第 $8$ 章 行 列 式
$\S\ 57.$ 行 列 の Kronecker 積
$m$ 個の独立変数 $x_i$ の $m$ 個の一次式\[X_i=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{im}x_m\hspace{1cm}(i=1,\ 2,\ \cdots,\ m)\]と，$n$ 個の独立変数 $y$ の $n$ 個の一次式\[Y_j=b_{j1}y_1+b_{j2}y_2+\cdots+b_{jn}y_n\hspace{1cm}(j=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\]とから，$mn$ 個の積\[X_iY_j=\underset{p,\ q}{\textstyle\sum}a_{ip}b_{jq}x_py_q\hspace{1cm}(p=1,\ 2,\ \cdots,\ m,\hphantom{m}q=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\]を作れば，それらは $mn$ 個の $x_py_p$ の一次的結合である．その $m^2n^2$ 個の係数 $a_{ip}b_{jq}$ の行列を $a_{ip}$ の行列と $b_{jq}$ の行列との Kronecker 積という．〔定理 $\boldsymbol{8.\ 24}$〕 行列 $A$，$B$ の Kronecker 積を $A\times B$ と書けば，それらの行列の行列式の間に次の関係がある．\[|\ \!A\times B\ \!|=|\ \!A\ \!|^n|\ \!B\ \!|^m.\]ただし $m$，$n$ は正方行列 $A$，$B$ の次数である．
〔証〕 一定の $j$ に対する $m$ 個の積 $X_1Y_j$，$X_2Y_j$，$\cdots$，$X_mY_j$ の係数は行列 $A\times B$ の $m$ 個の行を成す．それらを一組として，行列式 $A\times B$ の行を，$j=1$，$2$，$\cdots$，$n$ に対する $n$ 組に分けて Laplace の展開を行なえば，$|\ \!A\times B\ \!|$ が因数 $|\ \!A\ \!|^n$ をもつことがわかる．同様に $|\ \!A\times B\ \!|$ は因数 $|\ \!B\ \!|^m$ をもつから，$|\ \!A\times B\ \!|$ は $|\ \!A\ \!|^n|\ \!B\ \!|^m$ で割り切れる．よって次数を比較して\[A\times B=c|\ \!A\ \!|^n|\ \!B\ \!|^m.\]$c$ を定めるために，$A$，$B$ を単位行列とすれば，$X_iY_j=x_iy_j$ で $A\times B$ は単位行列になる．ゆえに $c=1$（証終）．
上の定理は次の一般的の定理からも導くことができる．
〔定理 $\boldsymbol{8.\ 25}$〕 $\varphi(A)$ は正方行列 $A$ の組成分子の多項式で，任意の同次数の行列 $B$ に関して $\varphi(AB)$ が $\varphi(A)$ で割り切れるならば，$\varphi(A)=\varphi(E)\hspace{0.7mm}\cdotp|\ \!A\ \!|^\nu$．ただし $E$ は単位行列，$\nu$ は自然数である（Hurwitz）．
〔証〕 $\varphi(AB)=\varphi(A)\hspace{0.7mm}\cdotp Q$ とすれば，$A$ の組成分子に関する次数を考えて，$Q$ が $B$ の組成分子だけの多項式であることがわかる．それを $\psi(B)$ と書けば\[\varphi(AB)=\varphi(A)\psi(B).\]さて，$A$，$B$ を対角線行列 $\hspace{-0.4em}\pmb{〔}s\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$，$\hspace{-0.4em}\pmb{〔}t\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ とすれば，$AB$ は対角線行列 $\hspace{-0.4em}\pmb{〔}st\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ で\[\varphi(st)=\varphi(s)\psi(t).\]$\varphi(s)$ は $s$ の多項式であるから$\large*$ $^{\large*}\ $精密にいえば，$\varphi\hspace{-0.4em}\pmb{〔}s\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ は $\varphi(\hspace{-0.4em}\pmb{〔}s\pmb{〕}\hspace{-0.4em})$ と書くべきである．ここでは，それが $s$ の多項式であることだけを論拠とする．，これから\[\varphi(s)=ks^\mu\]を得る．$k$ は定数，$\mu$ は自然数である．
いま $\boldsymbol{A}$ を $A$ の逆行列式，$|\ \!A\ \!|=d$ とすれば，$A\boldsymbol{A}$ は対角線行列 $\hspace{-0.4em}\pmb{〔}d\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ で\[\varphi(A\boldsymbol{A})=\varphi(d)=kd^\mu=\varphi(A)\psi(\boldsymbol{A})\] ゆえに $kd^\mu$ は $\varphi(A)$ で割り切れる．$d$ は分解不可能だから\[\varphi(A)=c|\ \!A\ \!|^\nu\]$c$ は定数である．$A=E$ とおいて $c=\varphi(E)$（証終）．
定理 $8.\ 24$ に関しては，略記法で\[X=A(x),\hphantom{1}Y=B(y),\hphantom{1}XY=A\times B(xy)\]と書き，また定理 $8.\ 25$ の $B$ の代わりに $P$ を取って $x=Px^\prime$，したがって $X=APx^\prime$ とすれば，\[XY=AP\times B(x^\prime y)\]で，$X_iY_j$ は $x_iy_j$ の一次的結合，$x_iy_j$ は $x_i{}^\prime y_j$ の一次的結合だから $\varphi(A)=|\ \!A\times B\ \!|$ とおけば，$\varphi(AP)=|\ \!AP\times B\ \!|$ で $\varphi(AP)$ は $\varphi(A)$ で割り切れる$\large**$．ゆえに定理 $8.\ 25$ によって\[\varphi(A)=\varphi(E)A^n.\]であるが，$\varphi(E)=|\ \!E\times B\ \!|=|\ \!B\ \!|^m$．すなわち $|\ \!A\times B\ \!|=|\ \!A\ \!|^n|\ \!B\ \!|^m$．
〔注意〕 $275$ 頁に述べた誘導行列 $A^{(m)}$ に関して\[AB=C\style{font-family:serif}{\text{ ならば }}A^{(m)}B^{(m)}=C^{(m)}\]なることは，Laplace の定理から容易に導かれる．ゆえに $\varphi(A)=|\ \!A^{(m)}|$ とおけば，$\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)$．したがって定理 $8.\ 25$ から $\varphi(A)=|\ \!A\ \!|^e$ すなわち $|\ \!A^{(m)}\ \!|=|\ \!A\ \!|^e$ を得る（定理 $8.\ 21$）．
| $^{\large**}\ $ $xy=C(x^\prime y)$ とすれば， $AP\times B=(A\times B)C$．$xy$ を $x_1y_1,\ x_2y_1,{\small\cdots}$；$x_1y_2,\ x_2y_2,{\small\cdots}$； ${\small\cdots}$ の順に，また $x^\prime y$ を $x_1{}^\prime y_1$， $x_2{}^\prime y_1,{\small\cdots}$；$x_1{}^\prime y_2,\ x_2{}^\prime y_2,{\small\cdots}$；${\small\cdots}$ の列に取れば，行列 $C$ は |
| の形である．すなわち行列 $P$ を図のように並べて書 き，その他の空所には $0$ を おくのである． |