第 $10$ 章 終結式 スツルムの問題と二次形式
$\S\ 72.$ 終結式を行列式として表わすこと
$\boldsymbol{1.}$ 本章では，行列式および二次形式の応用として，終結式に関する細論をする．二つの方程式\begin{alignat*}{4}f(x)&=a_0x^m&&+a_1x^{m-1}&&+\cdots+a_m&&=0,\\[2mm]g(x)&=b_0x^n&&+b_1x^{n-1}&&+\cdots+b_n&&=0\end{alignat*}が共通根をもつために必要かつ十分な条件は，$f$ と $g$ との終結式が $0$ に等しいことであるのは，根の対称式として，$\S\ 28$ に証明した通りである．
この条件を直接に $f$ と $g$ の係数で表わすために Sylvester が次のような考案をした．
いま $f(x)=0$，$g(x)=0$ に共通根があると仮定して，$x$ はその共通根を表わすものとすれば，\begin{alignat*}{2}&x^{n-1}f(x)=a_0x^{m+n-1}+a_1x^{m+n-2}+\cdots+a_mx^{n-1}&&=0,\\[2mm]&x^{n-2}f(x)=\hphantom{a_0x^{m+n-10}+}a_0x^{m+n-2}+\cdots\cdots\cdots\cdots+a_mx^{n-2}&&=0,\\[2mm]&\ \cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp&&\\[2mm]&\hphantom{x^{n-1}}f(x)=\hphantom{a_0x^{m+n-1}+a_1x^{m+n-2}}a_0x^m+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots+a_m&&=0,\\[2mm]&x^{m-1}g(x)\ \!\!=b_0x^{m+n-1}+b_1x^{m+n-2}+\cdots+b_nx^{m-1}&&=0,\\[2mm]&x^{m-2}g(x)\ \!\!=\hphantom{b_0x^{m+n-1０}+}b_0x^{m+n-2}+\cdots\cdots\cdots\cdots+b_nx^{m-2}&&=0,\\[2mm]&\ \cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp&&\\[2mm]&\hphantom{x^{n-1}}g(x)=\hphantom{b_0x^{m+n-1}+b_1x^{m+n-2}}b_0x^n+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots+b_n&&=0.\end{alignat*} これらの $m+n$ 個の等式を，$x^{m+n-1}$，$\cdots$，$x$，$1$ なる $m+n$ 個の数の間の斉次一次方程式と見れば，\[R=\begin{array}{ccc}\begin{vmatrix}\ a_0&a_1&\cdotp&\cdotp&a_m&&&\\&a_0&a_1&\cdotp&\cdotp&a_m&\cdotp&\\&&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\\&&&a_0&a_1&\cdotp&\cdotp&a_m\ \\\ b_0&b_1&\cdotp&\cdotp&b_n&&&\\&b_0&b_1&\cdotp&\cdotp&b_n&&\\&&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\\&&&b_0&b_1&\cdotp&\cdotp&b_n\ \end{vmatrix}&\begin{array}{l}\hspace{-0.6em}\style{transform:scale(2,5)}{\}}\hspace{0.4em}\begin{array}{c}n\\\style{font-family:serif}{\text{行}}\end{array}\\[2.9em]\hspace{-0.6em}\style{transform:scale(2,5)}{\}}\hspace{0.4em}\begin{array}{c}m\\\style{font-family:serif}{\text{行}}\end{array}\end{array}&\hspace{-1em}=0.\end{array}\] （文字のしるしてない所は $0$ でうずめる．以下同様）．
ゆえに $R=0$ は共通根があるために必要な条件である．
上の行列式 $R$ は，係数 $a$ に関しては $n$ 次，$b$ に関しては，$m$ 次であること，$\S\ 28$ の終結式 $R(f,\ g)$ と同様である．これらが実際同一であることは，次のように考えれば明白である．
$R(f,\ g)=0$ は $f(x)$ と $g(x)$ とに共通の根があるために十分な条件である（$\S\ 28$）から，$R(f,\ g)=0$ であるときには，共通根が存在する．しかるに上のように共通根があれば，$R=0$．すなわち $R(f,\ g)=0$ のときには，$R=0$ である．
しかるに $R(f,\ g)$ も $R$ も $a$，$b$ という文字の多項式で，かつ $R(f,\ g)$ は分解することのできない多項式である．よって上の結果から，$R$ は $R(f,\ g)$ で割り切れなければならない（定理 $4.\ 10$）．また次数の比較によって，この商は定数でなければならない．しかるに，$R$ も $R(f,\ g)$ も $a_o^nb_n^m$ という項を含むから，$R=R(f,\ g)$．
$\boldsymbol{2.}$ $\S\ 28$ の定理を用いないで，すなわち代数学の基本定理によらないで，単に式の上から $R=0$ が $f(x)$ と $g(x)$ とに共通因子の存在するための十分な条件であることを証明するのはややわずらわしいが，次にその証明を試みるであろう．
上の $R$ の第 $1$，$\cdots$，$m+n-1$ 列に $x^{m+n-1}$，$\cdots$，$x$ を掛けて最後の列に加えるならば，最後の列は $x^{n-1}f$，$x^{n-2}f$，$\cdots$，$f$；$x^{m-1}g$，$\cdots$，$g$ になる．それを最後の列に関して展開すれば\[R=fQ-gP\]を得る．$P$，$Q$ は $x$ に関して見掛け上 $m-1$，$n-1$ 次の多項式である．さて $R=0$ であるときは，$fQ=gP$．$P$，$Q$ がそれぞれ $f$，$g$ よりも低次であるから $f$，$g$ は公約数をもたなければならない．ただしこの議論は $P$ または $Q$ が $x$ に関して恒等的に $0$ にならないことが確かめられなければ妥当でない．そこで問題がむずかしくなって，$R$ の小行列式の間の関係を吟味する必要が生ずるのである．
われわれの目的は $R$ が終結式であることを確かめようというばかりではなくて，行列 $R$ の性質と $f$，$g$ の公約数との間に存在する関係を徹底的にせん明することにある．実際，行列 $R$ から，$f$，$g$ が公約数をもつための条件を得るだけでなく，公約数がある場合における最大公約数の次数を決定することができる．また最大公約数それ自身を求めることもできる．更に進んでは $f(x)$，$g(x)$ に Euclid の算法を行なうときに出てくる逐次の剰余までも求めることができる．むしろ，行列 $R$ の面上において，Euclid の算法を行なうというのが適切である．
$\boldsymbol{3.}$ 上の問題を解くには，行列 $R$ の構造を少し変更して，次のようにするのが便利である．\[f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n\hspace{1cm}(a_0\neq0)\]を $n$ 次の多項式とし，\[g(x)=b_0x^n+b_1x^{n-1}+\cdots+b_n\hspace{1cm}\hphantom{(a_0\neq0)}\]は形式上 $n$ 次の形に表わすが，実際は $n$ よりも低次でもあり得るとする．すなわち $g(x)$ の真の次数が $n-\nu$ ならば $b_0=b_1=\cdots=b_{\nu-1}=0$，$b_\nu\neq0$ とする．もちろん $g(x)$ が $n$ 次ならば，$\nu=0$，$b_0\neq0$．
$f(x)$ と $g(x)$ との係数を一列ずつ下げて $k$ 対並べて，次のような行列を作って，それを $(R_k)$ と名づける．\[(R_k)=\begin{pmatrix}\ a_0&a_1&\cdotp&\cdotp&\cdotp&a_n&&\ \\[1mm]\ b_0&b_1&\cdotp&\cdotp&\cdotp&b_n&&\ \\[1mm]\ &a_0&a_1&\cdotp&\cdotp&\cdotp&a_n&\ \\[1mm]\ &b_0&b_1&\cdotp&\cdotp&\cdotp&b_n&\ \\[1mm]\ &\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\ \\[1mm]\ &&a_0&a_1&\cdotp&\cdotp&\cdotp&a_n\ \\[1mm]\ &&b_0&b_1&\cdotp&\cdotp&\cdotp&b_n\ \end{pmatrix}\hspace{1em}(k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\tag{$\ 1\ $}\]すなわち $(R_k)$ は行数 $2k$，列数 $n+k$ である．
$(R_k)$ の最後の列から始めて，次々の列に $1$，$x$，$x^2$，$\cdots$，$x^{n-k}$ を掛けて加えたものを $2k$ 番目の列にして，$(R_k)$ を方形にたたんで，$2k$ 次の行列式\[R_k(x)=\left|\begin{array}{llll}\ a_0&a_1&\hphantom{1}\cdotp\hphantom{m}\cdotp\hphantom{m}\cdotp&\cdotp\hphantom{m}\cdotp\ a_{2k-1}x^{n-k}+a_{2k}x^{n-k-1}\hphantom{_{-1}}+\cdots\ \\[1mm]\ b_0&b_1&\hphantom{1}\cdotp\hphantom{m}\cdotp\hphantom{m}\cdotp&\cdotp\hphantom{m}\cdotp\ b_{2k-1}x^{n-k}+b_{2k}x^{n-k-1}\hphantom{_{-1}}+\cdots\ \\[1mm]\ &a_0&a_1\hphantom{m}\cdotp\hphantom{m}\cdotp&\cdotp\hphantom{m}\cdotp\ a_{2k-2}x^{n-k}+a_{2k-1}x^{n-k-1}+\cdots\ \\[1mm]\ &b_0&b_1\hphantom{m}\cdotp\hphantom{m}\cdotp&\cdotp\hphantom{m}\cdotp\ b_{2k-2}x^{n-k}+b_{2k-1}x^{n-k-1}+\cdots\ \\[1mm]&&\hphantom{1}\cdotp\hphantom{m}\cdotp\hphantom{m}\cdotp&\cdotp\hphantom{m}\cdotp\hphantom{m}\cdotp\hphantom{m}\cdotp\hphantom{m}\cdotp\\[1mm]&&\hphantom{1}\ a_0\hphantom{m}a_1&\cdotp\hphantom{m}\cdotp\ a_kx^{n-k}+a_{k+1}x^{n-k-1}+\cdots+a_n\ \\[1mm]&&\hphantom{1}\ b_0\hphantom{m}b_1&\cdotp\hphantom{m}\cdotp\ b_kx^{n-k}+b_{k+1}x^{n-k-1}+\cdots+b_n\ \end{array}\right|\tag{$\ 2\ $}\]を作る．$R_k(x)$ は $x$ に関して $n-k$ 次以下の多項式である．それを\[R_k(x)=R_kx^{n-k}+R_{k,\ 1}x^{n-k-1}+\cdots+R_{k,\ n-k}\]のように $x$ の降冪に排列してしるせば $R_k$ は次のような $2k$ 次の行列式で $R_{k,\ 1}$，$R_{k,\ 2}$，$\cdots$ は $R_k$ の最終列の文字の番号をそれぞれ $1$，$2$，$\cdots$ だけ増したものである．ただし $a$ も $b$ も $n$ よりも大きい番号をもつものは $0$ を表わすものとする．\[R_k=\begin{vmatrix}\ a_0&a_1&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&a_{2k-1}\ \\[1mm]\ b_0&b_1&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&b_{2k-1}\ \\[1mm]\ &a_0&a_1&\cdotp&\cdotp&\cdotp&a_{2k-2}\ \\[1mm]\ &b_0&b_1&\cdotp&\cdotp&\cdotp&b_{2k-2}\ \\[1mm]\ &\cdotp&\cdotp&\cdotp& & & \ \\[1mm]\ & &a_0&a_1&\cdotp&\cdotp&a_k\hphantom{_{2-2}}\ \\[1mm]\ & &b_0&b_1&\cdotp&\cdotp&b_k\hphantom{_{2-2}}\ \end{vmatrix}\tag{$\ 3\ $}\] $R_k(x)$ の第一列から始めて次々の列に $x^{n+k-1}$，$x^{n+k-2}$，$\cdots$ を掛けて最後の列に加えると $R_k(x)$ が見やすい形になる．\[R_k(x)=\begin{vmatrix}\ a_0&a_1&\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ a_{2k-2}\hphantom{M}x^{k-1}f(x)\ \\[1mm]\ b_0&b_1&\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ b_{2k-2}\hphantom{M}x^{k-1}g(x)\ \\[1mm]&a_0&a_1&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ a_{2k-3}\hphantom{M}x^{k-2}f(x)\ \\[1mm]&b_0&b_1&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ b_{2k-3}\hphantom{M}x^{k-2}g(x)\ \\[1mm]&&\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{f(x)ff}\\[1mm]&&\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{f(x)ff}\\[1mm]&&&a_0\hphantom{M}a_1\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}a_{k-1}\hphantom{Mx^{k-21}}f(x)\ \\[1mm]&&&b_0\ \!\hphantom{M}b_1\ \!\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}b_{k-1}\hphantom{Mx^{k-21}}g(x)\ \end{vmatrix}\tag{$\ 4\ $}\] $\boldsymbol{4.}$ さて $f(x)$ と $g(x)$ との実際の次数の差を $\nu$ とすれば，$b_0$，$b_1$，$\cdots$ のうちで $0$ にならない最初のものは $b_\nu$ である．
$\nu\geqq1$ とすれば，\[R_1(x)=\begin{vmatrix}\ a_0&f(x)\ \\[1mm]&g(x)\ \end{vmatrix}=a_0g(x).\tag{$\ 5\ $}\]$\nu\gt1$ ならば，$1$ と $\nu$ との間の $k$ に関しては\[R_k(x)=0.\hspace{1cm}(1\lt k\lt\nu)\tag{$\ 6\ $}\]また $R_\nu(x)$ における $b$ に関する行を下の方へ移せば\[\varepsilon_\nu R_\nu(x)=\begin{vmatrix}\ a_0&a_1&\cdotp&\cdotp&\cdotp&x^{\nu-1}f(x)\ \\[1mm]\ &a_0&a_1&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{(x)}\ \\[1mm]\ &&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{M}f(x)\ \\[1mm]\ &&&b_\nu&\cdotp&x^{\nu-1}g(x)\ \\[1mm]\ &&&&\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{(x)}\ \\[1mm]\ &&&&&\hphantom{x^{\nu-1}}g(x)\ \end{vmatrix}=a_0^\nu b_\nu^{\nu-1}g(x),\tag{$\ 7\ $}\]
| ただし | $\varepsilon_\nu=(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{\ \nu(\nu-1)\ }{2}}.$ |
このような記号を用いるならば，上の変形によって行列式 $(\ 8\ )$ の $A$ の部第一行\[a_0\ a_1\cdots\hphantom{-}a_\nu\hphantom{-}a_{\nu+1}\cdots\hphantom{-}x^{k-1}f(x)\]は\[0\ \ 0\cdots-c_\nu-c_{\nu+1}\cdots-x^{k-1}h(x)\]に変わるのである．
$A$ の第二行以下第 $k$ 行までに，同様の操作を行なえば，ついに次のようになる．\[\varepsilon_{\nu+k}R_{\nu+k}(x)=a_0^\nu\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{r:ll}\ 0\hphantom{m}0\hphantom{m}\cdotp\hphantom{m}0\ &-c_\nu\hphantom{M}-c_{\nu+1}\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\cdotp\hphantom{M}-x^{k-1}h(x)\ \\0\hphantom{m}\cdotp\hphantom{m}\cdotp\ &\hphantom{1}0\hphantom{Mn}-c_\nu\hphantom{1_{+1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\cdotp\hphantom{M}-x^{k-2}h(x)\ \\\cdotp\hphantom{m}\cdotp\ &\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\0\ &\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{k}-c_\nu&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{m1}-h(x)\\\hdashline\ b_\nu\hphantom{n}b_{\nu+1}\hphantom{n}\ \cdotp\ &\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\ x^{\nu+k-1}g(x)\ \\b_\nu\hphantom{b}\cdotp\hphantom{m}\cdotp\ &\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\ x^{\nu+k-2}g(x)\ \\\cdotp\hphantom{m}\cdotp\ &\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\b_\nu&\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{Mn}x^kg(x)\ \\\hdashline&b_\nu\hphantom{n}b_{\nu+1}\hphantom{M1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{P}x^{k-1}g(x)\ \\&\ \hphantom{b_\nu i}b_\nu\hphantom{_{+1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{P}x^{k-2}g(x)\ \\&\ \hphantom{b_\nu ib_{\nu+1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ \\&\ \hphantom{b_\nu ib_{\nu+1}\cdotp M}b_\nu\hphantom{n}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}g(x)\ \end{array}\right|&\hspace{-0.6em}\begin{array}{ll}\style{transform:scale(2,5.4)}{\}}&\hspace{-0.4em}k\ \style{font-family:serif}{\text{行}}\\[4.4em]\style{transform:scale(2,5.4)}{\}}&\hspace{-0.4em}\nu\ \style{font-family:serif}{\text{行}}\\[4.4em]\style{transform:scale(2,5.4)}{\}}&\hspace{-0.4em}k\ \style{font-family:serif}{\text{行}}\end{array}\end{array}\]この行列式から因数 $(-1)^{\nu k}b_\nu^\nu$ を出して次数を $2k$ に縮め，また $c$ に関する行の符号を変え，かつそれを一つずつ $b$ の行の間へ移転させると，右辺は\[(-1)^{\nu k}\varepsilon_ka_0^\nu b_\nu^\nu R_k^{(1)}(x)\]になる．よって $\varepsilon_{\nu+k}=\varepsilon_\nu\varepsilon_k(-1)^{\nu k}$ に注意して\[R_{\nu+k}(x)=\varepsilon_\nu(a_0b_\nu)^\nu R_k^{(1)}(x).\tag{$\ 9\ $}\] $R_k^{(1)}(x)$ は $g(x)$ と $h(x)$ とに関して $R_k$ と同様の構造をもつ．すなわち\[R_k^{(1)}(x)=\left|\begin{array}{l}\ b_\nu\hphantom{n}b_{\nu+1}\hphantom{_1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{n}x^{k-1}g(x)\ \\[1mm]\ c_\nu\hphantom{n}c_{\nu+1}\hphantom{_1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{n}x^{k-1}h(x)\ \\[1mm]\ \ \hphantom{b_\nu i}b_\nu\hphantom{_{+11}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{n}x^{k-2}g(x)\ \\[1mm]\ \ \hphantom{b_\nu i}c_\nu\hphantom{_{+11}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{n}x^{k-2}h(x)\ \\[1mm]\ \ \hphantom{b_{\nu1}i}\cdotp\hphantom{_{+11}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[1mm]\ \ \hphantom{b_\nu ib_{\nu+11}}b_\nu\hphantom{_+}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{nn\!}g\ \!(x)\ \\[1mm]\ \ \hphantom{b_\nu ib_{\nu+11}}c_\nu\hphantom{_+}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}h(x)\ \end{array}\right|\tag{$10$}\]\begin{alignat*}{2}\hphantom{(c_\nu=0)}g(x)&=b_\nu x^{n-\nu}+b_{\nu+1}x^{n-\nu-1}+\cdots+b_n,&\hspace{1cm}&(b_\nu\neq0)\\[2mm]h(x)&=c_\nu x^{n-\nu}+c_{\nu+1}x^{n-\nu-1}+\cdots+c_n,&\hspace{1cm}&(c_\nu=0).\end{alignat*}$\nu=0$ すなわち $f(x)$ と $g(x)$ とが同次であるときには，\begin{alignat*}{1}f(x)&=q_0g(x)-h(x),\\[2mm]h(x)&=c_0x^n+c_1x^{n-1}+\cdots+c_n,\hspace{1cm}c_0=0,\end{alignat*}\[R_k(x)=R_k^{(1)}(x).\] さて，$g(x)$ を $h(x)$ で割った剰余を $-k(x)$ として，同様の変形を行ない，ついに $f(x)$，$g(x)$ の最大公約数 $l(x)$ を得るに至ったとする．$f(x)$ から $g(x)$，$g(x)$ から $h(x)$，$h(x)$ から $k(x)$，$\cdots$ への実際の次数の低下を $\nu$，$\nu^\prime$，$\nu^{\prime\prime}$，$\cdots$ とし，また便宜上 $f(x)$，$g(x)$，$h(x)$，$k(x)$，$\cdots$，$l(x)$ の最高次の項の係数（すなわち $a_0$，$b_\nu$，$c_{\nu+\nu^\prime}$，などを $a$，$b$，$c$，$d$，$\cdots$，$e$ としるし，\[g(x)=b\hspace{0.7mm}\cdotp g^{\large*}(x),\ h(x)=c\hspace{0.7mm}\cdotp h^{\large*}(x),\ k(x)=d\hspace{0.7mm}\cdotp k^{\large*}(x),\ \cdots,\ l(x)=e\hspace{0.7mm}\cdotp l^{\large*}(x)\]などとして，上の逐次の変形の結果を書けば次のようになる．\begin{alignat*}{1}&R_1(x)=ab\hspace{0.7mm}\cdotp g^{\large*}(x),\hspace{1cm}R_2(x)=0,\ \cdots,\ R_{\nu-1}(x)=0\ ;\\[2mm]&R_\nu(x)=\varepsilon_\nu(ab)^\nu\hspace{0.7mm}\cdotp g^{\large*}(x)\\[2mm]&R_{\nu+1}(x)=\varepsilon_\nu(ab)^\nu bc\hspace{0.7mm}\cdotp h^{\large*}(x),\hspace{1cm}R_{\nu+2}(x)=0,\ \cdots,\ R_{\nu+\nu^\prime-1}(x)=0\ ;\\[2mm]&R_{\nu+\nu^\prime}(x)=\varepsilon_\nu\varepsilon_{\nu^\prime}(ab)^\nu(bc)^{\nu^\prime}\hspace{0.7mm}\cdotp h^{\large*}(x),\\[2mm]&R_{\nu+\nu^\prime+1}(x)=\varepsilon_\nu\varepsilon_{\nu^\prime}(ab)^\nu(bc)^{\nu^\prime}cd\hspace{0.7mm}\cdotp k^{\large*}(x),\\[2mm]&\hphantom{R_{\nu+\nu^\prime+\nu^{\prime\prime}}(x)=\varepsilon_\nu\varepsilon_{\nu^\prime}\varepsilon_{\nu^{\prime\prime}}(ab)^\nu(bc)^{\nu^\prime}}R_{\nu+\nu^\prime+2}(x)=0,\ \cdots,\ R_{\nu+\nu^\prime+\nu^{\prime\prime}-1}(x)=0\ ;\\[2mm]&R_{\nu+\nu^\prime+\nu^{\prime\prime}}(x)=\varepsilon_\nu\varepsilon_{\nu^\prime}\varepsilon_{\nu^{\prime\prime}}(ab)^\nu(bc)^{\nu^\prime}(cd)^{\nu^{\prime\prime}}\hspace{0.7mm}\cdotp k^{\large*}(x),\\[2mm]&\hphantom{R_\nu}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[2mm]&R_{n-m}(x)=\varepsilon_\nu\varepsilon_{\nu^\prime}\varepsilon_{\nu^{\prime\prime}}\cdots(ab)^\nu(bc)^{\nu^\prime}(cd)^{\nu^{\prime\prime}}\cdots l^{\large*}(x),\\[2mm]&R_{n-m+1}(x)=0,\\[2mm]&\hphantom{R_{n-}}\style{font-family:serif}{\text{以下}}\ R(x)\ \style{font-family:serif}{\text{すべて}}\ 0.\end{alignat*}ただし $n-m=\nu+\nu^\prime+\nu^{\prime\prime}+\cdots$ で，$m$ は最大公約数 $l(x)$ の次数である．
上にもしるしたように\[R_k(x)=R_kx^{n-k}+R_{k,\ 1}x^{n-k-1}+\cdots+R_{k,\ n-k}\]とおけば，係数 $R_k$，$R_{k,\ 1}$，$\cdots$ などに関しては上の表から\begin{alignat*}{1}&R_1=0,\hphantom{R}R_{1,\ 1}=0,\ \cdots,\ R_{1,\ \nu-1}=ab,\ \cdots(\nu\gt1)\\[2mm]&R_2=0,\hphantom{R}R_{2,\ 1}=0\cdots,\ \ \hphantom{,}R_{2,\ n-2}=0\\[2mm]&\hphantom{R_2}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[2mm]&R_\nu=\varepsilon_\nu(ab)^\nu,\ \cdots\\[2mm]&R_{\nu+1}=0,\hphantom{R}R_{\nu+1,\ 1}=0,\ \cdots,\ R_{\nu+1,\ \nu^\prime-1}=\varepsilon_\nu(ab)^\nu bc,\ \cdots(\nu^\prime\gt1)\\[2mm]&R_{\nu+2}=0,\hphantom{R}R_{\nu+2,\ 1}=0,\ \cdots,\ R_{\nu+2,\ n-\nu-2}=0,\\[2mm]&\hphantom{R_2}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[2mm]&R_{\nu+\nu^\prime}=\varepsilon_\nu\varepsilon_{\nu^\prime}(ab)^\nu(bc)^{\nu^\prime},\ \cdots\\[2mm]&\hphantom{R_2}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[2mm]&R_{n-m}=\varepsilon_\nu\varepsilon_{\nu^\prime}\varepsilon_{\nu^{\prime\prime}}\cdots(ab)^\nu(bc)^{\nu^\prime}(cb)^{\nu^{\prime\prime}}\cdots\\[2mm]&R_{n-m+1}=0,\ \cdots,\ R_n=0.^{\Large*}\end{alignat*} $^{\large*}\ $ $f$ と $g$ とが $n$ 次のときには $R_{\nu+1}(x)$ から始めて $\nu=0$（$\varepsilon_\nu=1$）とするのである． 〔定理 $\boldsymbol{10.\ 1}$〕 $n$ 次の多項式 $f(x)$ と $n$ 次以下の多項式 $g(x)$ とから作った行列式 $R_1$，$R_2$，$\cdots$，$R_n$ の中で $0$ にならない最後のものが $R_{n-m}$ ならば，$R_{n-m}(x)$ が $f(x)$ と $g(x)$ との最大公約数で，$m$ がその次数である．
$R_k\neq0$ ならば，$R_k(x)$ は定数因子を度外におけば $f$，$g$ に行なった Euclid 算法中に現われる一つの剰余である．
もし $R_k\neq0$ で，$R_{k+1}=R_{k+2}=\cdots=R_{k+\mu-1}=0$，$R_{k+\mu}\neq0$ ならば $R_k(x)$ に次いで現われる剰余 $R_{k+\mu}(x)$ は次数において $\mu$ だけ低下する．
そのとき $R_{k+1}(x)$ は，定数因子を度外におけば，この $n-k-\mu$ 次の剰余 $R_{k+\mu}(x)$ に等しく，$R_{k+2}(x)$，$\cdots$，$R_{k+\mu-1}(x)$ は恒等的に $0$ となる．
文献上には，通例 $\boldsymbol{1.}$ に出したように，$f(x)$，$g(x)$ の実際の次数を $m$，$n$ とし，$f(x)$ の係数を一つずつ下げて $n$ 行，$g(x)$ の係数を一つずつ下げて $m$ 行並べた行列式が取り扱われている．上文では，$g(x)$ を $n$ 次の形に表わして，その最初の $n-m=\nu$ 個の $0$ に等しい係数をも並べて書くことにしたために，$\nu\gt0$ のときには\[R_1(x)=a_0g(x),\ R_2(x)=0,\ \cdots,\ R_{\nu-1}(x)=0,\ R_\nu(x)=\varepsilon_\nu a_0^\nu b_\nu^{\nu-1}g(x)\]など，一見無益に感じられるものが現われて来たのであるが，注意深い読者が看破したであろう通り，このようにすることによって，$f(x)$，$g(x)$ に対する $R(x)$ から，次々に $g(x)$，$h(x)$ に対する $R^{(1)}(x)$，また $h(x)$，$k(x)$ に対する $R^{(2)}(x)$ などに，円滑に乗り移ることができたのである．
また係数 $a$ と係数 $b$ とを別々にまとめて並べる代わりに，$a$，$b$ を交互に並べたのは符号の関係上の便利のためである．従来の文献において例とするように，小行列式 $R_k$ が $0$ になるか，ならないかだけを目標にするならば，符号はどちらでもよいけれども，後に至って Sturm の問題への応用上，$R_k$ の符号を考察する必要が生ずる場合に，上の変改が実際便利であることがわかるであろう．