第 $9$ 章 二 次 形 式
$\S\ 68.$ Hermite の二次形式
$\boldsymbol{1.}$ Hermite の二次形式，あるいは単に Hermite の形式（Hermitian form）というのは\[A(x,\ \overline{x})=\overset{n}{\underset{\mu,\ \nu=1}{\textstyle\sum}}a_{\mu\nu}x_\mu\overline{x}_\nu,\hspace{1cm}a_{\nu\mu}=\overline{a}_{\mu\nu}\]のような式である．文字の上の横線は共役複素数を示す．すなわち係数の行列 $A=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{\mu\nu}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ において，第一対角線に関して互いに対称な位置にある組成分子 $a_{\mu\nu}$，$a_{\nu\mu}$ は互いに共役な複素数で，特に第一対角線上の組成分子 $a_{11}$，$\cdots$，$a_{nn}$ はそれ自身と共役，すなわち実数である．このような行列を，本書では，仮りに $\boldsymbol{H}$ 行列と略称する．よってまた Hermite の形式を $\boldsymbol{H}$ 形式と略称する．
$H$ 形式 $A(x,\ \overline{x})$ は変数の任意の値に対して常に実数値を有する．実際，$A(x,\ \overline{x})=\sum\ \!a_{\mu\nu}x_\mu\overline{x}_\nu$ の共役複素数は\[\overline{A}(x,\ \overline{x})={\textstyle\sum}\ \!\overline{a}_{\mu\nu}\overline{x}_\mu x_\nu={\textstyle\sum}\ \!a_{\nu\mu}\overline{x}_\mu x_\nu=A(x,\ \overline{x}).\] 同様に行列式 $|\ \!A\ \!|$ は実数値をもつ．
$H$ 形式において係数 $a_{\mu\nu}$ が実数ならば，$a_{\nu\mu}=a_{\mu\nu}$．また変数が実数値のみを取るならば，$\overline{x}_\nu=x_\nu$．すなわちこの場合には，$H$ 形式は実二次形式にほかならないのである．ゆえに $H$ 形式は実二次形式の拡張である．
$\S\ 60$$\sim$$61$ において実二次形式に関して述べたことは，相当の変更を行なって，すべて $H$ 形式にも当てはめることができる．
まず一次変形に関していえば，$A(x,\ \overline{x})$ を変数 $(x)$，$(\overline{x})$ に関する二重一次形式と見れば，$(x)$ に $P(x^\prime)$ なる一次変形を行なうときには，$(\overline{x})$ には共役複素数を係数とする一次変形 $(\overline{x})=\overline{P}(\overline{x}{}^\prime)$ を行なうべきである．すなわち\[P=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}p_{\alpha\beta}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\style{font-family:serif}{\text{ ならば，}}\ \overline{P}=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}\overline{p}_{\alpha\beta}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}.\] ゆえに原 $H$ 形式の係数の行列を $A$ とすれば，変形後の行列は\[P^\prime A\overline{P}\]である．よって $H$ 形式の位（それは行列 $A$ の位をいう）は正則な一次変形によっては不変である．
$H$ 行列においても，位が $r$ であるとき，$r$ 次の首座行列式の中に $0$ にならないものがある．その証明は定理 $9.\ 4$ とまったく同様にしてできる（$294$ 頁 $C^2$ のところが $\overline{C}C$ になる）．
$H$ 行列の首座行列式にあっては，その行列がやはり $H$ 行列であるから，首座行列式は実数値をもつ．位が $r$ ならば，$r$ 次の首座行列式の中で $0$ にならないものは，全部同一の符号をもつ．
位が $r$ である $H$ 形式は標準形式\[a_1X_1\overline{X}_1+a_2X_2\overline{X}_2+\cdots+a_rX_r\overline{X}_r\]に変形される．係数 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_r$ は実数である．
もしも係数の正負を区別するならば，標準形式を\[X_1\overline{X}_1+X_2\overline{X}_2+\cdots+X_P\overline{X}_P-X_{P+1}\overline{X}_{P+1}-\cdots-X_{P+N}\overline{X}_{P+N}\]とすることができる．正項および負項の数 $P$，$N$ は一定である．すなわち $H$ 形式に関して惰性律が成り立つのである．
$H$ 形式においても定符号，不定符号の区別が可能である．
標準形式において $P=n$ または $N=n$ の場合がそれぞれ正の $H$ 形式，負の $H$ 形式である．
これらの点に関しては，$\S\ 62$$\sim$$64$ に述べたことを，一々 $H$ 形式について験証して見ることを読者にこうのである．
$\boldsymbol{2.}$ 最後に述べるべきことは，実二次形式における直交変形を拡張して，$H$ 形式に適応させることである．
$H$ 形式\[x_1\overline{x}_1+x_2\overline{x}_2+\cdots+x_n\overline{x}_n\]の形を不変とするような一次変形を $P$ とすれば\[P^\prime\overline{P}=E,\]すなわち\[\overset{n}{\underset{s=1}{\textstyle\sum}}\ \!p_{s\mu}\overline{p}_{s\nu}=\delta_{\mu\nu}.\]$\delta_{\mu\nu}$ は $\S\ 65$ にいった Kronecker の記号である．すなわち $\delta_{\mu\mu}=1$，$\delta_{\mu\nu}=0$（$\mu\neq\nu$）．
すなわち $P$ の各列の組成分子の絶対値の平方の和は $1$ に等しい．また $P$ の二つの（相異なる）列に関しては一つの列の各組成分子に他の列の同番号の組成分子の共役複素数を乗じた積の和は $0$ に等しい（拡張された直交条件）．
この場合には $P$ の行列式を $\varDelta$ とすれば $\overline{P}{}^\prime$ の行列式は $\overline{\varDelta}$ に等しいから $\varDelta\ \!\overline{\varDelta}=1$．ゆえに $\varDelta$ の絶対値は $1$ に等しい：$|\ \!\varDelta\ \!|=1$．
上のような行列 $P$ を unitary という．
unitary は行列式 $\varDelta$ の絶対値が $1$ に等しいことを示唆するための造語であろう．本書では仮りに $\boldsymbol{U}$ 行列，$\boldsymbol{U}$ 変形などとしるしておく．
称呼はとも角も，問題は実二次形式を直交変形によって標準形式に化するように，$H$ 形式を $U$ 変形によって標準形式にすることができるというのである．
$H$ 形式 $A(x,\ \overline{x})=\sum\ \!a_{pq}x_p\overline{x}_q$ が $U$ 変形 $(x)=P(X)$．よって標準形式\[\rho_1X_1\overline{X}_1+\rho_2X_2\overline{X}_2+\cdots+\rho_nX_n\overline{X}_n\]に変形されるならば，任意の乗数 $\rho$ に対して\[A(x,\ \overline{x})-\rho\overset{n}{\underset{p=1}{\textstyle\sum}}x_p\overline{x}_p=\overset{n}{\underset{p=1}{\textstyle\sum}}(\rho_p-\rho)X_p\overline{X}_p,\]したがって\[\varphi(\rho)=\left|\begin{array}{lll}\ a_{11}-\rho&a_{12}&\cdotp&a_{1n}\ \\[1mm]\ a_{21}&a_{22}-\rho&\cdotp&a_{2n}\ \\[1mm]\ \hphantom{1}\cdotp&\hphantom{1}\cdotp&\cdotp&\\[1mm]\ a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&a_{nn}-\rho\ \end{array}\right|=(\rho_1-\rho)(\rho_2-\rho)\cdots(\rho_n-\rho)\]（$\overline{P}{}^\prime P=E$，$|\ \!\overline{P}{}^\prime\ \!|\hspace{0.7mm}\cdotp|\ \!P\ \!|=1$ に注意）
この場合にも標準形式における係数 $\rho_1$，$\rho_2$，$\cdots$，$\rho_n$ は $A$ の固有多項式 $\varphi(\rho)$ の根でなければならない．
$\rho_1$，$\rho_2$，$\cdots$，$\rho_n$ をやはり $H$ 行列 $A$ の固有値という．
これらの固有値が実数であることは定理 $9.\ 11$ とまったく同様にして証明される．かつまた $\rho=\rho_1$ が固有多項式 $\varphi(\rho)$ の $k$ 重根ならば，$\varphi(\rho_1)$ の行列の位は $n-k$ になる．
これによって $H$ 形式 $A(x,\ \overline{x})$ を標準形式に変形する $U$ 変形が可能であることが $\S\ 67$ とまったく同様にして証明されるのである．
〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 行列式 $|\ \!a_{pq}\ \!|$（$p$，$q=1$，$2$，$\cdots$，$n$）において $a_{pq}=-a_{qp}$，（$a_{pp}=0$）なるときは，それを歪対称行列式という．
奇数次の歪対称行列式は $0$ に等しく，偶数次のものは完全平方式である．
〔解〕 $A$ を歪対称行列式とすれば，各行の符号を変えるとき，行列が転置される．ゆえに次数 $n$ が奇数ならば，$A=-A$，したがって $A=0$．次数 $n$ が偶数ならば，$n=2$ のとき $\left|\begin{array}{r}0&a\ \\[1mm]-a&0\ \end{array}\right|=a^2$ は完全平方式である．よって数学的帰納法を用いる．\begin{alignat*}{1}&A^{(n)}\begin{pmatrix}12\cdots n\\12\cdots n\end{pmatrix}\ \!A^{(n+2)}\begin{pmatrix}12\cdots n,\ n+1,\ n+2\\12\cdots n,\ n+1,\ n+2\end{pmatrix}\\[2mm]=A^{(n+1)}&\begin{pmatrix}12\cdots n,\ n+1\\12\cdots n,\ n+1\end{pmatrix}\ \!A^{(n+1)}\begin{pmatrix}12\cdots n,\ n+2\\12\cdots n,\ n+2\end{pmatrix}-A^{(n+1)}\begin{pmatrix}12\cdots n,\ n+1\\12\cdots n,\ n+2\end{pmatrix}\ \!A^{(n+1)}\begin{pmatrix}12\cdots n,\ n+2\\12\cdots n,\ n+1\end{pmatrix}\end{alignat*}$(n)$，$(n+1)$ などは行列式の次数を示すのである．$n+1$ が奇数であるから，右辺第一項の行列式は $0$，また第二項において\[A^{(n+1)}\begin{pmatrix}12\cdots n,\ n+1\\12\cdots n,\ n+2\end{pmatrix}=-A^{(n+1)}\begin{pmatrix}12\cdots n,\ n+2\\12\cdots n,\ n+1\end{pmatrix}.\]したがって，\[A^{(n)}A^{(n+2)}=\hspace{-0.4em}\lower{1mm}\style{transform:scale(2,3)}{〔}A^{(n+1)}\begin{pmatrix}12\cdots n,\ n+1\\12\cdots n,\ n+2\end{pmatrix}\lower{1mm}\style{transform:scale(2,3)}{〕}\hspace{-0.4em}\underset{.}{\overset{^2}{\vphantom{1_\frac{}{}}}}\]すなわち $A^{(n)}$ が完全平方であるならば，$A^{(n+2)}$ も完全平方である．
たとえば\[\begin{vmatrix}\ \hphantom{-}0&\hphantom{-}a&\hphantom{-}b&\hphantom{-}c\ \\[1mm]\ -a&\hphantom{-}0&\hphantom{-}c^\prime&\hphantom{-}b^\prime\ \\[1mm]\ -b&-c^\prime&\hphantom{-}0&\hphantom{-}a^\prime\ \\[1mm]\ -c&-b^\prime&-a^\prime&\hphantom{-}0\ \end{vmatrix}=(aa^\prime-bb^\prime+cc^\prime)^2.\]
〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 歪対称行列式の位が $r$ ならば，$r$ 次の首座行列式の中に $0$ に等しくないものがある（$r$ は偶数である）．
〔解〕 定理 $9.\ 4$ と同様．
〔問題 $\boldsymbol{3}$〕 歪対称行列式 $A$ の組成分子が実数ならば，その固有方程式 $|\ \!a_{pq}-x\delta_{pq}\ \!|=0$ の根は純虚数（または $0$）である．
〔解〕 定理 $9.\ 11$ と同様．
〔問題 $\boldsymbol{4}$〕 行列 $A$ において $a_{pq}=-\overline{a}_{qp}$ ならば，その固有方程式の根は純虚数（または $0$）である．
〔解〕 前と同様．問題 $3$ はこれの特別の場合である．
〔問題 $\boldsymbol{5}$〕 直交行列 $P$ における任意の小行列式は $\pm1\times$ 余因数に等しい．$\pm$ は $|\ \!P\ \!|=\pm1$ の $\pm$ と同じである．
〔解〕 $P^{-1}=P^\prime$ を用いて定理 $8.\ 20$ による．以下この問題の応用．
〔問題 $\boldsymbol{6}$〕 直交行列 $P=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}p_{\alpha\beta}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ の固有方程式 $\varphi(x)=|\ \!p_{\alpha\beta}-\delta_{\alpha\beta}x\ \!|=0$ は逆数方程式である．
〔問題 $\boldsymbol{7}$〕 $n=3$，$|\ \!P\ \!|=1$ ならば，$x=1$ が固有方程式の根である．もしも $x=-1$ が固有方程式の根ならば，$p_{11}+p_{22}+p_{33}=-1$ で，$x=-1$ は二重根である．
〔問題 $\boldsymbol{8}$〕 直交行列 $P$ において，$|\ \!P\ \!|=-1$ ならば，$x=-1$ が固有方程式の根である．