第 $9$ 章 二 次 形 式
$\S\ 67.$ 直交変形による標準形式への変形
直交変形 $P$ によって二次形式 $f$ が標準形式に変形されるときには，標準形式における係数は $f$ の固有値 $\rho_1$，$\rho_2$，$\cdots$，$\rho_n$ でなければならない．この標準形式の行列を\[A_0=\begin{vmatrix}\ \rho_1&0&\cdotp&0\ \\[1mm]\ 0&\rho_2&\cdotp&0\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ 0&0&\cdotp&\rho_n\ \end{vmatrix}\]とおけば，定理 $9.\ 3$ によって\[P^\prime AP=A_0,\tag{$\ 1\ $}\]または $P^\prime=P^{-1}$（$\S\ 65$）によって\[AP=PA_0.\tag{$1^{\large*}$}\] 両辺の第 $1$ 列を比較すれば\[\overset{n}{\underset{s=1}{\textstyle\sum}}\ \!a_{1s}p_{s1}=\rho_1p_{11},\ \overset{n}{\underset{s=1}{\textstyle\sum}}\ \!a_{2s}p_{s1}=\rho_1p_{21},\ \cdots,\ \overset{n}{\underset{s=1}{\textstyle\sum}}\ \!a_{ns}p_{s1}=\rho_1p_{n1}.\]すなわち $P$ の第 $1$ 列の組成分子 $p_{11}$，$p_{21}$，$\cdots$，$p_{n1}$ は $\S\ 66$ の方程式 $(\ 4\ )$ において $\rho_0=\rho_1$ とするときの解 $(x)$ でなければならない．同様に，$P$ の第 $2$ 列の組成分子は $\rho=\rho_2$ に対する解で，以下同様である．
よって $\rho=\rho_1$，$\rho=\rho_2$，$\cdots$，$\rho=\rho_n$ に対する上の解を列として直交行列 $P$ を組み立て得るかどうかの問題が生ずる．
$\rho_1$，$\rho_2$ を二つの相異なる固有値とすれば\[\overset{n}{\underset{s=1}{\textstyle\sum}}\ \!a_{\mu s}p_{s1}=\rho_1p_{\mu1}\tag{$\ 2\ $}\]\[\overset{n}{\underset{s=1}{\textstyle\sum}}\ \!a_{\mu s}p_{s2}=\rho_2p_{\mu2}\tag{$\ 3\ $}\]\[(\mu=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\] $(\ 2\ )$ の両辺に $p_{\mu2}$ を掛けて $\mu=1$，$2$，$\cdots$，$n$ にわたる和を作れば，\[\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}\overset{n}{\underset{s=1}{\textstyle\sum}}\ \!a_{\mu s}p_{s1}p_{\mu2}=\rho_1\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}p_{\mu1}p_{\mu2}.\] また $(\ 3\ )$ の両辺に $p_{\mu1}$ を掛けて $\mu=1$，$2$，$\cdots$，$n$ にわたる和を作れば，\[\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}\overset{n}{\underset{s=1}{\textstyle\sum}}\ \!a_{\mu s}p_{s2}p_{\mu1}=\rho_2\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}p_{\mu1}p_{\mu2}.\] これらの等式における左辺の和は $a_{\mu s}=a_{s\mu}$ のために相等しいから，\[(\rho_1-\rho_2)\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}p_{\mu1}p_{\mu2}=0.\] ゆえに $\rho_1\neq\rho_2$ から\[\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}p_{\mu1}p_{\mu2}=0.\tag{$\ 4\ $}\] すなわち $(\ 2\ )$ の解である $p_{\mu1}$ を第 $1$ 列，$(\ 3\ )$ の解である $p_{\mu2}$ を第 $2$ 列におけば，その間に自ら直交条件 $(\ 4\ )$ が成立するのである．
各列の組成分子の平方の和を $1$ に等しくすること（すなわち標準化）は，適当な比例因数を乗ずることによって出来る．
よって $n$ 個の固有値 $\rho_1$，$\rho_2$，$\cdots$，$\rho_n$ が互いに相異なるときは，それらに対応する $(\ 2\ )$，$(\ 3\ )$ などの解で直交行列 $P$ を組み立てて $(\ 1^{\large*}\ )$ を満足させることができる．$P$ が直交行列ならば，$P^\prime=P^{-1}$ だから，$(\ 1\ )$ が成り立ち，すなわち標準形式への変形が出来るのである．
$\rho_1$，$\rho_2$，$\cdots$，$\rho_n$ の中に相等しいものがあるとき，たとえば $\rho_1$ が固有多項式 $\varphi(\rho)$ の $k$ 重根であるときには，$\rho=\rho_1$ に対応して $\varphi(\rho_1)$ の行列の位が $n-k$ になる（定理，$9.\ 11$）から，$(\ 2\ )$ は $k$ 個の互いに独立な解をもつ．この場合には，これらの $k$ 個の解の間に直交条件を成立させることができるのである．
いま\[\left(p^{(\kappa)}\right)\hphantom{1}:\hphantom{1}p_1{}^{(\kappa)},\ p_2{}^{(\kappa)},\ \cdots,\ p_n{}^{(\kappa)}\hspace{1cm}(\kappa=1,\ 2,\ \cdots,\ k)\]を互いに独立な解とする．
$\left(p^{(1)}\right)$ と $\left(p^{(2)}\right)$ との間に直交条件が成り立たないときには，乗数 $\lambda$ を適当に定めて $\left(p^{(2)}+\lambda p^{(1)}\right)$ ，すなわち\[p_1{}^{(2)}+\lambda p_1{}^{(1)},\ p_2{}^{(2)}+\lambda p_2{}^{(1)},\ \cdots,\ p_n{}^{(2)}+\lambda p_n{}^{(1)}\]を $\left(p^{(2)}\right)$ に代用して，直交条件\[\overset{n}{\underset{s=1}{\textstyle\sum}}p_s{}^{(1)}\left(p_s{}^{(2)}+\lambda p_s{}^{(1)}\right)=0\]を成り立たせることができる．すなわち $\lambda$ を\[{\textstyle\sum}\ \!p_s{}^{(1)}p_s{}^{(2)}+\lambda{\textstyle\sum}\left(p_s{}^{(1)}\right)^2=0\]から定めればよい（$\sum\left(p_s{}^{(1)}\right)^2\neq0$）．
このようにして，直交条件を満足させる二つの解が得られたとすると，それらを $\left(p^{(1)}\right)$，$\left(p^{(2)}\right)$ とする．もしも $k\gt2$ ならば $\left(p^{(1)}\right)$，$\left(p^{(2)}\right)$ とは独立な第三の解が $\left(p^{(3)}\right)$ を取って\[p^{(3)}+\lambda p^{(1)}+\mu p^{(2)}\]において乗数 $\lambda$，$\mu$ を適当に定めて，$\left(p^{(1)}\right)$ および $\left(p^{(2)}\right)$ に対して直交条件を成立させることができる．すなわち\begin{alignat*}{1}\overset{n}{\underset{s=1}{\textstyle\sum}}p_s{}^{(1)}\left(p_s{}^{(3)}+\lambda p_s{}^{(1)}+\mu p_s{}^{(2)}\right)&=0,\\[2mm]\overset{n}{\underset{s=1}{\textstyle\sum}}p_s{}^{(2)}\left(p_s{}^{(3)}+\lambda p_s{}^{(1)}+\mu p_s{}^{(2)}\right)&=0.\end{alignat*}から\begin{alignat*}{1}{\textstyle\sum}\ \!p_s{}^{(1)}p_s{}^{(3)}+\lambda{\textstyle\sum}\left(p_s{}^{(1)}\right)^2&=0,\\[2mm]{\textstyle\sum}\ \!p_s{}^{(2)}p_s{}^{(3)}+\mu{\textstyle\sum}\left(p_s{}^{(2)}\right)^2&=0.\end{alignat*}これから $\lambda$，$\mu$ を求めるのである．
このように進んで $k$ 個の解を求めて，それら相互の間に直交条件を成り立たせることができる．それらを標準化（適当な比例定数を掛けて，平方の和を $1$ に等しくすること）して $P$ の $k$ 個の列とするのである．