第 $9$ 章 二 次 形 式
$\S\ 71.$ 行 列 算
$\boldsymbol{1.}$ 二次形式論などにおける必要上から行列算なるものが生れ出でて，現今数学の各所に応用されるに至った．次にその大要を述べる．行列算では，行列そのものを計算の目的物にするのであって，それは行列式の計算とは違う．
ここでは簡単のために正方行列のみに関していう．
$A$，$B$，$\cdots$ を $n$ 行 $n$ 列の行列とするとき，\[A+B\]は $A$ および $B$ における同位置の組成分子の和をその同位置の組成分子とする行列であるとする．これが行列の加法である．すなわち $A$，$B$ における組成分子を $a_{pq}$，$b_{pq}$ として，\[A=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em},\hphantom{B}B=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}b_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\hspace{1cm}\left(\begin{array}{c}p=1,\ 2,\ \cdots,\ n\\[0mm]q=1,\ 2,\ \cdots,\ n\end{array}\right)\]のように略記すれば，\[A+B=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{pq}+b_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}.\] 加法の意味をこのように規約すれば，行列の加法は結合法則および交換法則に従うことは明白である．
また減法を加法の逆とすれば，それは一意的で，特に $A-A$ はすべての組成分子が $0$ である行列である．この行列を $\hspace{-0.4em}\pmb{〔}0\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ または単に $0$ で表わすことにする．二つの行列が相等しいというのはその差が $\hspace{-0.4em}\pmb{〔}0\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ になる場合に限ることにする．すなわち同位置の組成分子がすべて相等しい場合のみである．
$\boldsymbol{2.}$ 行列の乗法は行列の結合（$\S\ 53$）であると規約する．しからば行列の乗法は結合の法則には従うけれども，交換の法則は一般的には成り立たない．
上の記法によれば\begin{alignat*}{1}\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\hspace{-0.4em}\pmb{〔}b_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}&=\hspace{-0.4em}\lower{1mm}\style{transform:scale(2,3)}{〔}\overset{n}{\underset{\sigma=1}{\textstyle\sum}}a_{p\sigma}b_{\sigma q}\lower{1mm}\style{transform:scale(2,3)}{〕}\\[1em]\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\hspace{-0.4em}\pmb{〔}b_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}\hspace{-0.4em}\pmb{〔}c_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}&=\hspace{-0.4em}\lower{1mm}\style{transform:scale(2,3)}{〔}\overset{n}{\underset{\sigma,\ \tau=1}{\textstyle\sum}}a_{p\sigma}b_{\sigma\tau}c_{\tau q}\lower{1mm}\style{transform:scale(2,3)}{〕}\end{alignat*}
| また | \begin{alignat*}{1}(\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}+\hspace{-0.4em}\pmb{〔}b_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em})\hspace{0.7mm}\cdotp\hspace{-0.4em}\pmb{〔}c_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}&=\hspace{-0.4em}\lower{1mm}\style{transform:scale(2,2.1)}{〔}{\textstyle\sum}(a_{p\sigma}+b_{p\sigma})\ \!c_{\sigma q}\lower{1mm}\style{transform:scale(2,2.1)}{〕}\\[1em]&=\hspace{-0.4em}\lower{1mm}\style{transform:scale(2,2.1)}{〔}{\textstyle\sum}\ \!a_{p\sigma}c_{\sigma q}\lower{1mm}\style{transform:scale(2,2.1)}{〕}\hspace{-0.4em}+\hspace{-0.4em}\lower{1mm}\style{transform:scale(2,2.1)}{〔}{\textstyle\sum}\ \!b_{p\sigma}c_{\sigma q}\lower{1mm}\style{transform:scale(2,2.1)}{〕}\end{alignat*} |
〔注意〕 $A=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ とするとき，$\lambda A=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}\lambda a_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$，$-A=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}-a_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ とする．
$\boldsymbol{3.}$ 行列の乗法が交換の法則に従わないところから，除法に二つの場合が生ずる．
行列 $A$，$B$ が与えられたとき\[AX=B\hspace{1cm}\style{font-family:serif}{\text{または}}\hspace{1cm}YA=B\]なる行列 $X$，$Y$ を求めるのを，それぞれ左除法，右除法という．これらの除法が常に可能であるとはいわれず，また可能でも，左除法と右除法とでは結果が違うものと思わねばならない．
行列 $A$ の行列式（それを $|\ \!A\ \!|$ としるす）が $0$ に等しくないときには，左除法も右除法も一意的に可能である．
それを説明するに先だって，行列の乗法単位に関して述べる．
第一対角線上に $1$ をおいて，その他の組成分子は $0$ とすれば単位行列（$\S\ 55$）\[E=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}\delta_{pq}\pmb{〕}\]を得る．すなわち $\delta_{pp}=1$，$\delta_{pq}=0$（$p\neq q$）である．しからば，$A$ が任意の行列であるとき\[AE=EA=A\]になる．
逆に，すべての行列 $A$ に関して，このような性質をもつ行列は $E$ に限る．
いま任意の $A$ に関して $AX=A$ ならば，特に $A=E$ とするとき $EX=E$ すなわち $X=E$．同様に $YA=A$ が $A=E$ に関しても成り立つとき，$Y=E$．
$E$ がすなわち行列の乗法における乗法単位（数の乗法における $1$ に該当するもの）である．
行列 $A$ において，行列式 $|\ \!A\ \!|$ が $0$ に等しくない場合に逆行列 $A^{-1}$ が存在することは $\S\ 55$ に述べた．それは\[AA^{-1}=E,\hspace{1cm}A^{-1}A=E\]なる行列 $A^{-1}$ である．すなわち\[A^{-1}=\hspace{-0.4em}\lower{0.6mm}\style{transform:scale(2,3.14)}{〔}\frac{A_{qp}}{|\ \!A\ \!|}\lower{0.6mm}\style{transform:scale(2,3.14)}{〕}\hspace{-0.6em}\underset{.}{\vphantom{1}}\] 逆行列によって除法の結果を表わすことができる．すなわち $AX=B$ ならば $X=A^{-1}B$，また $YA=B$ ならば $Y=BA^{-1}$．$A^{-1}B$ と $BA^{-1}$ とは必ずしも相等しくはない．
$|\ \!A\ \!|=0$ であるときは逆行列は存在しない．$A$ を法とする除法は特別な場合においてのみ可能で，その結果も一意的でない．
$\boldsymbol{4.}$ 行列の乗法では，その逆算法である除法が一意的でない場合があることに基づいて，いわゆる零因子というものが現われてくる．
それは $A\neq0$，$B\neq0$ でありながら $AB=0$ であるような「因子」$A$，$B$ である．
たとえば，$n=2$ の場合に\[A=\begin{pmatrix}\ 1&0\ \\[1mm]\ 0&0\ \end{pmatrix},\hspace{1cm}B=\begin{pmatrix}\ 0&0\ \\[1mm]\ 1&0\ \end{pmatrix},\hspace{1cm}AB=\begin{pmatrix}\ 0&0\ \\[1mm]\ 0&0\ \end{pmatrix}.\] 詳しくいえば $A\neq0$，$B\neq0$ で，$AB=0$ であるような $A$ を $B$ に対する左零因子といい，$B$ を $A$ に対する右零因子というべきである（上の例では $BA=B\neq0$）．
$|\ \!A\ \!|=0$ であるとき，$A$ は零因子である．いま\[A=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{pq}\pmb{〕}\]とすれば，$|\ \!A\ \!|=0$ であるとき\begin{alignat*}{1}&a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0,\\[2mm]&\hphantom{a_1}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\\[2mm]&a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0\end{alignat*}は $(0,\ 0,\ \cdots,\ 0)$ 以外の解をもつ．そのような解を $n$ 個の列にして行列 $X$ を作れば $AX=0$（$X\neq0$）．同様に $YA=0$（$Y\neq0$）なる行列 $Y$ が存在する．
$\boldsymbol{5.}$ $n$ 次の正方行列において，ただ一つの組成分子 $a_{pq}$ が $1$ で，その他は $0$ であるものを $E_{pq}$ で表わすならば，行列 $A=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{pq}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ は\[A={\textstyle\sum}\ \!a_{pq}E_{pq}\hspace{1cm}(p,\ q=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\]に等しい（$330$ 頁〔注意〕）．ゆえに行列算は $n^2$ 個の単位 $E_{pq}$ をもった高等複素数（$37$ 頁参照）の算法と見なし得るものである．その単位の乗法の規則は\[E_{pq}E_{rs}=\delta_{qr}E_{ps}\hspace{1cm}\delta_{qr}=\begin{cases}0&\ (q\neq r)\\[2mm]1&\ (q=r)\end{cases}\]である．
もしも組成分子にある制限をつけるならば，特殊の行列算が生ずる．たとえば $n=2$ のとき\[\begin{pmatrix}\hphantom{-}\alpha&\beta\ \\[1mm]-\overline{\beta}&\overline{\alpha}\ \end{pmatrix}\]のような形の行列はその和，差および積がやはり同じ形の行列になる．$\alpha=a+bi$，$\beta=c+di$ とおけばこの行列は\[\begin{pmatrix}\hphantom{-}a+bi&c+di\ \\[1mm]-c+di&a-bi\ \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}\ 1&0\ \\[1mm]\ 0&1\ \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}\ i&\hphantom{-}0\ \\[1mm]\ 0&-i\ \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}\hphantom{-}0&1\ \\[1mm]-1&0\ \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}\ 0&i\ \\[1mm]\ i&0\ \end{pmatrix}\]あるいは $\begin{pmatrix}\ 1&0\ \\[1mm]\ 0&1\ \end{pmatrix}=E$，$\begin{pmatrix}\ i&\hphantom{-}0\ \\[1mm]\ 0&-i\ \end{pmatrix}=I$，$\begin{pmatrix}\hphantom{-}0&1\ \\[1mm]-1&0\ \end{pmatrix}=J$，$\begin{pmatrix}\ 0&i\ \\[1mm]\ i&0\ \end{pmatrix}=K$
とおけば\[aE+bI+cJ+dK.\]$I$，$J$，$K$ の掛算は次の通りである．\begin{alignat*}{1}&I^2=J^2=K^2=-E,\hphantom{m}IJ=K,\hphantom{m}JK=I,\hphantom{m}KI=J,\\[2mm]&JI=-K,\hphantom{m}KJ=-I,\hphantom{m}IK=-J.\end{alignat*}すなわち Hamilton の四元法（quaternion）と同様である．一層特別に $E$ と $J$ とだけを取って，実係数 $a$，$b$ を用いて\[aE+bJ=\begin{pmatrix}\hphantom{-}a&b\ \\[1mm]-b&a\ \end{pmatrix}\]のような行列のみを取り扱うことにすれば，この行列算は通常の複素数の計算とまったく同一になる．
$\boldsymbol{6.}$ 一般にただ一つの行列 $A$ とその冪 $A^2$，$A^3$，$\cdots$ とから\[f(A)=a_0E+a_1A+a_2A^2+\cdots+a_mA^m\]のような行列（$A$ の多項式）を作れば，そのような行列からは加法，減法，乗法によってやはり同様の行列ばかりが生ずる．この場合には乗法の交換の法則が成り立つから，除法が関係しない限りは，通常の代数文字 $x$ に関して成り立つ多項式の間の恒等式は $x$ に $A$ を代用してもやはり成り立つ．ただし多項式における定数項 $a_0$ には行列においては $a_0E$ を代用するのである．$E$ は恒等行列で，すなわち乗法単位であるから，それを $1$ で表わし，$a_0E$ を $a_0\hspace{0.7mm}\cdotp1$ としるし，または誤解のおそれがなければ，単に $a_0$ ともしるす．
$A^m$ のような行列は $n^2$ 個の行列 $E_{pq}$ の一次的結合であるから，$n^2$ 個よりも多くが一次的に独立であり得ない．すなわち\[a_0E+a_1A+a_2A^2+\cdots+a_mA^m=0\]のような関係がなくてはならない．これに関して，次の定理が成り立つ．
〔定理 $\boldsymbol{9.\ 16}$〕 行列 $A$ の固有方程式を $\varphi(x)=|\ \!A-xE\ \!|=0$ とすれば，$\varphi(A)=0$（Cayley の定理）．
たとえば\begin{alignat*}{1}&\hphantom{\varphi}A=\begin{pmatrix}\ a&b\ \\[1mm]\ c&d\ \end{pmatrix},\hspace{5mm}\varphi(x)=\begin{vmatrix}\ a-x&b\hphantom{-}\\[1mm]c&d-x\ \end{vmatrix}=(ad-bc)-(a+d)x+x^2\\[2mm]&\varphi(A)=\begin{pmatrix}\ ad-bc&0\\[1mm]0&ad-bc\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\ (a+d)a&(a+d)b\ \\[1mm]\ (a+d)c&(a+d)d\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\ a^2+bc&ab+bd\ \\[1mm]\ ca+dc&bc+d^2\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\ 0&0\ \\[1mm]\ 0&0\ \end{pmatrix}.\end{alignat*}
〔証〕 行列 $A-xE$ の逆行列の組成分子は $|\ \!A-xE\ \!|$ の $n-1$ 次の小行列式を $|\ \!A-xE\ \!|$ すなわち $\varphi(x)$ で割ったものである．その第 $p$ 行第 $q$ 列にあるものを\[\frac{a_{pq}^{(0)}+a_{pq}^{(1)}x+a_{pq}^{(2)}x^2+\cdots+a_{pq}^{(n-1)}x^{n-1}}{\varphi(x)}\]とすれば\[(A-xE)^{-1}=\frac{1}{\varphi(x)}(A_0+A_1x+A_2x^2+\cdots+A_{n-1}x^{n-1}).\]ここで $A_0$，$A_1$，$\cdots$ は次のような行列である．\[A_0=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{pq}^{(0)}\pmb{〕}\hspace{-0.4em},\hphantom{m}A_1=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{pq}^{(1)}\pmb{〕}\hspace{-0.4em},\hphantom{m}A_2=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{pq}^{(2)}\pmb{〕}\hspace{-0.4em},\ \cdots,\ A_{n-1}=\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a_{pq}^{(n-1)}\pmb{〕}\hspace{-0.4em}.\] ゆえに\[(A-xE)(A_0+A_1x+\cdots+A_{n-1}x^{n-1})=\varphi(x)\hspace{0.7mm}\cdotp E\tag{$\ 1\ $}\]
| いま | $\varphi(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_nx^n$ |
| $(\ 2\ )$ から | $\psi(x)E=(A-xE)(B_0+B_1x+\cdots)$ |
$\psi(x)$ は $\varphi(x)$ の約数であるから，$\varphi(x)$ が $n$ 個の相異なる根をもつときには，$\psi(x)$ は $\varphi(x)$ と一致する．ただ $\varphi(x)$ が複根をもつときに，$\psi(x)$ においては，その根の重複度数が低下することはあり得るのである．
$\boldsymbol{8.}$ 行列 $A$ の固有方程式 $\varphi(x)=0$ の根，すなわち $A$ の固有値を $r_1$，$r_2$，$\cdots$，$r_n$ とする．すなわち $\varphi(x)=(r_1-x)(r_2-x)\cdots(r_n-x)$．
〔定理 $\boldsymbol{9.\ 17}$〕 $f(x)$ を任意の多項式とすれば，行列 $f(A)$ の固有値は\[f(r_1),\ f(r_2),\ \cdots,\ f(r_n)\]である．
| 〔証〕 | $f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_m)$ |
$\boldsymbol{9.}$ 一つの行列 $A$ の多項式の間においては，乗法の交換法則が成り立つから，除法が可能である場合には，左除法と右除法とを区別する必要はないが，除法は必ずしも一意的ではないから，零因子がでてきて，計算を複雑にするのである．
$f(x)$，$g(x)$ を多項式とするとき，$|\ \!g(A)\ \!|\neq0$ である場合には $g(A)\hspace{0.7mm}\cdotp X=f(A)$ なる行列 $X$ が $A$ の多項式として求められる．
$|\ \!g(A)\ \!|\neq0$，すなわち，$g(r_1)g(r_2)\cdots g(r_n)\neq0$ であるから，$g(x)$ は $\psi(x)$ と互いに素である．ゆえに\[g(x)\hspace{0.7mm}\cdotp h(x)+\psi(x)\hspace{0.7mm}\cdotp\theta(x)=f(x)\tag{$\ 3\ $}\]のような恒等式が成り立つ．したがって $x$ に $A$ を代入して，$\psi(A)=0$ を用いて，\[g(A)\hspace{0.7mm}\cdotp h(A)=f(A)\tag{$\ 4\ $}\]得る．よって $h(A)$ を商の形に\[\frac{f(A)}{g(A)}\tag{$\ 5\ $}\]で表わす．これは $A$ の多項式に等しい（その次数は $\psi(x)$ の次数よりも低い）．
$(\ 3\ )$ から $A$ の任意の固有値 $r_1$ に関して，$\psi(r_1)=0$ を用いて\[g(r_1)h(r_1)=f(r_1)\]を得る．ゆえに行列 $(\ 5\ )$ の固有値 $h(r_1)$，$h(r_2)$，$\cdots$，$h(r_n)$ は\[\frac{f(r_1)}{g(r_1)},\hphantom{m}\frac{f(r_2)}{g(r_2)},\hphantom{m}\cdots\hphantom{m}\frac{f(r_n)}{g(r_n)}\]に等しい．
行列 $A$ の行を列に転置した行列を $A^\prime$ とすれば $(A^m)^\prime=(A^\prime)^m$．したがって $f(A)$ の転置行列は $f(A^\prime)$ に等しい．また $(\ 4\ )$ から見えるように $\dfrac{f(A)}{g(A)}$ の転置行列は $\dfrac{f(A^\prime)}{g(A^\prime)}$ に等しい．転置行列は原行列と同一の固有方程式をもつ．$\varphi(A^\prime)=0$，$\psi(A^\prime)=0$．
$\boldsymbol{10.}$ 行列算の応用の一例として直交行列の一般の形に関する Cayley の公式を出して見よう．
$P$ を直交行列とすれば $P^\prime P=E$ であることは $\S\ 65$ に述べた．いま簡易のために実係数の正式直交行列（$|\ \!P\ \!|=1$）に限り，かつ\[|\ \!E+P\ \!|\neq0\]と仮定して\[\frac{E-P}{E+P}=A\tag{$\ 7\ $}\]とおく．転置行列に移れば\[\frac{E-P^\prime}{E+P^\prime}=A^\prime,\]$PP^\prime=E$ を用いて，\[\frac{P-E}{P+E}=A^\prime,\]ゆえに\[A^\prime=-A.\]すなわち $A$ は歪対称行列である．逆に $(\ 7\ )$ から\[E-P=A+PA.\]したがって\[\frac{E-A}{E+A}=P\tag{$\ 8\ $}\]を得る．この式で $A$ を任意の歪対称行列とすれば\[P^\prime=\frac{E-A^\prime}{E+A^\prime}=\frac{E+A}{E-A}=P^{-1}.\]ゆえに $(\ 8\ )$ は直交行列である．$A$ は歪対称（組成分子は実数）であるから，その固有値は $0$ または純虚数である（$\S\ 68$，問題 $1$）．ゆえに $|\ \!E+A\ \!|\neq0$ で，$(\ 8\ )$ から直交行列が得られるのである．
よって次の定理を得る．
〔定理 $\boldsymbol{9.\ 18}$〕 $A$ を任意の実歪対称行列とすれば\[P=\frac{E-A}{E+A}\]は直交行列である．$|\ \!E+P\ \!|\neq0$ である直交行列はすべてこの式によって求められる．
$(\ 8\ )$ から見えるように\[|\ \!P\ \!|=\frac{|\ \!E-A\ \!|}{|\ \!E+A\ \!|}=\frac{|\ \!E+A^\prime\ \!|}{|\ \!E+A\hphantom{^\prime}\ \!|}=1.\] $|\ \!P\ \!|=-1$ なる直交行列は $|\ \!E+P\ \!|\neq0$ なる条件のために除外されている．ただし $|\ \!P\ \!|=1$ でも，$|\ \!E+P\ \!|=0$ なるものは除外するのである．
| 〔例〕 | $n=3.$ |
| $A=\begin{pmatrix}\hphantom{-}0&\hphantom{-}a&b\ \\[1mm]-a&\hphantom{-}0&c\ \\[1mm]-b&-c&0\ \end{pmatrix}$ | |
| $|\ \!E+A\ \!|=\begin{vmatrix}\hphantom{-}1&\hphantom{-}a&b\ \\[1mm]-a&\hphantom{-}1&c\ \\[1mm]-b&-c&1\ \end{vmatrix}=1+a^2+b^2+c^2,$ | |
| $(E+A)^{-1}=\dfrac{1}{1+a^2+b^2+c^2}\begin{pmatrix}\ 1+c^2&-a-bc&-b+ac\ \\[1mm]\ a-bc&\hphantom{-}1+b^2&-c-ab\ \\[1mm]\ b+ac&\hphantom{-}c-ab&\hphantom{-}1+a^2\ \end{pmatrix}$ |
ただし $|\ \!E+P\ \!|=0$，すなわちたとえば，\[P=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\hspace{5mm}\style{font-family:serif}{\text{一般には}}\hspace{5mm}P=\begin{pmatrix}l\hphantom{^{\prime\prime}}&m\hphantom{^{\prime\prime}}&n\hphantom{^{\prime\prime}}\\l^\prime\hphantom{^\prime}&m^\prime\hphantom{^\prime}&n^\prime\hphantom{^\prime}\\l^{\prime\prime}&m^{\prime\prime}&n^{\prime\prime}\end{pmatrix}\]
| $l+m^\prime+n^{\prime\prime}=-1$ （$\S\ 68$，問題 $7$） |
上記は三つの変数 $a$，$b$，$c$ によって（$P$ の九つの組成分子の間に六つの条件があるから）直交行列を表わそうとしたのである．もしも変数を四つにして斉次にすれば，$1$，$a$，$b$，$c$，の代わりに $d$，$a$，$b$，$c$ を代入し，かつ $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ とすることができる．しからば\[P=\left(\begin{array}{lll}d^2+c^2-a^2-b^2&-2ad-2bc&-2bd+2ac\\[1mm]2ad-2bc&d^2+b^2-a^2-c^2&-2cd-2ab\\[1mm]2bd+2ac&2cd-2ab&d^2+a^2-b^2-c^2\end{array}\right).\] ここでは，上の除外の場合が $d=0$ として包括される．この公式は $\S\ 6$，$2$（$29$ 頁）に掲げたものと同一である（記号だけが違う．上の $a$，$b$，$c$ に $c$，$-b$，$a$ を代入すれば $\S\ 6$ の公式を得る）．
〔問題〕 $\S\ 68$ に掲げた $U$ 行列は\[\overline{U}{}^\prime U=E\]を満足するものである．$A$ を $\overline{A}{}^\prime=-A$（$a_{pq}=-\overline{a}_{qp}$，$a_{pp}$ は純虚数）である行列とし，$|\ \!\varepsilon\ \!|=1$ とすれば\[U=\frac{\varepsilon(E-A)}{E+A}\tag{$\ 9\ $}\]は $U$ 行列である．すべての $U$ 行列はこのようにして作られる．
〔解〕 $A$ の固有値は純虚数であるから $|\ \!E+A\ \!|\neq0$．ゆえに $(\ 9\ )$ の行列は存在する．さて\[\overline{U}{}^\prime=\frac{\overline{\varepsilon}(E-\overline{A}{}^\prime)}{E+\overline{A}{}^\prime}=\frac{\overline{\varepsilon}(E+A)}{E-A}=U^{-1}\]ゆえに $(\ 9\ )$ は行列である．逆に $(\ 9\ )$ から\[A=\frac{\varepsilon-U}{\varepsilon+U}.\]この式で $\overline{U}{}^\prime U=E$ とすれば $\overline{A}{}^\prime=-A$ を得る．$U$ が与えられたとき，$|\ \!\varepsilon+U\ \!|\neq0$ なるように $\varepsilon$ が取られるから，すべての $U$ 行列は $(\ 9\ )$ から出る．
〔注意〕 $A$ の固有値を $ri$ とすれば $U$ の固有値は $\dfrac{\varepsilon(1-ri)}{1+ri}$ である（上記 $9$）．ゆえにその絶対値は $1$ に等しい．