代 数 学 講 義　改訂新版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 45.$　行列式の性質　 $\S\ 47.$　連立一次方程式の解$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$Cramer の公式 $\blacktriangleright$

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第 $8$ 章　行　 列　 式


　$\S\ 46.$　余因子$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$小行列式

　$\boldsymbol{1.}$　$n$ 次の行列式 $D$ を前節に述べた一般的記法で表わすことにする．$D$ はその任意の行，たとえば第 $p$ 行，の文字に関して斎次一次式であるから，それを次のようにしるすことができるであろう．\[D=\overset{n}{\underset{\sigma=1}{\textstyle\sum}}a_{p\sigma}A_{p\sigma}.\]　あるいは第 $q$ 列に関しては\[D=\overset{n}{\underset{\sigma=1}{\textstyle\sum}}a_{\sigma q}A_{\sigma q}.\]　$A_{pq}$ は $D$ における $a_{pq}$ の係数である．それを $a_{pq}$ の余因子という．
　$a_{11}$ の余因子 $A_{11}$ は容易に求められる．$D$ の項のうち $a_{11}$ を因子とするものだけの総和は\[{\textstyle\sum}\pm a_{11}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdots a_{n\lambda}\]である．符号 $\pm$ は順列 $1\beta\gamma\cdots\lambda$ の種類によって定められる．すなわちこの順列の中に含まれる番号の順位の反転の数が偶数であるかまたは奇数であるかにしたがって $+$ または $-$ である（$\S\ 30$）．この順位の反転は第一位にある $1$ からは起こらないから，上の和を\[a_{11}{\textstyle\sum}\pm a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdots a_{n\lambda}\]としるせば ${\textstyle\sum}$ は $2$，$3$，$\cdots$，$n$ なる $n-1$ 個の番号の $(n-1)\ !$ 個の順列 $\beta\gamma\cdots\lambda$ の上にわたり，符号 $\pm$ は順列 $\beta\gamma\cdots\lambda$ の中の順位反転の数によって定まるものである．よって\[A_{11}=\begin{vmatrix}\ a_{22}&a_{23}&\cdotp&a_{2n}\ \\[1mm]\ a_{32}&a_{33}&\cdotp&a_{3n}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{n2}&a_{n3}&\cdotp&a_{nn}\ \end{vmatrix}\]で，すなわち $A_{11}$ は $D$ において第 $1$ 行と第 $1$ 列とを除き去った $n-1$ 次の行列式に等しい．
　このようにある行列式からある行と列とを除き去るとき，残りの組成分子をそのまま取って作られる低次の行列式を原行列式の小行列式という．
　一般に $a_{pq}$ の余因子を求めるために，$D$ の行および列の順序を変えて，$D$ の第 $p$ 行を第 $1$ 行におき，次に第 $q$ 列を第 $1$ 列においてその他の行および列は自然の順序のままにしておくならば，このようにして生ずる行列式を $D^\prime$ とするとき，
\[D^\prime=\begin{vmatrix}a_{pq}&a_{p1}&a_{p2}&\cdotp&*&\cdotp&a_{pn}\\[1mm]a_{1q}&a_{11}&a_{12}&\cdotp&*&\cdotp&a_{1n}\\[1mm]a_{2q}&a_{21}&a_{22}&\cdotp&*&\cdotp&a_{2n}\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&*&\cdotp&\cdotp\\[1mm]*&*&*&*&*&*&*\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&*&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_{nq}&a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&*&\cdotp&a_{nn}\end{vmatrix}\]
$*\ *\ *$ は第 $p$ 行と第 $q$ 列との文字が原位置にないことの心覚えにしるしておいたのである．
　しからば\[D^\prime=\pm D.\tag{$\ 1\ $}\]　さて $D^\prime$ においては $a_{pq}$ が第 $1$ 行，第 $1$ 列の位置にあるから，$D^\prime$ における $a_{pq}$ の余因子は $D^\prime$ の第 $1$ 行と第 $1$ 列とを取り去った跡の小行列式に等しい．この小行列式は $D$ において第 $p$ 行と第 $q$ 列とを取り去った跡の小行列式にほかならない．この小行列式は $D^\prime$ における $a_{pq}$ の係数であるから，$D$ における $a_{pq}$ の余因子はこの小行列式に $(\ 1\ )$ における符号 $\pm$ をつけたものに等しい．
　さて $(\ 1\ )$ における符号 $\pm$ は定理 $8.\ 6$ によって行および列の順列\[\begin{array}{c}(p\style{font-family:serif}{\text{なし}})\\[2mm]p,\ 1,\ 2,\ \cdots*\cdots n\end{array}\hspace{2cm}\begin{array}{c}(q\style{font-family:serif}{\text{なし}})\\[2mm]q,\ 1,\ 2,\ \cdots*\cdots n\end{array}\]における順位反転の総数が偶数であるか，奇数であるかによって $+$ または $-$ である．行の順列における順位の反転は $p$ とそれよりも小さい $1$，$2$，$\cdots$，$p-1$ との間だけにあり，列の順列では $q$ と $1$，$2$，$\cdots$，$q-1$ との間だけにある．その総数は $(p-1)+(q-1)$ であるから，$(\ 1\ )$ における $\pm$ に $(-1)^{p-1+q-1}$ すなわち\[(-1)^{p+q}\]に等しい．
　よって次の定理を得る．
 〔定理 $\boldsymbol{8.\ 8}$〕 行列式 $D$ における $a_{pq}$ の余因子を $A_{pq}$ とすれば，$A_{pq}$ は $D$ から第 $p$ 行と第 $q$ 列とを取り去った跡に残る小行列式に $(-1)^{p+q}$ を掛けたものである．
\[A_{pq}=(-1)^{p+q}\begin{vmatrix}a_{11}&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&a_{1n}\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]&&&&&\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_{n1}&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&a_{nn}\end{vmatrix}\]
第 $p$ 行と第 $q$ 列とを消してしまうことを心覚えにしるしておいた．符号 $(-1)^{p+q}$ が大切である．
　$\boldsymbol{2.}$　いま $D$ の第 $p$ 行の各文字に他の行，たとえば第 $p^\prime$ 行の同位の文字の余因子を掛けて\[\overset{n}{\underset{\sigma=1}{\textstyle\sum}}a_{p\sigma}A_{p^\prime\sigma}\]のような和を作ったとすればどうか．それは明らかに $D$ の第 $p^\prime$ 行を第 $p$ 行でおき換えた行列式の展開である．この行列式は第 $p$ 行と第 $p^\prime$ 行とが一致するから $0$ に等しい．ゆえに\[\overset{n}{\underset{\sigma=1}{\textstyle\sum}}a_{p\sigma}A_{p^\prime\sigma}=0\hspace{2cm}(p\neq p^\prime)\]同様に，列に関しても\[\overset{n}{\underset{\sigma=1}{\textstyle\sum}}a_{\sigma q}A_{\sigma q^\prime}=0\hspace{2cm}(q\neq q^\prime)\]$D$ の小行列式の間にはこのような関係が成り立つのである．
　定理 $8.\ 8$ を用いれば，行列式の値の計算が低次の行列式の計算に帰する．特別な場合には，定理 $8.\ 1\sim8.\ 7$ を併用して計算の手数を節約することもできる．
 〔例〕　　$\hphantom{=}\begin{vmatrix}\hphantom{1-}9&\hphantom{1}17&\hphantom{1}13&\hphantom{11}4\hphantom{-}\\[1mm]\hphantom{-}18&\hphantom{1}33&\hphantom{1}28&\hphantom{11}8\hphantom{-}\\[1mm]\hphantom{-}30&\hphantom{1}54&\hphantom{1}40&\hphantom{1}13\hphantom{-}\\[1mm]\hphantom{-}24&\hphantom{1}46&\hphantom{1}37&\hphantom{1}11\hphantom{-}\end{vmatrix}\hspace{5mm}$行列式の第 $4$ 列に $2$，$4$，$3$ を掛けて第 $1$，
$2$，$3$ 列から引く（定理 $8.\ 4$）．
$=\begin{vmatrix}\hphantom{-}1&\hphantom{-}1&\hphantom{-}1&\hphantom{-}4\hphantom{-}\\[1mm]\hphantom{-}2&\hphantom{-}1&\hphantom{-}4&\hphantom{-}8\hphantom{-}\\[1mm]\hphantom{-}4&\hphantom{-}2&\hphantom{-}1&13\\[1mm]\hphantom{-}2&\hphantom{-}2&\hphantom{-}4&11\end{vmatrix}$第 $2$ 列を第 $1$ 列，第 $3$ 列から引き，第 $2$
列に $4$ を掛けて第 $4$ 列から引く．
$=\begin{vmatrix}\hphantom{-}0&\hphantom{-}1&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\hphantom{-}\\[1mm]\hphantom{-}1&\hphantom{-}1&\hphantom{-}3&\hphantom{-}4\hphantom{-}\\[1mm]\hphantom{-}2&\hphantom{-}2&-1&\hphantom{-}5\hphantom{-}\\[1mm]\hphantom{-}0&\hphantom{-}2&\hphantom{-}2&\hphantom{-}3\hphantom{-}\end{vmatrix}$第 $1$ 行に関して展開する．符号 $-$ に注
意．
$=-\begin{vmatrix}\hphantom{-}1&\hphantom{-}3&\hphantom{-}4\hphantom{-}\\[1mm]\hphantom{-}2&-1&\hphantom{-}5\hphantom{-}\\[1mm]\hphantom{-}0&\hphantom{-}2&\hphantom{-}3\hphantom{-}\end{vmatrix}$第 $1$ 行に $2$ を掛けて第 $2$ 行から引く．
$=-\begin{vmatrix}\hphantom{-}1&\hphantom{-}3&\hphantom{-}4\hphantom{-}\\[1mm]\hphantom{-}0&-7&-3\hphantom{-}\\[1mm]\hphantom{-}0&\hphantom{-}2&\hphantom{-}3\hphantom{-}\end{vmatrix}$第 $1$ 行に関して展開する．
$=-\begin{vmatrix}\ -7&-3\hphantom{1}\\[1mm]\hphantom{-1}2&\hphantom{-}3\hphantom{1}\end{vmatrix}=-(-21+6)=15.$

 〔問題 $\boldsymbol{1}$〕　$\begin{vmatrix}1&1&\cdotp&\cdotp&1\\[2mm]x_1&x_2&\cdotp&\cdotp&x_n\\[2mm]x_1{}^2&x_2{}^2&\cdotp&\cdotp&x_n{}^2\\[2mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[2mm]x_1{}^{n-1}&x_2{}^{n-1}&\cdotp&\cdotp&x_n{}^{n-1}\end{vmatrix}$$\begin{alignat*}{1}=(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{n(n-1)}{2}}(x_1-x_2)&(x_1-x_3)\\[2mm]\cdots&(x_{n-1}-x_n).\end{alignat*}$
　これを Vandermonde の行列式という．
 〔解〕 $x_p$，$x_q$ を互換すれば，行列式は符号だけを変えるから，$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ の交代式である．ゆえに $(x_1-x_2)\cdots(x_{n-1}-x_n)\times C$ に等しい．次数を比較すれば $C$ は定数，したがって $x_1{}^{n-1}x_2{}^{n-2}\cdots x_{n-1}$ の係数を比較すれば，$C=(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{n(n-1)}{2}}$．
 〔問題 $\boldsymbol{2}$〕　$\begin{vmatrix}1&1&\cdotp&\cdotp&1\\[2mm]x_1&x_2&\cdotp&\cdotp&x_n\\[2mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[2mm]x_1{}^{k-1}&x_2{}^{k-1}&\cdotp&\cdotp&x_n{}^{k-1}\\[2mm]x_1{}^{k+1}&x_2{}^{k+1}&\cdotp&\cdotp&x_n{}^{k+1}\\[2mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[2mm]x_1{}^n&x_2{}^n&\cdotp&\cdotp&x_n{}^n\end{vmatrix}$$=P\times\sum x_1x_2\cdots x_{n-k}.$


　$P$ は問題 $1$ の行列式，$\sum$ は対称式
　である．
 〔解〕 上の行列式を $\varDelta_k$ としるせば，
$\hphantom{1}\begin{vmatrix}1&1&1&\cdotp&\cdotp&1\\[2mm]x&x_1&x_2&\cdotp&\cdotp&x^n\\[2mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[2mm]x^k&x_1{}^k&x_2{}^k&\cdotp&\cdotp&x_n{}^k\\[2mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[2mm]x^n&x_1{}^n&x_2{}^n&\cdotp&\cdotp&x_n{}^n\end{vmatrix}$$=\varDelta_0-x\varDelta_1+x^2\varDelta_2+\cdots+(-1)^kx^k\varDelta_k+\cdots+(-1)^nx^n\varDelta_n$
$\hphantom{=}=(-1)^nP\times(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n).$

$\hphantom{==}x^k$ の係数を比較して $\varDelta_k$ を得る．
　

 〔問題 $\boldsymbol{3}$〕 $\begin{vmatrix}x_1{}^\alpha&x_2{}^\alpha&\cdotp&x_n{}^\alpha\\[2mm]x_1{}^\beta&x_2{}^\beta&\cdotp&x_n{}^\beta\\[2mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[2mm]x_1{}^\lambda&x_2{}^\lambda&\cdotp&x_n{}^\lambda\end{vmatrix}=P\times\begin{vmatrix}H_\alpha&H_{\alpha-1}&\cdotp&H_{\alpha-n+1}\\[2mm]H_\beta&H_{\beta-1}&\cdotp&H_{\beta-n+1}\\[2mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[2mm]H_\lambda&H_{\lambda-1}&\cdotp&H_{\lambda-n+1}\end{vmatrix}.$
ただし $H_k$ は $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ に関する $k$ 式の斎次積の和を表わす．ただし $H_0=1$，$H_{-1}=H_{-2}=\cdots=0$ とする．特に $\alpha=0$，$\beta=1$，$\cdots$，$\kappa=n-2$，$\lambda=n-1+k$（行列式 $P$ において最後の行だけの指数を $k$ だけ増す）ならば，$P\times H_k$ に等しい．
 〔解〕 $$$=\dfrac{(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{n(n-1)}{2}}P(t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n)P(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)}{\underset{p,\ q}{\prod}(t_p-x_q)}$
を用いる．行列式に $\prod(t_p-x_q)$ を掛けて分母を払えば $P(t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n)\times P(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)\times C$ を得る，$C$ は定数である．$t_1=x_1$，$t_2=x_2$，$\cdots$，$t_n=x_n$ とおけば $f^\prime(x_1)f^\prime(x_2)\cdots f^\prime(x_n)=(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{n(n-1)}{2}}P(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)^2$ から $C=(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{n(n-1)}{2}}$ を得る．ただし $f(t)=(t-x_1)\times(t-x_2)\cdots(t-x_n)$．さて\[\frac{1}{t-x}=\frac{1}{t}+\frac{x}{t^2}+\frac{x^2}{t^3}+\cdots\]を用いて，行列式を展開すれば $1/t_1{}^{\alpha+1}t_2{}^{\beta+1}\cdots t_n{}^{\lambda+1}$ の係数はすなわち問題の行列式である．また右辺では，$P(t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n)$ の行と列とを転置して，第 $1$，$2$，$\cdots$ 行を $\underset{q}{\prod}(t_1-x_q)$，$\underset{q}{\prod}(t_2-x_q)$，で割ってから，\[\frac{1}{(t-x_1)(t-x_2)\cdots(t-x_n)}=\frac{1}{t^n}+\frac{H_1}{t^{n+1}}+\frac{H_2}{t^{n+2}}+\cdots\]を用いて\[(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{n(n-1)}{2}}P(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)\begin{vmatrix}\dfrac{1}{t_1{}^n}+\dfrac{H_1}{t_1{}^{n+1}}+\cdots,&\dfrac{1}{t_1{}^{n-1}}+\dfrac{H_1}{t_1{}^n}+\cdots,&\cdotp\ \cdotp\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{H_1}{t_1{}^2}+\cdots\\[1mm]\cdotp\ \cdotp&\cdotp\ \cdotp&\cdotp\ \cdotp\ \hphantom{\dfrac{1}{t_1}+}\cdotp\ \cdotp\ \hphantom{+H\cdots}\end{vmatrix}\]これから $1/t_1{}^{\alpha+1}t_2{}^{\beta+1}\cdots t_n{}^{\lambda+1}$ の係数を求めて問題の等式の右辺を得る．
 〔問題 $\boldsymbol{4}$〕 $\begin{vmatrix}x_0&x_1&x_2&\cdotp&x_{n-1}\\[2mm]x_{n-1}&x_0&x_1&\cdotp&x_{n-2}\\[2mm]x_{n-2}&x_{n-1}&x_0&\cdotp&x_{n-3}\\[2mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[2mm]x_1&x_2&x_3&\cdotp&x_0\end{vmatrix}$$=\prod(x_0+\omega x_1+\omega^2x_2+\cdots+\omega^{n-1}x_{n-1}).$
右辺の $\prod$ は $1$ の $n$ 乗根 $\omega$（$\omega=1$ をも入れて）に関する積を示す．
　これを循環行列式という．
 〔解〕 第 $2$，$3$，$\cdots$，$n$ 列に $\omega$，$\omega^2$，$\cdots$，$\omega^{n-1}$ を掛けて第 $1$ 列に加える．
 〔注意〕 $n=3$ のとき，左辺を展開すれば，\[x_0{}^3+x_1{}^3+x_2{}^3-3x_0x_1x_2=(x_0+x_1+x_2)(x_0+\omega x_1+\omega^2x_2)(x_0+\omega^2x_1+\omega x_2).\]
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