\[\left.\begin{array}{l}L_1=0\\[2mm]M_1=0\end{array}\ \right\}\hspace{1cm}\left.\begin{array}{l}L_1=0\\[2mm]M_2=0\end{array}\ \right\}\hspace{1cm}\left.\begin{array}{l}L_2=0\\[2mm]M_1=0\end{array}\ \right\}\hspace{1cm}\left.\begin{array}{l}L_2=0\\[2mm]M_2=0\end{array}\ \right\}\tag{$\ 5\ $}\]このようにして $(\ 1\ )$ の四つの根が得られる.
 上の解法を Lagrange の四次方程式の解法($\S\ 35,\ 3$)に比較するときは,その類似が著しい.まず $(\ 3\ )$ は三次分解方程式に該当する.その根を求めた上で $(\ 4\ )$ の分解を行なうのに二つの互いに独立な開平を要すること,あたかも $\S\ 35$ において $u_1$,$u_2$,$u_3$ を求めるのに同じである.この分解を行なってしまえば,あとは有理的計算のみで $(\ 5\ )$ を解いて解が得られるのである.
 上の二元二次方程式の解法は解析幾何学において二つの二次曲線 $F=0$,$G=0$ の交点を求める方法である.
 $F+\lambda G=0$ はこれらの交点を通る一般の二次曲線で,その中に二直線に分解されるものが三つ含まれる.すなわち $\lambda$ が $(\ 3\ )$ の根である $\lambda_1$,$\lambda_2$,$\lambda_3$ に等しいものである.ただし上の方法は交点が存在しない(虚点である)場合にも,もちろんあてはまるばかりでなく,初めから $F$,$G$ の係数を実数に限ったのではない.
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 上記は一般的の場合で,方程式 $(\ 3\ )$ が複根をもたないと仮定したのである.$(\ 3\ )$ が複根をもつのは,幾何学的にいえば,二次曲線が相接する場合で,特に $(\ 3\ )$ が三重根をもつときには,接触が高次である.なお $(\ 5\ )$ に掲げた連立一次方程式が不可能であることがある.幾何学的には,二次曲線の漸近線が平行または合致する場合がそれである.このような特別な場合の詳細は円錐曲線論で取り扱われている.
 四次方程式$a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0$     
を解くことは,連立二元二次方程式\begin{alignat*}{1}&x^2\ =\ y\\[2mm]&a_0y^2+a_1xy+a_2y+a_3x+a_4=0\end{alignat*}から $x$ を求めるのと同じである.この場合 $(\ 3\ )$ は\[\begin{vmatrix}\ \lambda\hphantom{-\lambda}&\dfrac{a_1}{2}\hphantom{1}&\dfrac{a_3}{2}\ \\[2mm]\ \dfrac{a_1}{2}\hphantom{-\lambda}&a_0\hphantom{1}&\dfrac{a_2}{2}-\dfrac{\lambda}{2}\ \\[2mm]\ \dfrac{a_3}{2}\hphantom{-\lambda}&\dfrac{a_2}{2}-\dfrac{\lambda}{2}\hphantom{1}&a_4\ \end{vmatrix}=0\]すなわち\[\lambda^3-2a_2\lambda^2+(-4a_0a_4+a_2{}^2+a_1a_3)\lambda+a_0a_3{}^2+a_1{}^2a_4-a_1a_2a_3=0\]になる.これは $(x_1+x_2)(x_3+x_4)$,$(x_1+x_3)(x_2+x_4)$,$(x_1+x_4)(x_2+x_3)$ を根とする三次分解方程式である.
 〔問題〕 四次方程式 $x^4+px^2+qx+r=0$ の解法は放物線 $x^2=y$ と円 $x^2+y^2+(p-1)y+qx+r=0$ との交わりを求めることに帰する.
 $r=0$ とすれば三次方程式 $x^3+px+q=0$ の解が得られる.
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