代 数 学 講 義 改訂新版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 68.$ Hermite の二次形式  $\S\ 70.$ Gram の行列式$\hspace{0.5mm}$,$\hspace{-0.5mm}$Wronski の行列式 $\blacktriangleright$

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第 $9$ 章 二 次 形 式


 $\S\ 69.$ 行列式の絶対値の評価

 〔定理 $\boldsymbol{9.\ 12}$〕 $n$ 次の行列式 $\varDelta$ において,各組成分子の絶対値は $M$ 以下であるとする.しからば $\varDelta$ の絶対値に関して次の関係がある.\[|\ \!\varDelta\ \!|\leqq\sqrt{n^n}M^n.\](Hadamard の定理).
 〔解説〕 各組成分子の絶対値が $M$ 以下ならば,行列式 $\varDelta$ の各項の絶対値は $M^n$ 以下である.項数は $n!$ であるから $\varDelta$ の絶対値は $n!\ \!M^n$ 以下である.すなわち $|\ \!\varDelta\ \!|\leqq n!\ \!M^n$.これは粗雑な評価であるが,上の定理では $M^n$ の乗数として $n!$ の代わりに $\sqrt{n^n}$ が出ている.$n!$ も $\sqrt{n^n}$ も $n$ が大きくなるにしたがって限りなく単調に増大するが,前者は後者とは比較にならない急速度で増大する.\[\frac{n!}{\sqrt{n^n}}\sim\left(\frac{\sqrt{n}}{e}\right)^n\sqrt{2n\pi}.\] Hadamard は上の定理を $1893$ 年に得ていたのであるが,十年後に積分方程式論において応用されてから,この定理が有名になって,いろいろの証明法が各方面から提出された.ここでは二次形式論を応用する一つの方法を述べる.
 定理 $9.\ 12$ は次の定理 $9.\ 13$,$9.\ 14$ から導かれる.
 〔定理 $\boldsymbol{9.\ 13}$〕 行列式\[\varDelta=\begin{vmatrix}\ a_{11}&a_{12}&\cdotp&a_{1n}\ \\[1mm]\ a_{21}&a_{22}&\cdotp&a_{2n}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&a_{nn}\ \end{vmatrix}\]において,各列の組成分子の絶対値の平方の和を順次に $S_1$,$S_2$,$\cdots$,$S_n$ とする.すなわち\[S_k=\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}|\ \!a_{\mu k}\ \!|^2=\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}\ \!a_{\mu k}\overline{a}_{\mu k}\]とおく.しからば\[|\ \!\varDelta\ \!|\leqq\sqrt{S_1S_2\cdots S_n}.\]等号は相異なる二つの列の間に直交条件\[\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}\ \!a_{\mu h}\overline{a}_{\mu k}=0\hspace{1cm}(h\neq k)\]が成り立つときに限る.
 実際,$M$ が定理 $9.\ 12$ における意味をもつときには $S_k\leqq nM^2$.ゆえに上の定理 $9.\ 13$ から $|\ \!\varDelta\ \!|\leqq\sqrt{(nM^2)^n}=\sqrt{n^n}\hspace{0.7mm}\cdotp M^n$.すなわち定理 $9.\ 12$ が得られる.
 〔定理 $\boldsymbol{9.\ 14}$〕 定符号の,しかも正なる $H$ 形式 $A(x,\ \overline{x})=\sum\ \!a_{\mu\nu}x_\mu\overline{x}_\nu$ の判別式 $A$ は,その首項よりも大きくなることはない(もちろん $A\gt0$ である).\[A\leqq a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.\]等号は $H$ が標準形式であるとき,すなわち $a_{\mu\nu}=0$($\mu\neq\nu$)であるときに限る.
 〔〕 $A_0=1$,$A_1$,$A_2$,$\cdots$,$A_n$ を首座の行列式とすれば,それらはみな正であって,かつ $A_k$ は正なる $H$ 形式 $\sum\ \!a_{\mu\nu}x_\mu\overline{x}_\nu$($\mu$,$\nu=1$,$2$,$\cdots$,$k$)の係数の行列式である.さて\[A=A_n=\begin{vmatrix}\ a_{11}&a_{12}&\cdotp&a_{1n}\ \\[1mm]\ a_{21}&a_{22}&\cdotp&a_{2n}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&a_{nn}\ \end{vmatrix}\]
$=a_{nn}A_{n-1}+\ \!$$\hphantom{1}a_{11}$$\cdotp\hphantom{1}a_{1,\ n-1}$$\hphantom{1}a_{1n}$$\ \!.$
$\hphantom{1a}\cdotp$$\cdotp\hphantom{aaa}\cdotp$$\hphantom{1a}\cdotp$
$\hphantom{1}a_{n-1,\ 1}\hphantom{M}$$\cdotp\hphantom{1}a_{n-1,\ n-1}\hphantom{1}$$\hphantom{1}a_{n-1,\ n}\ $
$\hphantom{1}a_{n1}$$\cdotp\hphantom{1}a_{n,\ n-1}$$\hphantom{1a}0$
\[\tag{$\ 1\ $}\]
 $A_{n-1}$ は正なる $H$ 形式 $A_{n-1}(x,\ \overline{x})=\sum\ \!a_{\mu\nu}x_\mu\overline{x}_\nu$($\mu$,$\nu=1$,$2$,$\cdots$,$n-1$)の判別式であって,$A_{n-1}(x,\ \overline{x})$ の逆形式\[F_{n-1}(u,\ \overline{u})=-\left|\begin{array}{lllll}\ a_{11}&\cdotp&\ \cdotp&a_{1,\ n-1}&u_1\ \\[1mm]\ \hphantom{1}\cdotp&\cdotp&\ \cdotp&\ \hphantom{a}\cdotp&\hphantom{1}\cdotp\ \\[1mm]\ \hphantom{1}\cdotp&\cdotp&\ \cdotp&\ \hphantom{a}\cdotp&\hphantom{1}\cdotp\ \\[1mm]\ a_{n-1,\ 1}\hspace{-1em}&&\ \cdotp&\ a_{n-1,\ n-1}&u_{n-1}\ \\[1mm]\ \overline{u}_1,&\cdotp&\ \cdotp&\ \overline{u}_{n-1}&\hphantom{1}0\end{array}\right|\]は正なる $H$ 形式である($\S\ 64$,問題 $1$).
 ゆえに $F_{n-1}(u,\ \overline{u})$ において $u_1=a_{1n}$,$u_2=a_{2n}$,$\cdots$,$u_{n-1}=a_{n-1,\ n}$(したがって $\overline{u}_1=a_{n1}$,$\overline{u}_2=a_{n2}$,$\cdots$,$\overline{u}_{n-1}=a_{n,\ n-1}$)とおくとき,その値は正であるが,ただ $a_{1n}=a_{2n}=\cdots=a_{n-1,\ n}=0$ のときに限って $0$ である.
 ゆえに $(\ 1\ )$ から\[A_n\leqq a_{nn}A_{n-1}.\]同じように\begin{alignat*}{1}&A_{n-1}\leqq a_{n-1,\ n-1}A_{n-2},\\[2mm]&\hphantom{A}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\\[2mm]&A_1=a_{11}.\end{alignat*}ゆえに\[A_n\leqq a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\hphantom{A_m}\]で,等号は上の各関係において $=$ を取るべきときに限る.すなわち $A_n$ の第一対角線以外の各組成分子が $0$ であるときに限る.
定理 $9.\ 14$ から定理 $9.\ 13$(したがって定理 $9.\ 12$)を得ることは容易である.\[\varDelta=\begin{vmatrix}\ a_{11}&a_{12}&\cdotp&a_{1n}\ \\[1mm]\ a_{21}&a_{22}&\cdotp&a_{2n}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&a_{nn}\ \end{vmatrix}\]において,\[\hspace{-0.4em}\pmb{〔}h,\ \overline{k}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}=\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}a_{\mu h}\overline{a}_{\mu k}\]とおく.しからば\[\hspace{-0.4em}\pmb{〔}h,\ \overline{h}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}=\overset{n}{\underset{\mu=1}{\textstyle\sum}}|\ \!a_{\mu h}\ \!|^2=S_h\]はすなわち定理 $9.\ 12$ の $S_h$ である.
 さて $\varDelta^\prime\hspace{0.7mm}\cdotp\overline{\varDelta}$ なる行列の結合の結果は\[|\ \!\overline{\varDelta}\ \!|^2=\begin{vmatrix}\hspace{-0.4em}\pmb{〔}1,\ \overline{1}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}&\hspace{-0.4em}\pmb{〔}1,\ \overline{2}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}&\cdotp&\hspace{-0.4em}\pmb{〔}1,\ \overline{n}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\\\hspace{-0.4em}\pmb{〔}2,\ \overline{1}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}&\hspace{-0.4em}\pmb{〔}2,\ \overline{2}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}&\cdotp&\hspace{-0.4em}\pmb{〔}2,\ \overline{n}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\\\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\\hspace{-0.4em}\pmb{〔}n,\ \overline{1}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}&\hspace{-0.4em}\pmb{〔}n,\ \overline{2}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}&\cdotp&\hspace{-0.4em}\pmb{〔}n,\ \overline{n}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\end{vmatrix}\tag{$\ 2\ $}\]しかるに $\varDelta^\prime\overline{\varDelta}=\varDelta^\prime E\overline{\varDelta}$ は正なる $H$ 形式の行列である(正なる $H$ 形式 $\sum\ \!x_\mu\overline{x}_\mu$ の一次変形).ゆえに定理 $9.\ 14$ によって上の $(\ 2\ )$ から\[|\ \!\overline{\varDelta}\ \!|^2\leqq\hspace{-0.4em}\pmb{〔}1,\ \overline{1}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\hspace{0.7mm}\cdotp\hspace{-0.4em}\pmb{〔}2,\ \overline{2}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\cdots\hspace{-0.4em}\pmb{〔}n,\ \overline{n}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}=S_1S_2\cdots S_n,\]すなわち定理 $9.\ 13$ である.
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