代 数 学 講 義 改訂新版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 57.$ 行列の Kronecker 積  $\S\ 59.$ 二重一次形式の位と標準形式 $\blacktriangleright$

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第 $9$ 章 二 次 形 式


 $\S\ 58.$ 二 重 一 次 形 式

 $\boldsymbol{1.}$ 本章では行列論の重要な応用として二次形式論を述べるが,初めの二,三の定理はやや一般的に二重一次形式に関して説明する.
 二組以上の変数の斉次式(代数形式,form)が各組の変数に関して一次であるときに,それを複一次形式という.変数が二組であるときには,特に二重一次形式(bilinear form)という.三重一次形式(trilinear form)などもこれに準ずる.
 二組の変数を\begin{alignat*}{1}&(x):\hspace{5mm}x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_m\\[2mm]&(y):\hspace{5mm}y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_n\end{alignat*}とすれば,それらの変数に関する二重一次形式の一般の形は次のようになる:\[A(x,\ y)={\textstyle\sum}\ a_{\mu\nu}x_\mu y_\nu.\hspace{1cm}\left(\begin{array}{l}\mu=1,\ 2,\ \cdots,\ m\\\nu=1,\ 2,\ \cdots,\ n\end{array}\right)\]係数 $a_{\mu\nu}$ を組成分子とする $m$ 行 $n$ 列の行列 $A$ をこの二重一次形式の行列と略称する.\[A=\begin{pmatrix}\ a_{11\ }&a_{12\ }&\cdotp&a_{1n\ }\ \\[1mm]\ a_{21\ }&a_{22\ }&\cdotp&a_{2n\ }\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{m1}&a_{m2}&\cdotp&a_{mn}\ \end{pmatrix}\] 係数の行列と同一の文字 $A$ を函数記号としても用いて,変数は代表的に $x$,$y$ で表わしたのである.

 第一に説明すべきことは,二重一次形式 $A(x,\ y)$ の一次変形である.$A(x,\ y)$ において変数 $(x)$,$(y)$ に次の一次変形を行なう.\begin{alignat*}{1}&x_1=p_{11}x_1{}^\prime+p_{12}x_2{}^\prime+\cdots+p_{1m}x_m{}^\prime,\\[2mm]&x_2=p_{21}x_1{}^\prime+p_{22}x_2{}^\prime+\cdots+p_{2m}x_m{}^\prime,\\[2mm]&\hphantom{1}\cdotp\hphantom{mn}\cdotp\hphantom{mn}\cdotp\hphantom{mn}\cdotp\hphantom{mn}\cdotp\hphantom{mn}\cdotp\hphantom{mn}\cdotp\hphantom{mn}\cdotp\\[2mm]&x_m=p_{m1}x_1{}^\prime+p_{m2}x_2{}^\prime+\cdots+p_{mm}x_m{}^\prime.\end{alignat*}あるいは略して\[(x)=P(x^\prime),\hspace{1cm}P=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}p_{\alpha\beta}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}.\]また\begin{alignat*}{1}&y_1=q_{11}y_1{}^\prime+q_{12}y_2{}^\prime+\cdots+q_{1n}y_n{}^\prime,\\[2mm]&y_2=q_{21}y_1{}^\prime+q_{22}y_2{}^\prime+\cdots+q_{2n}y_n{}^\prime,\\[2mm]&\hphantom{1}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\\[2mm]&y_n=q_{n1}y_1{}^\prime+q_{n2}y_2{}^\prime+\cdots+q_{nn}y_n{}^\prime.\end{alignat*}あるいは略して\[(y)=Q(y^\prime),\hspace{1cm}Q=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}q_{\alpha\beta}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}.\]$A(x,\ y)$ に代入するときは,変数 $(x^\prime)$,$(y^\prime)$ の二重一次形式が生ずる.それを\[B(x^\prime,\ y^\prime)={\textstyle\sum}\ b_{\mu\nu}x_\mu{}^\prime y_\nu{}^\prime\]としるして,その係数の行列を $B$ とする.\[B=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}b_{\mu\nu}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}.\hspace{1cm}\left(\begin{array}{l}\mu=1,\ 2,\ \cdots,\ m\\\nu=1,\ 2,\ \cdots,\ n\end{array}\right)\] 〔定理 $\boldsymbol{9.\ 1}$〕 二重一次形式 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},\ \boldsymbol{y})$ が一次変形\begin{alignat*}{1}(x)&=P(x^\prime),\hspace{1cm}P=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}P_{\alpha\beta}\pmb{〕}\hspace{-0.4em},\tag{$\ 1\ $}\\[2mm](y)&=Q(y^\prime),\hspace{1cm}Q=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}q_{\alpha\beta}\pmb{〕}\hspace{-0.4em},\tag{$\ 2\ $}\end{alignat*}によって $\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x^\prime},\ \boldsymbol{y^\prime})$ に変形されるとき$\hspace{0.5mm}$,$\hspace{-0.5mm}$原式と変形後の式の行列の間に次の関係がある$\hspace{0.5mm}$,$\hspace{-0.5mm}$\[\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P^\prime AQ},\tag{$\ 3\ $}\]ただし $P^\prime$ は行列 $P$ の行を列とし,列を行とした行列すなわち $P$ の転置行列を表わす.
 〔注意〕 $P^\prime AQ$ は行列の結合を示すのである.詳しく書けば\[b_{\mu\nu}=\underset{s,\ t}{\textstyle\sum}p_{s\mu}a_{st}q_{t\nu}\hspace{1cm}\left(\begin{array}{c}s=1,\ 2,\ \cdots,\ m\\t=1,\ 2,\ \cdots,\ n\end{array}\right)\] 〔〕 \begin{alignat*}{1}B(x^\prime,\ y^\prime)&=\underset{s,\ t}{\textstyle\sum}a_{st}(p_{s1}x_1{}^\prime+p_{s2}x_2{}^\prime+\cdots+p_{sm}x_m{}^\prime)(q_{t1}y_1{}^\prime+q_{t2}y_2{}^\prime+\cdots+q_{tn}y_n{}^\prime)\\[2mm]&=\underset{\mu,\ \nu}{\textstyle\sum}x_\mu{}^\prime y_\nu{}^\prime\biggl(\underset{s,\ t}{\textstyle\sum}p_{s\mu}a_{st}q_{t\nu}\biggr)\end{alignat*}ゆえに上の通り\[b_{\mu\nu}=\underset{s,\ t}{\textstyle\sum}p_{s\mu}a_{st}q_{t\nu}.\tag{$\ 4\ $}\] この結果を見やすくしるすために,行列の結合を用いて\[B=P^\prime AQ\]とする.$\displaystyle\underset{s}{\textstyle\sum}p_{s\mu}a_{st}$ はすなわち $P^\prime A$ における第 $\mu$ 行第 $t$ 列にある組成分子であるから,$(P^\prime A)Q$ における第 $\mu$ 行第 $\nu$ 列の組成分子は $\displaystyle\underset{t}{\textstyle\sum}(\underset{s}{\textstyle\sum}p_{s\mu}a_{st})q_{t\nu}$ すなわち $b_{\mu\nu}$ である.あるいはまた和の順序を変えて $\displaystyle\underset{s}{\textstyle\sum}p_{s\mu}(\underset{t}{\textstyle\sum}a_{st}q_{t\nu})$ とすれば,これは $P^\prime(AQ)$ における第 $\mu$ 行,第 $\nu$ 列の組成分子である.すなわち $(P^\prime A)Q=P^\prime (AQ)$.ゆえに括弧なしに $P^\prime AQ$ としるす.
 このように行列の結合においては結合法則が成り立つ.
 上の結果は器械的の計算によって得たのであるが,$B$ が $P^\prime$,$A$,$Q$ から結合によって得られるものであることは,次のように考えると,よくわかる.
 $A(x,\ y)$ の項を $(x)$ に関してくくれば\[A(x,\ y)=x_1\eta_1+x_2\eta_2+\cdots+x_m\eta_m,\]ただし\[\eta_\mu=a_{\mu1}y_1+a_{\mu2}y_2+\cdots+a_{\mu n}y_n,\hspace{1cm}(\mu=1,\ 2,\ \cdots,\ m)\]あるいは略して\[(\eta)=A(y).\] 同じように\begin{alignat*}{1}B(x^\prime&,\ y^\prime)=x_1{}^\prime\eta_1{}^\prime+x_2{}^\prime\eta_2{}^\prime+\cdots+x_m{}^\prime\eta_m{}^\prime\\[2mm]&\eta_\mu{}^\prime=b_{\mu1}y_1{}^\prime+b_{\mu2}y_2{}^\prime+\cdots+b_{\mu n}y_n{}^\prime\hspace{1cm}(\mu=1,\ 2,\ \cdots,\ m)\end{alignat*}とすれば\[(\eta^\prime)=B(y^\prime).\] さて $A(x,\ y)=\sum x_\mu\eta_\mu$ において,まず変数 $(x)$ に一次変形\[(x)=P(x^\prime)\]を行なえば\begin{alignat*}{1}&\overset{m}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}(p_{\mu1}x_1{}^\prime+p_{\mu2}x_2{}^\prime+\cdots+p_{\mu m}x_m{}^\prime)\eta_\mu\\[2mm]=&\overset{m}{\underset{s=1}{\textstyle\sum}}x_s{}^\prime(p_{1s}\eta_1+p_{2s}\eta_2+\cdots+p_{ms}\eta_m).\end{alignat*} ゆえに\[\eta_s{}^\prime=p_{1s}\eta_1+p_{2s}\eta_2+\cdots+p_{ms}\eta_m.\hspace{1cm}(s=1,\ 2,\ \cdots m)\]あるいは\[(\eta^\prime)=P^\prime(\eta)\]これと上の\begin{alignat*}{1}(\eta)&=A(y),\\[2mm](y)&=Q(y^\prime)\end{alignat*}から,一次変形の結合によって($\S\ 53$)\[(\eta^\prime)=P^\prime AQ(y^\prime)\]を得る.よって\[B=P^\prime AQ.\] $\boldsymbol{2.}$ 上の一次変形の公式はまったく計算的であるから,恒等的に成り立つのであるが,この後一次変形はすべて正則一次変形に限ることにする.すなわち $(\ 1\ )$ および $(\ 2\ )$ において,行列式\[|\ \!P\ \!|\neq0,\hspace{1cm}|\ \!Q\ \!|\neq0\]と仮定する.
 二重一次形式 $f=A(x,\ y)$ から正則一次変形で $f^\prime=B(x^\prime,\ y^\prime)$ を得る場合に,$f$ と $f^\prime$ を対等(equivalent)といい,それを次のようにしるす.\[f\sim f^\prime.\] このような対等の関係は,例の三条件を充実する($\S\ 2$).すなわち
 $1^\circ)$  反射的である.\[f〜f.\] 恒等一次変形 $(x)=(x^\prime)$,$(y)=(y^\prime)$ による.
 $2^\circ)$  対称的である.すなわち\[f\sim f^\prime\style{font-family:serif}{\text{ ならば }}f^\prime\sim f.\] 逆の一次変形による.
 行列に関していえば次の通り.\[B=P^\prime AQ\style{font-family:serif}{\text{ ならば, }}A=(P^{-1})^\prime BQ^{-1}.\] 実際 $(P^{-1})^\prime BQ^{-1}=(P^{-1})^\prime P^\prime AQQ^{-1}=E_mAE_n=A$ である.$E_m$,$E_n$ は $m$ 次および $n$ 次の単位行列を示す.$(P^{-1})^\prime=(P^\prime)^{-1}$.($\S\ 55,\ 2$

 $3^\circ)$  推移的である.すなわち\[f\sim f^\prime,\hphantom{nn}f^\prime\sim f^{\prime\prime}\style{font-family:serif}{\text{ ならば,}}f\sim f^{\prime\prime}.\] 一次変形の結合による.
 $f$,$f^\prime$,$f^{\prime\prime}$ の係数の行列を $A$,$B$,$C$ とすれば\[B=P^\prime AQ,\hphantom{C}C=P_1{}^\prime BQ_1,\style{font-family:serif}{\text{ から }}C=P_1{}^\prime P^\prime AQQ_1=(PP_1)^\prime A(QQ_1).\]ここで注意すべきことは\[(PP_1)^\prime=P_1{}^\prime P^\prime\]なる関係である.すなわち二つの行列を結合して後に行と列との転置を行なっても,または各行列に転置を行なって後反対の順序に結合をしても,結果は同一である.実際結合を行なってためして見ればわかる.二つより多くの行列においても同様である.すなわち\[(PP_1P_2)^\prime=P_2{}^\prime P_1{}^\prime P^\prime,\style{font-family:serif}{\text{ など}}.\]
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