第 $9$ 章 二 次 形 式
$\S\ 59.$ 二重一次形式の位と標準形式
$\boldsymbol{1.}$ 二重一次式 $A(x,\ y)=\sum\ \!a_{\mu\nu}x_\mu y_\nu$（$\mu=1$，$2$，$\cdots$，$m$；$\nu=1$，$2$，$\cdots$，$n$）の係数の行列 $A$ の位 $r$ をその二重一次形式の位という．〔定理 $\boldsymbol{9.\ 2}$〕 二つの二重一次形式の位が相等しいことは$\hspace{0.5mm}$，$\hspace{-0.5mm}$それらが対等なために必要かつ十分な条件である．
〔証〕 二つの二重一次形式の行列を $A$，$B$ とする．まず対等の場合，すなわち\[B=P^\prime AQ,\hspace{7mm}|\ \!P\ \!|\neq0,\hspace{7mm}|\ \!Q\ \!|\neq0\]なるとき，$A$ と $B$ との位が相等しいことを示そう．
一般に，ある行列 $A$ の右に他の行列 $S$ を結合して $A_1$ なる行列を得たとすると，すなわち $AS=A_1$ において，$A_1$ の位は $A$ の位よりも高くはならないのである．なぜならば，実際結合を行なって見ればわかるように，$A_1$ の各列は $A$ の列の一次的結合であるから，もしも $A$ における $k$ 次の小行列式が全部 $0$ になるならば，$A_1$ においても $k$ 次の小行列式は全部 $0$ になる．
もしも $|\ \!S\ \!|\neq0$ ならば，$AS=A_1$ から $A=A_1S^{-1}$ を得る．ゆえに同じ理由によって，$A$ の位は $A_1$ の位よりも高くはなく，したがってこの場合には，$A$ と $A_1$ との位は相等しい．
$A$ の左方に $S$ を結合するときも同様である（$SA$ の各行が $A$ の行の一次的結合になる）．
したがって $A$ の右および左に行列式の $0$ にならない行列をつけて結合を行なっても，位は変わらない．
ゆえに，上の対等の場合には，$A$ と $B$ との位は等しいのである．
次に，位の等しい二重一次形式は対等であることを示すために，二重一次形式の位を $r$ とすれば，それが\[E_r(X,\ Y)=X_1Y_1+X_2Y_2+\cdots+X_rY_r\]と対等であることを示そう．しからば，位が $r$ である二重一次形式は同一の二重一次形式と対等であるから，したがって互いに対等である（$\S\ 58$）．
行列 $A$ において\[A_r=\begin{vmatrix}\ a_{11}&a_{12}&\cdotp&a_{1r}\ \\[1mm]\ a_{21}&a_{22}&\cdotp&a_{2r}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{r1}&a_{r2}&\cdotp&a_{rr}\ \end{vmatrix}\neq0\]と仮定する．しからば $A$ における $r+1$，$\cdots$，$n$ 行は $1$，$2$，$\cdots$，$r$ 行の一次的結合である（定理 $8.\ 11$）．ゆえに $\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_m$ は $285$ 頁の通りとして\begin{alignat*}{1}A(x,\ y)=x_1\eta_1&+x_2\eta_2+\cdots+x_m\eta_m\\[2mm]=x_1\eta_1&+x_2\eta_2+\cdots+x_r\eta_r\\[2mm]&+x_{r+1}(\lambda_1\eta_1+\lambda_2\eta_2+\cdots+\lambda_r\eta_r)\\[2mm]&+x_{r+2}(\lambda_1{}^\prime\eta_1+\lambda_2{}^\prime\eta_2+\cdots+\lambda_r{}^\prime\eta_r)\\[2mm]&+\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\end{alignat*}になるような定数因子 $\lambda_1$，$\lambda_2$，$\cdots$；$\lambda_1{}^\prime$，$\lambda_2{}^\prime$，$\cdots$，$\cdots$ が求められる．
よって\begin{alignat*}{1}A(x,\ y)&=(x_1+\lambda_1x_{r+1}+\lambda_1{}^\prime x_{r+2}+\cdots)\eta_1\\[2mm]&+(x_2+\lambda_2x_{r+1}+\lambda_2{}^\prime x_{r+2}+\cdots)\eta_2\\[2mm]&+\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[2mm]&+(x_r+\lambda_rx_{r+1}+\lambda_r{}^\prime x_{r+2}+\cdots)\eta_r.\end{alignat*} 右辺の括弧の中にある $(x)$ の一次式を $X_1$，$X_2$，$\cdots$，$X_r$ とし，また $(y)$ の一次式である $\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_r$ を $Y_1$，$Y_2$，$\cdots$，$Y_r$ としるせば\[A(x,\ y)=X_1Y_1+X_2Y_2+\cdots+X_rY_r.\] ここで $X_1$，$X_2$，$\cdots$，$X_r$ はその形から見える通り，$(x)$ の互いに独立な一次式である．また $Y_1$，$Y_2$，$\cdots$，$Y_r$ すなわち $\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_r$ は仮定によって $A_r\neq0$ であるから，$(y)$ の互いに独立な一次式である．ゆえに $(x)$ の一次式 $X_{r+1}$，$\cdots$，$X_m$ および $(y)$ の一次式 $Y_{r+1}$，$\cdots$，$Y_n$ を適当に定めて\begin{alignat*}{2}(X)&=P(x),&\hspace{1cm}|\ \!P\ \!|&\neq0,\\[2mm](Y)&=Q(y),&\hspace{1cm}|\ \!Q\ \!|&\neq0\end{alignat*}とすることができる．ゆえに $A(x,\ y)\sim E_r(X,\ Y)$．
上の $E_r(X,\ Y)$ を位が $r$ なる二重一次形式の標準形式という．
上の場合には，$X_{r+1}=x_{r+1}$，$\cdots$，$X_m=x_m$；$Y_{r+1}=y_{r+1}$，$\cdots$，$Y_n=y_n$ としてよい．もちろん $r\lt m$ または $r\lt n$ の場合に関していうのである．
$r=m$ ならば $A(x,\ y)=x_1\eta_1+\cdots+x_m\eta_m$ がすでに標準形式である．$r=n$ ならば $(y)$ を $(x)$ に代用する．
| また | $A_r=A_r\left(\begin{array}{c}12\cdots r\\12\cdots r\end{array}\right)\neq0$ |