代 数 学 講 義　改訂新版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 48.$　行列の位　 $\S\ 50.$　連立一次方程式の解$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$一般の場合 $\blacktriangleright$

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第 $8$ 章　行　 列　 式


　$\S\ 49.$　連立一次方程式の解$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$斉次の場合

　$\boldsymbol{1.}$　$n$ 個の未知数 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ を含む $m$ 個の斎次一次方程式\begin{alignat*}{1}f_p&=a_{p1}x_1+a_{p2}x_2+\cdots+a_{pn}x_n=0\tag{$\ 1\ $}\\[2mm]&\hphantom{=a_p}(p=1,\ 2,\ \cdots,\ m)\end{alignat*}が与えられたとき，そのすべての解を求めること．この問題を解決する鍵は係数の行列
$\hphantom{m}A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdotp&a_{1n}\\[1mm]a_{21}&a_{22}&\cdotp&a_{2n}\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_{m1}&a_{m2}&\cdotp&a_{mn}\end{pmatrix}$　の位である．いまその位を $r$ とする．方程式の番号または未知数の番号を変更してもさしつかえないから，
$\hphantom{m}A_r=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdotp&a_{1r}\\[1mm]a_{21}&a_{22}&\cdotp&a_{2r}\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_{r1}&a_{r2}&\cdotp&a_{rr}\end{vmatrix}\neq0$　とする．しからば行列 $A$ の第 $r+1$ 以下の行は初めの $r$ 行の一次的結合である（定理 $8.\ 11$）から，$\rho\gt r$ とすれば\[f_\rho=c_1f_1+c_2f_2+\cdots+c_rf_r\]
のような恒等式が成り立つ．したがって $f_1=0$，$f_2=0$，$\cdots$，$f_r=0$ であるときには，当然 $f_{r+1}=0$，$\cdots$，$f_m=0$ になる．ゆえに $(\ 1\ )$ の解は $r$ 個の方程式\[\left.\begin{alignat*}{1}&f_p=a_{p1}x_1+\cdots+a_{pr}x_r+(a_{p,\ r+1}x_{r+1}+\cdots+a_{p,\ n}x_n)=0\hphantom{1}\\[2mm]&\hphantom{f_p=a_{p1}x_1+\cdots+a_p}(p=1,\ 2,\ \cdots,\ r)\end{alignat*}\right\}\tag{$\ 2\ $}\]から求められるのである．$A_r\neq0$ であるから，$(\ 2\ )$ の解は\[x_k=-\frac{A_k}{A_r}\hspace{1cm}(k=1,\ 2,\ \cdots,\ r)\]によって与えられる．ここで $\S\ 47$，$(\ 5\ )$ の既知項に相当するものは\[a_{p,\ r+1}x_{r+1}+\cdots+a_{p,\ n}x_n\tag{$\ 4\ $}\]で，$A_k$ は $A_r$ においてその第 $k$ 列を $(\ 4\ )$ の数でおき換えた $r$ 次の行列式である．ゆえに $(\ 3\ )$ が次のようにしるされる．\[x_k=-\frac{A_{k,\ r+1}}{A_r}x_{r+1}-\frac{A_{k,\ r+2}}{A_r}x_{r+2}-\cdots-\frac{A_{k,\ n}}{A_r}x_n,\tag{$3^{\large*}$}\]\[(k=1,\ 2,\ \cdots,\ r)\]ただし $A_{k,\ \sigma}$ は $A_r$ における第 $k$ 列を $a_{1,\ \sigma}a_{2,\ \sigma}\cdots$，$a_{r,\ \sigma}$ でおき換えた行列式である（余因子ではない）．すなわち
\[A_{k,\ \sigma}=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdotp&a_{1\sigma}&\cdotp&a_{1r}\\[1mm]a_{21}&\cdotp&a_{2\sigma}&\cdotp&a_{2r}\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]a_{r\sigma}&\cdotp&a_{r\sigma}&\cdotp&a_{rr}\end{vmatrix}\]
　$\S\ 47$ で述べたように，$(\ 2\ )$ が成り立つときには $(\ 3^{\large*}\ )$ が成り立ち，逆に $(\ 3^{\large*}\ )$ が成り立つときには $(\ 2\ )$ が成り立つのであるから，$(\ 2\ )$ したがって $(\ 1\ )$ の解は $(\ 3^{\large*}\ )$ によって与えられるのである．すなわち $x_{r+1}$，$\cdots$，$x_n$ には任意の値を与えて $(\ 3^{\large*}\ )$ によって $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_r$ を求めるならば，$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ のそれらの値は $(\ 1\ )$ を満足させ，また逆に $(\ 1\ )$ を満足させる $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ の値は，すべてこのようにして得られるのである．
　$\boldsymbol{2.}$　斉次一次方程式 $(\ 1\ )$ の一つの解を\[x_1=x_1{}^{(1)},\ x_2=x_2{}^{(1)},\ \cdots,\ x_n=x_n{}^{(1)}\tag{$\ 5\ $}\]とすれば，$\lambda$ を任意の乗数として\[x_1=\lambda x_1{}^{(1)},\ x_2=\lambda x_2{}^{(1)},\ \cdots,\ x_n=\lambda x_n{}^{(1)}\]なる解が得られる．これは斉次一次式の性質によって明白である（$\S\ 43$，$3^\circ$）．
　また $(\ 1\ )$ が\[x_1=x_1{}^{(2)},\ x_2=x_2{}^{(2)},\ \cdots,\ x_n=x_n{}^{(2)}\tag{$\ 6\ $}\]なる第二の解をもつならば，$(\ 5\ )$，$(\ 6\ )$ なる二つの解の一次的結合である\[x_1=\lambda x_1{}^{(1)}+\mu x_1{}^{(2)},\ x_2=\lambda x_2{}^{(1)}+\mu x_2{}^{(2)},\ \cdots,\ x_n=\lambda x_n{}^{(1)}+\mu x_n{}^{(2)}\]もまた $(\ 1\ )$ の解である（$\S\ 43$，$4^\circ$）．
　一般に，$(\ 1\ )$ の $h$ 組の解\[x_1=x_1{}^{(\nu)},\ x_2=x_2{}^{(\nu)},\ \cdots,\ x_n=x_n{}^{(\nu)}\hspace{1cm}(\nu=1,\ 2,\ \cdots,\ h)\]が得られたとすれば，任意の乗数を以て作られるそれらの解の一次的結合である．\[x_1=\overset{h}{\underset{\nu=1}{\textstyle\sum}}\lambda^{(\nu)}x_1{}^{(\nu)},\ x_2=\overset{h}{\underset{\nu=1}{\textstyle\sum}}\lambda^{(\nu)}x_2{}^{(\nu)},\ \cdots,\ x_n=\overset{h}{\underset{\nu=1}{\textstyle\sum}}\lambda^{(\nu)}x_n{}^{(\nu)}\]はまた $(\ 1\ )$ の解である．
　よって $(\ 1\ )$ の解が幾組か得られたときに，それらの解のうちどれもが他の解の一次的結合に等しくないときに限って，それらを互いに独立なる解と名づける．しからば $(\ 1\ )$ のすべての解を求めることは，すべての互いに独立な解を求めることに帰する．
　$h$ 組の解が互いに独立な解であるというのは，それらの解が作る行列\[\begin{pmatrix}x_1{}^{(1)}&x_2{}^{(1)}&\cdotp&\cdotp&x_n{}^{(1)}\\[1mm]x_1{}^{(2)}&x_2{}^{(2)}&\cdotp&\cdotp&x_n{}^{(2)}\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]x_1{}^{(h)}&x_2{}^{(h)}&\cdotp&\cdotp&x_n{}^{(h)}\end{pmatrix}\tag{$\ 7\ $}\]の位が $h$ に等しいことにほかならない（定理 $8.\ 11$）．
　しかるに $(\ 3^{\large*}\ )$ によれば，これらの解における $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_r$ の値は $x_{r+1}$，$\cdots$，$x_n$ の値にそれぞれ一定の乗数を掛けた積の和に等しい．すなわち行列 $(\ 7\ )$ において，第 $1$ ないし $r$ 列はその他の $n-r$ 列の一次的結合である．ゆえに $(\ 7\ )$ の位を見るには，その最初の $r$ 列を取り去ってよいから，終りの $n-r$ 列から決定される．したがって $(\ 7\ )$ の位は $n-r$ より大きくはあり得ない．互いに独立な解は多くとも $n-r$ 組である．
　さて互いに独立な解が実際 $n-r$ 組あることは見やすい．たとえば $x_{r+1}$，$\cdots$，$x_n$ に次のような $n-r$ 組の値を与える．\[\begin{array}{c}\hphantom{m}x_{r+1}\hphantom{m}&x_{r+2}&\hphantom{m}x_{r+3}\hphantom{m}&\cdotp&\hphantom{m}x_n\hphantom{m}\\[2mm]\hline1&0&0&\cdotp&0\\[2mm]0&1&0&\cdotp&0\\[2mm]0&0&1&\cdotp&0\\[2mm]0&0&0&\cdotp&1\end{array}\]　これらの値に対応する $n-r$ 組の解は互いに独立である．念のためにそれらの解をしるせば次の通り
　（$A_{1,\ r+1}\cdots$，$A_{r,\ n}$ は $239$ 頁に示してある．余因子ではない）
$\hphantom{-}\ x_1,$$\ x_2,\hphantom{m}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}x_r,\hphantom{mm}$$x_{r+1},\ $$x_{r+2},\hphantom{m}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}$$x_n$
$1)$$-\dfrac{A_{1,\ r+1}}{A_r},\hphantom{1}$$-\dfrac{\vphantom{\frac{1}{1}}A_{2,\ r+1}}{A_r},\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\ -\dfrac{A_{r,\ r+1}}{A_r}$$,\hphantom{1}1,\ \ $$\hphantom{1}0,\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}$$0$
$2)$$-\dfrac{\vphantom{\frac{1}{1}}A_{1,\ r+2}}{A_r},\hphantom{1}$$-\dfrac{A_{2,\ r+2}}{A_r},\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\ -\dfrac{A_{r,\ r+2}}{A_r}$$,\hphantom{1}0,\ \ $$\hphantom{1}1,\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}$$0$
$\ \cdotp$$\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp$
$n-r)\hspace{5mm}$$-\dfrac{\vphantom{\frac{1}{1}}A_{1,\ n}}{A_r},\hphantom{1}$$-\dfrac{A_{2,\ n}}{A_r},\ \hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\ \ -\dfrac{A_{r,\ n}}{A_r}$$,\hphantom{1}0,\ \ $$\hphantom{1}0,\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}\cdotp\hphantom{1}$$1$
これらは互いに独立な $n-r$ 組の解の一例にすぎない．
　一般に $x_{r+1}$，$\cdots$，$x_n$ に $n-r$ 組の値を与えて，それらの値からの $n-r$ 次の行列式が $0$ に等しくないようにするならば，それらの値を $(\ 3^{\large*}\ )$ に代入して $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_r$ の値を求めるとき，互いに独立な $n-r$ 組の解が得られる．しからば，すべての解はこれらの互いに独立な解の一次的結合として得られるのである．
　以上を要約して次の定理とする．
 〔定理 $\boldsymbol{8.\ 13}$〕 $\boldsymbol{n}$ 個の未知数を含める斉次一次方程式の係数の行列の位が $\boldsymbol{r}$ ならば$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$未知数のうち$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$$\boldsymbol{n}-\boldsymbol{r}$ を適当に選んで$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$それらに任意の値を与えて他の未知数の値を求めることを得る．互いに独立な解が $\boldsymbol{n}-\boldsymbol{r}$ 組あって$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$すべての解はそれらの一次的結合として得られる．
　$r=n$ である場合には，解は $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$ に限る．
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