代 数 学 講 義 改訂新版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 63.$ 二次形式の標準形式  $\S\ 65.$ 直交変形 $\blacktriangleright$

『代数学講義』目次へ



第 $9$ 章 二 次 形 式


 $\S\ 64.$ 定符号の二次形式$\hspace{0.5mm}$,$\hspace{-0.5mm}$不定符号の二次形式

 $\boldsymbol{1.}$ 変数 $n$ 個の実二次形式 $A(x,\ x)$ が標準形式において $n$ 個の正項または $n$ 個の負項をもつとき,すなわち $r=n$,$\sigma=\pm n$ の場合には,実変数 $(x)$ の任意の値(もちろん $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$ を除く)に対して $A(x,\ x)$ の値は一定の符号をもつ.この場合に $A(x,\ x)$ を定符号の二次形式($\sigma=n$ ならば正の二次形式,$\sigma=-n$ ならば負の二次形式)という.もしも標準形式において正項と負項とが混じるときには,$A(x,\ x)$ は変数の値によって,あるいは正,あるいは負の値を取り,または $0$ になる.この場合には,$A(x,\ x)$ を不定符号の二次形式という.
 実際標準形式が $X_1{}^2+X_2{}^2+\cdots+X_P{}^2-X^2{}_{P+1}-\cdots-X_n{}^2$ ならば,$X_{P+1}=\cdots=X_n=0$ であるような $(x)$ に対して $A(x,\ x)$ は正になり,また $X_1=X_2=\cdots=X_P=0$ であるような $(x)$ に対しては負になる.また $X_1=X_{P+1}$,$X_2=0$,$\cdots$ などに対しては $0$ になる($x_1=x_2=\cdots=x_n=0$ でなくて,$0$ になる).
 〔定理 $\boldsymbol{9.\ 10}$〕 定符号の二次形式においては,係数の行列からの首座行列式は一つも $0$ に等しくない.正の二次形式の特徴は,首座行列式が全部正であることであり,負の二次形式の特徴は首座行列式の偶数次のものは全部正,奇数次のものは全部負であることである.
 〔〕 まず正の二次形式の判別式 $A_n$ が正であることは,判別式の不変性からわかる.すなわち$\S\ 60\ (\ 3\ )$ の公式\[|\ \!B\ \!|=|\ \!A\ \!|\ |\ \!P\ \!|^2\]において,$B$ を標準形式の行列とすれば,正の二次形式の場合,$|\ \!B\ \!|\gt0$,したがって $|\ \!A\ \!|\gt0$.
 さて\[A\begin{pmatrix}\alpha\beta\cdots\lambda\\\alpha\beta\cdots\lambda\end{pmatrix}\]を任意の $k$ 次の首座行列式とする.$f(x)$ において $x_\alpha$,$x_\beta$,$\cdots$,$x_\lambda$ 以外の変数を全部 $0$ とするならば,$f(x)$ は変数 $x_\alpha$,$x_\beta$,$\cdots$,$x_\lambda$ に関する正の二次形式になる($x_\alpha=x_\beta=\cdots=x_\lambda=0$ のほかの値に対して常に正だから).そうして\[A\begin{pmatrix}\alpha\beta\cdots\lambda\\\alpha\beta\cdots\lambda\end{pmatrix}\]がその判別式である.ゆえに上の理由によって\[A\begin{pmatrix}\alpha\beta\cdots\lambda\\\alpha\beta\cdots\lambda\end{pmatrix}\gt0.\] $f$ が負の二次形式ならば,$-f$ は正の二次形式であるから,その首座行列式はすべて正である.よって各組成分子の符号を変えてもとの二次形式 $f$ に返れば,定理の後の部分の正しいことがわかるであろう.
 $\boldsymbol{2.}$ $n$ 個の変数の低位の二次形式($r\lt n$)においても,$\sigma=\pm r$ ならば,その二次形式が取る値は $0$ の外は一定の符号をもつ.しかしながら,この場合には,$x_1=x_2=\cdots=x_n=0$ でなくても,二次形式は $0$ になり得る.標準形式は\[\pm(X_1{}^2+X_2{}^2+\cdots+X_r{}^2)\]であるから,$X_1=X_2=\cdots=X_r=0$ であるような $(x)$ の値に対して原二次形式が $0$ になるのである.このような場合には,二次形式を低位定符号$\large*$ $^{({\large*})}\ $semi-definite. $――$ $\sigma=r$ のときに semi-positive ,$\sigma=-r$ のときに semi-negative は耳ざわりだから,使われない.筆者は non-negativenon-positive ということにしているが,一定の術語がないらしい.邦語では,低位正形式,低位負形式などはどうか. の形式とでもいったらよいであろう.
 〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 二次形式 $f(x)=\sum\ \!a_{\mu\nu}x_\mu x_\nu$ の逆の二次形式というのは\[F(u)=-\begin{vmatrix}\ a_{11}&a_{12}&\cdotp&a_{1n}&u_1\ \\[1mm]\ a_{21}&a_{22}&\cdotp&a_{2n}&u_2\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&a_{nn}&u_n\ \\[1mm]\ u_1&u_2&\cdotp&u_n&0\ \end{vmatrix}={\textstyle\sum}\ \!A_{\mu\nu}u_\mu u_\nu\hspace{5mm}(\mu,\ \nu=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\]なる二次形式である.$A_{\mu\nu}$ は $A$ における $a_{\mu\nu}$ の余因子である.$|\ \!A\ \!|\neq0$ の場合には,$F$ の位は $n$ で,また符号定数は $\sigma(F)=\pm\sigma(f)=\operatorname{sign}\ \!|\ \!A\ \!|\hspace{0.7mm}\cdotp\sigma(f)$.
 〔解〕$u_i=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n,\hspace{1cm}i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$  
とすれば\[F(u)=|\ \!A\ \!|f(x).\] 〔注意〕 $|\ \!A\ \!|=0$ の場合には,$r=n-1$ のとき,$F(u)$ は完全平方で(位が $1$),$r\lt n-1$ のとき,$F(u)\equiv0$.

 〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 二次形式 $A(x,\ x)=\sum\ \!a_{\alpha\beta}x_\alpha x_\beta$($\alpha$,$\beta=1$,$2$,$\cdots$,$n$)において,\[A_0=1,\hspace{5mm}A_k=A\begin{pmatrix}12\cdots k\\12\cdots k\end{pmatrix}\neq0,\hspace{1cm}(k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\]\[X_1=f_1,\hspace{5mm}X_k=\begin{vmatrix}\ a_{11}&a_{12}&\cdotp&a_{1,\ k-1}&f_1\ \\[1mm]\ a_{21}&a_{22}&\cdotp&a_{2,\ k-1}&f_2\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{k1}&a_{k2}&\cdotp&a_{k,\ k-1}&f_k\ \end{vmatrix},\hspace{1cm}(k=2,\ 3,\ \cdots,\ n)\]$f_k=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial f}{\partial x_k}$,$f=A(x,\ x)$ とすれば\[A(x,\ x)=\overset{n}{\underset{k=1}{\textstyle\sum}}\frac{X_k{}^2}{A_{k-1}A_k}.\] 〔解〕 \[\varphi_k=\begin{vmatrix}\ a_{11}&a_{12}&\cdotp&a_{1k}&f_1\ \\[1mm]\ a_{21}&a_{22}&\cdotp&a_{2k}&f_2\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{k1}&a_{k2}&\cdotp&a_{kk}&f_k\ \\[1mm]\ f_1\hphantom{_k}&f_2\hphantom{_k}&\cdotp&f_k\hphantom{_k}&f\hphantom{_k}\ \end{vmatrix},\hphantom{m}\varphi_0=f.\]とすれば,Sylvester の定理によって\[A_{k-1}\varphi_k=A_k\varphi_{k-1}-X_k{}^2,\]したがって\[\frac{\varphi_{k-1}}{A_{k-1}}-\frac{\varphi_k}{A_k}=\frac{X_k{}^2}{A_{k-1}A_k}.\]$k=1$,$2$,$\cdots$,$n$ として加え,$\varphi_n=0$ を用いて問題の等式を得る.
inserted by FC2 system