代 数 学 講 義 改訂新版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 72.$ 終結式を行列式として表わすこと  $\S\ 74.$ Sturm の問題への応用 $\blacktriangleright$

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第 $10$ 章 終結式 スツルムの問題と二次形式


 $\S\ 73.$ $\boldsymbol{R_k\left(x\right)}$ の変形

 $\boldsymbol{1.}$ 前節に示した行列式 $R_k(x)$ の形を半分に縮小して,それを $k$ 次の行列式に変形することができる.その結果だけを計算によって出すことは容易であるが,少し問題の根底に立ち入って説明を試みることにする.
 前の通り\begin{alignat*}{1}f(x)&=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n,\\[2mm]g(x)&=b_0x^n+b_1x^{n-1}+\cdots+b_n\end{alignat*}とする.ただし本節では専ら式の形について論ずるのであるから係数 $a$,$b$ は文字で与えられたものとして,その間に何等特別な関係はないものとする.
 前節 $(\ 4\ )$ ($345$ 頁)の行列式を最後の列に関して展開すれば\[R_k(x)=P\hspace{0.7mm}\cdotp g-Q\hspace{0.7mm}\cdotp f\]のような形になる.ただし $P$,$Q$ は $k-1$ 次以下の多項式である.そうして $R_k(x)$ は $n-k$ 次の多項式である.
 いま一般に\[Pg-Qf=T\tag{$\ 1\ $}\]において,$P$,$Q$ は $k-1$ 次以下で,しかも $T$ が $n-k$ 次になるような $T$ を求めよう.$T=R_k(x)$ はその一つの解である.
 $k-1$ 次の多項式は $k$ 個の項を含むから,$k$ だけが一次的に独立である.いま $P_1$,$P_2$,$\cdots$,$P_k$ を一次的に独立な $k-1$ 次以下の多項式として,$P_1g$,$P_2g$,$\cdots$,$P_kg$ を $f$ で割った商を $Q_1$,$Q_2$,$\cdots$,$Q_k$  剰余を $T_1$,$T_2$,$\cdots$,$T_k$ として,それらを次のように表わす.\begin{alignat*}{1}&P_1g-Q_1f=t_{11}x^{n-1}+t_{12}x^{n-2}+\cdots+t_{1n}=T_1,\\[2mm]&P_2g-Q_2f=t_{21}x^{n-1}+t_{22}x^{n-2}+\cdots+t_{2n}=T_2,\\[2mm]&\ \cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\\[2mm]&P_kg-Q_kf=t_{k1}x^{n-1}+t_{k2}x^{n-2}+\cdots+t_{kn}=T_k.\end{alignat*} 任意の $k-1$ 次の多項式 $P$ は $P_1$,$P_2$,$\cdots$,$P_k$ の一次的結合として表わされる.それを\[P=c_1P_1+c_2P_2+\cdots+c_kP_k\]として,$Pg$ を $f$ で割った商を $Q$,剰余を $T$ とすれば,\begin{alignat*}{3}Q&=c_1Q_1&&+c_2Q_2&&+\cdots+c_kQ_k,\\[2mm]T&=c_1T_1&&+c_2T_2&&+\cdots+c_kT_k.\end{alignat*}これらの定数 $c_1$,$c_2$,$\cdots$,$c_k$ を適当に選んで,剰余 $T$ の次数を成るべく低くするには\begin{alignat*}{1}&c_1t_{11}+c_2t_{21}+\cdots+c_kt_{k1}=0,\\[2mm]&c_1t_{12}+c_2t_{22}+\cdots+c_kt_{k2}=0,\\[2mm]&\ \cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\end{alignat*}としなければならない.このような $c_1$,$c_2$,$\cdots$,$c_k$ は $k$ 元の斉次一次方程式から求められるべきものであるから,求める $T$ は次のようになる.\[T=\begin{vmatrix}\ t_{11}&t_{12}&\cdotp&\cdotp&T_1\ \\[1mm]\ t_{21}&t_{22}&\cdotp&\cdotp&T_2\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ t_{k1}&t_{k2}&\cdotp&\cdotp&T_k\ \end{vmatrix}=\left|\begin{array}{ccll}\ t_{11}&t_{12}&\cdotp&\cdotp\ t_{1k}x^{n-k}+\ \cdots\cdots\ +t_{1n}\ \\[1mm]\ t_{21}&t_{22}&\cdotp&\cdotp\ t_{2k}x^{n-k}+\ \cdots\cdots\ +t_{2n}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{mm}\cdotp\hphantom{mm}\cdotp\hphantom{mm}\cdotp\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{mm}\cdotp\hphantom{mm}\cdotp\hphantom{mm}\cdotp\ \\[1mm]\ t_{k1}&t_{k2}&\cdotp&\cdotp\ t_{kk}x^{n-k}+\ \cdots\cdots\ +t_{kn}\ \end{array}\right|\]すなわち $T$ は $n-k$ 次で,$x^{n-k}$ の係数は\[\begin{vmatrix}\ t_{11}&t_{12}&\cdotp&\cdotp&\cdotp&t_{1k}\ \\[1mm]\ t_{21}&t_{22}&\cdotp&\cdotp&\cdotp&t_{2k}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ t_{k1}&t_{k2}&\cdotp&\cdotp&\cdotp&t_{kk}\ \end{vmatrix},\]$t_{pq}$ はすべて係数 $a$,$b$ に関する一次式であるが,この行列式が $a$,$b$ に関して恒等的に $0$ にならないならば,上の $T$ が定数因子を外にしては $(\ 1\ )$ のただ一つの解でなくてはならない.しかるに $(\ 1\ )$ は現に $T=R_k(x)$ なる解をもつから,$R_k(x)$ が上の方法によって $k$ 次の行列式として表わされねばならない.
\begin{alignat*}{1} さて\\[2mm]\ \end{alignat*}\[\begin{alignat*}{1}f_p&=a_0x^p+a_1x^{p-1}+\cdots+a_p,\\[2mm]g_p&=b_0x^p+b_1x^{p-1}+\cdots+b_p\end{alignat*}\hspace{1cm}(p=0,\ 1,\ \cdots,\ n)\]  
とすれば,上の $P_1$,$P_2$,$\cdots$,$P_k$ を $f_0$,$f_1$,$\cdots$,$f_{k-1}$ とすることができる.そのときには,$Q_1$,$Q_2$,$\cdots$,$Q_k$ が $g_0$,$g_1$,$\cdots$,$g_{k-1}$ になることは見やすい.この場合,剰余 $T_1$,$T_2$,$\cdots$,$T_k$ を $d_1(x)$,$d_2(x)$,$\cdots$,$d_k(x)$ で表わして\begin{alignat*}{1}&f_0g\hphantom{_{k-}}-\hphantom{_{k}}g_0f\hphantom{_1}=d_{11}x^{n-1}+d_{12}x^{n-2}+\cdots+d_{1n}=d_1(x),\\[2mm]&f_1g\hphantom{_{k-}}-\hphantom{_{k}}g_1f\hphantom{_1}=d_{21}x^{n-1}+d_{22}x^{n-2}+\cdots+d_{2n}=d_2(x),\\[2mm]&\hphantom{fg}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\\[2mm]&f_{k-1}g-g_{k-1}f=d_{k1}x^{n-1}+d_{k2}x^{n-2}+\cdots+d_{kn}=d_k(x)\end{alignat*}とおく.すなわち\begin{alignat*}{1}d_p(x)&=\begin{vmatrix}\ f_{p-1}(x)&f(x)\ \\[1mm]\ g_{p-1}(x)&g(x)\ \end{vmatrix}\\[2mm]&=\begin{vmatrix}\ a_0x^{p-1}+a_1x^{p-2}+\cdots+a_{p-1},&a_px^{n-p}+\cdots+a_n\ \\[1mm]\ b_0x^{p-1}+b_1x^{p-2}+\cdots+b_{p-1},&b_px^{n-p}+\cdots+b_n\ \end{vmatrix}.\\[2mm]d_{pq}&=\overset{p-1}{\underset{\lambda=0}{\textstyle\sum}}\ \!\begin{vmatrix}\ a_\lambda&a_\mu\ \\[1mm]\ b_\lambda&b_\mu\ \end{vmatrix},\hspace{1cm}(\lambda+\mu=p+q-1)\end{alignat*}ただし,$\mu\gt n$ なる $a_\mu$,$b_\mu$ は $0$ とするのである.
 または\[\begin{vmatrix}\ a_\lambda&a_\mu\ \\[1mm]\ b_\lambda&b_\mu\ \end{vmatrix}=(\lambda,\ \mu)\]とおけば\[d_{pq}=(0,\ p+q-1)+(1,\ p+q-2)+\cdots+(p-1,\ q)\]よって\[(h,\ h)=0,\hspace{1cm}(h,\ k)+(k,\ h)=0\]に注意して\[d_{pq}=d_{qp}.\]したがって\[R_k(x)=\begin{vmatrix}\ d_{11}&d_{12}\ \cdotp&\cdotp&\cdotp\ d_{1,\ k-1}&d_1(x)\ \\[1mm]\ d_{21}&d_{22}\ \cdotp&\cdotp&\cdotp\ d_{2,\ k-1}&d_2(x)\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{nn}&\cdotp\ \\[1mm]\ d_{k1}&d_{k2}\ \cdotp&\cdotp&\cdotp\ d_{k,\ k-1}&d_k(x)\ \end{vmatrix}\tag{$\ 2\ $}\]を得る.実際,両辺は第一共に $a$,$b$ に関して $k$ 次であるから数字係数においてのみ異なり得る.次に,$R_k(x)$ においては,$(a_0b_k)^k$ の係数は $\varepsilon_k=(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{k(k-1)}{2}}$,右辺においては,第二対角線上の項のみが $(0,\ k)$ を含み,したがって $(a_0b_k)^k$ の係数はやはり $\varepsilon_k$ である.
 〔例〕 $n=5$ とすれば $d_{pq}$ の行列は次の通り.\[\left(\begin{array}{lllll}\ (0,\ 1)&(0,\ 2)&(0,\ 3)&(0,\ 4)&(0,\ 5)\ \\[1mm]\ (0,\ 2)&(1,\ 2)+(0,\ 3)&(1,\ 3)+(0,\ 4)&(1,\ 4)+(0,\ 5)&(1,\ 5)\ \\[1mm]\ (0,\ 3)&(1,\ 3)+(0,\ 4)&(2,\ 3)+(1,\ 4)+(0,\ 5)&(2,\ 4)+(1,\ 5)&(2,\ 5)\ \\[1mm]\ (0,\ 4)&(1,\ 4)+(0,\ 5)&(2,\ 4)+(1,\ 5)&(3,\ 4)+(2,\ 5)&(3,\ 5)\ \\[1mm]\ (0,\ 5)&(1,\ 5)&(2,\ 5)&(3,\ 5)&(4,\ 5)\ \end{array}\right)\] $\boldsymbol{2.}$ 上の等式 $(\ 2\ )$ が本節の帰結である.理屈なしに,ただ $(\ 2\ )$ を験証するだけならば,次のようにすればよい.\[\begin{array}{r}\left|\begin{array}{r:l}1\hphantom{M}0\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{n}0&\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}0\ \\[1mm]1\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{n}0&\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}0\ \\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{B}\cdotp&\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ \\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{B}\cdotp&\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ \\[1mm]1&\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}0\ \\[1mm]\hdashline-b_0&\hphantom{MMMM\cdotp\cdotp\cdotp\cdotp}a_0\\[1mm]-b_0\hphantom{1}-b_1&\hphantom{MMM\cdotp\cdotp}a_0\hphantom{M}a_1\\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ &\hphantom{MMM}\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}\cdotp\ \\[1mm]-b_0\hphantom{1}-b_1\ \cdotp\ \!-b_{k-1}&a_0\hphantom{M}a_1\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ a_{k-1}\end{array}\right|\hspace{0.7mm}\cdotp\left|\begin{array}{r:l}\ a_0\hphantom{M}a_1\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&a_k\hphantom{_{-1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ x^{k-1}f\ \\[1mm]a_0\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&a_{k-1}\ \!\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ x^{k-2}f\ \\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[1mm]a_0&a_1\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}f\\[1mm]\hdashline b_0\hphantom{M}b_1\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&b_k\hphantom{_{-1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ x^{k-1}g\ \\[1mm]b_0\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&b_{k-1}\ \!\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ x^{k-2}g\ \\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\hphantom{_1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[1mm]b_0&b_1\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}g\end{array}\right|\\[2mm]=\left|\begin{array}{r:l}\ a_0\hphantom{M}a_1\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&a_k\hphantom{_{-1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ x^{k-1}f\ \\[1mm]a_0\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&a_{k-1}\ \!\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ x^{k-2}f\ \\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[1mm]a_0&a_1\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}f\\[1mm]\hdashline&d_{11}\hphantom{p}d_{12}\hphantom{MN}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ d_1(x)\ \\[1mm]\lower{1mm}0\hphantom{MMM}&d_{21}\hphantom{p}d_{22}\hphantom{MN}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ d_2(x)\ \\[1mm]&\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[1mm]&d_{k1}\hphantom{p}d_{k2}\hphantom{MN}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ d_k(x)\end{array}\right|\end{array}\]左辺の第一の行列式は $\varepsilon_k a_0^k$.第二の行列式は $\varepsilon_kR_k(x)$ である.よって両辺を $a_0^k$ で割って $(\ 2\ )$ を得る.
 $\boldsymbol{3.}$ 上の係数 $d_{pq}$ は Cayley が指摘したように,\[\frac{\ f(x)g(y)-f(y)g(x)\ }{x-y}\]の展開から求めることができる.すなわち展開における $x^{n-p}y^{n-q}$ の係数が $d_{pq}$ に等しい.実際($f_p$,$g_p$ は $352$ 頁の通りとして)\begin{alignat*}{1}\frac{f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}&=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}g(y)-\frac{g(x)-g(y)}{x-y}f(y)\\[2mm]&=\{f_0(y)x^{n-1}+f_1(y)x^{n-2}+\cdots+f_{n-1}(y)\}g(y)\\[2mm]&-\{g_0(y)x^{n-1}+g_1(y)x^{n-2}+\cdots+g_{n-1}(y)\}f(y)\\[2mm]&=x^{n-1}d_1(y)+x^{n-2}d_2(y)+\cdots+d_n(y)\\[2mm]&=\underset{p,\ q}{\textstyle\sum}d_{pq}x^{n-p}y^{n-q}.\hspace{1cm}(p,\ q=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\end{alignat*} $\boldsymbol{4.}$ $R_k(x)$ は次のようにしても,$k$ 次の行列式として表わされる.
 前の通り,\begin{alignat*}{3}f(x)&=a_0x^n&&+a_1x^{n-1}&&+\cdots+a_n\hspace{1cm}(a_0\neq0)\\[2mm]g(x)&=b_0x^n&&+b_1x^{n-1}&&+\cdots+b_n\end{alignat*}として,$g/f$ を $x$ の降冪に展開して\[\frac{g(x)}{f(x)}=c_0+\frac{c_1}{x}+\frac{c_2}{x^2}+\cdots+\frac{c_n}{x^n}+\cdots\tag{$\ 3\ $}\]とおけば,$c_1$,$c_2$,$\cdots$ によって $R_k(x)$ を $k$ 次の行列式として表わすことができる.すなわち次の通り.\begin{alignat*}{1}R_k(x)&=a_0{}^{2k-1}\begin{vmatrix}\ c_1&c_2\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&c_{k-1}&c_kf_{n-k}+\hphantom{_{2-1}}c_{k+1}f_{n-k-1}+\cdots+\hphantom{_{+k-1}}c_nf_0\ \\[1mm]\ c_2&c_3\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&c_k\hphantom{_{-1}}&c_{k+1}f_{n-k}+\hphantom{1}c_{k+2}f_{n-k-1}+\cdots+\hphantom{_{k-}}c_{n+1}f_0\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp&\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp&\cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{c_{n+1}f_0}\\[1mm]\ c_k&\ c_{k+1}\hphantom{mm}\cdotp\ &c_{2k-2}&c_{2k-1}f_{n-k}+c_{2k}f_{n-k-1}+\cdots\hphantom{_+}+\hphantom{_1}c_{n+k-1}f_0\ \end{vmatrix}\tag{$\ 4\ $}\\[2mm]&=a_0{}^{2k-1}\begin{vmatrix}\ c_1&c_2\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&c_{k-1}&c_1f_{n-1}\hphantom{_1}+\hphantom{_{2-}}c_2f_{n-2}+\cdots\cdots\hphantom{_-}+\hphantom{_{n+--}}c_nf_0\ \\[1mm]\ c_2&c_3\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp&c_k\hphantom{_{-1}}&c_2f_{n-1}\hphantom{_1}+\hphantom{_{2-}}c_3f_{n-2}+\cdots\cdots\hphantom{_-}+\hphantom{_{--}}c_{n+1}f_0\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp&\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp&\cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{M}\ \cdotp\hphantom{c_{n+1}f_0}\\[1mm]\ c_k&\ c_{k+1}\hphantom{mm}\cdotp\ &c_{2k-2}&c_kf_{n-1}+\hphantom{_{2-1}}c_{k+1}f_{n-2}+\cdots\cdots+c_{n+k-1}f_0\ \end{vmatrix}\tag{$\ 5\ $}\end{alignat*}ただし $f_p=a_0x^p+a_1x^{p-1}+\cdots+a_p$ は前の通り.
 特に最高次の項の係数として,\[R_k=a_0{}^{2k}\begin{vmatrix}\ c_1\hphantom{N}c_2\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}c_k\hphantom{_{+1}}\ \\[1mm]\ c_2\hphantom{N}c_3\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}c_{k+1}\ \\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ \ \ \\[1mm]\ \ c_k\hphantom{n}c_{k+1}\hphantom{nnn}\cdotp\hphantom{N}c_{2k-1}\ \end{vmatrix}.\tag{$\ 6\ $}\] 次にその験証をする.
 上の展開 $(\ 3\ )$ から\[\frac{x^kg(x)}{f(x)}=c_0x^k+c_1x^{k-1}+\cdots+c_k+\frac{c_{k+1}}{x}+\frac{c_{k+2}}{x^2}+\cdots.\] よって $x^kg(x)$ を $f(x)$ で割った剰余を $g^{(k+1)}(x)$ とすれば\[\frac{g^{(k+1)}(x)}{f(x)}=\frac{c_{k+1}}{x}+\frac{c_{k+2}}{x^2}+\cdots.\]したがって\begin{alignat*}{1}g^{(k+1)}(x)&=f(x)\left(\frac{c_{k+1}}{x}+\frac{c_{k+2}}{x^2}+\cdots+\frac{c_{k+n}}{x^n}\right)\ \style{font-family:serif}{\text{の整の部分}}\\[2mm]&=c_{k+1}f_{n-1}(x)+c_{k+2}f_{n-2}(x)+\cdots+c_{k+n}f_0(x).\tag{$\ 7\ $}\end{alignat*} $\boldsymbol{1.}$ において $P_1$,$P_2$,$\cdots$,$P_k$ で表わした多項式を $1$,$x$,$\cdots$,$x^{k-1}$ とするときの剰余 $T_1$,$T_2$,$\cdots$,$T_k$ がすなわち $g^{(1)}(x)$,$g^{(2)}(x)$,$\cdots$,$g^{(k)}(x)$ である.よってこの場合における $(\ 1\ )$ の多項式 $T$ は $g^{(1)}(x)$,$g^{(2)}(x)$,$\cdots$,$g^{(k)}(x)$ の一次的結合で,その次数の $n-k$ なるもの,すなわち\[\begin{vmatrix}\ c_1\hphantom{N}c_2\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}g^{(1)}(x)\ \\[1mm]\ c_2\hphantom{N}c_3\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}g^{(2)}(x)\ \\[1mm]\ \ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ \ \ \\[1mm]\ c_k\hphantom{n_1}c_{k+1}\hphantom{n_1\ }\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}g^{(k)}(x)\ \end{vmatrix}\tag{$\ 8\ $}\]である.ゆえに $R_k(x)$ はこの多項式と定数因子においてのみ異なり得るものである.
 $(\ 7\ )$ によれば $(\ 8\ )$ は $(\ 5\ )$ の右辺の行列式に等しいから,$(\ 5\ )$ を験証するには $(\ 6\ )$ が成り立つことを示せばよい.
 さて $(\ 3\ )$ から\begin{alignat*}{1}&c_0a_0=b_0,\\[2mm]&c_0a_1+c_1a_0=b_1,\\[2mm]&\hphantom{c}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[2mm]&c_0a_n+c_1a_{n-1}+\cdots+c_na_0=b_n,\\[2mm]&c_1a_n+c_2a_{n-1}+\cdots+c_{n+1}a_0=0,\\[2mm]&c_2a_n+c_3a_{n-1}+\cdots+c_{n+2}a_0=0,\\[2mm]&\hphantom{c}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\end{alignat*}または $n$ よりも大きい番号の $a$,$b$ は $0$ であるという従前の規約を用いるならば,一般に\[c_0a_k+c_1a_{k-1}+\cdots+c_ka_0=b_k.\] これを用いて\[\left|\begin{array}{r:c}\ 1\hphantom{N}0\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}0&\\[1mm]1\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}0&\lower{1mm}0\ \\[1mm]\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N0}&\\[1mm]1&\\[1mm]\hdashline\ c_0\hphantom{N}c_1\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}c_{k-1}&c_k\hphantom{1_{-1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}c_{2k-1}\ \\[1mm]\ c_0\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}c_{k-2}&c_{k-1}\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}c_{2k-2}\ \\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M_{2}}&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}\\[1mm]\ c_0\hphantom{_1}&c_1\hphantom{1_{-1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1_{2-1}}c_k\ \end{array}\right|\hspace{0.7mm}\cdotp\left|\begin{array}{r:r}\ a_0\hphantom{N}a_1\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}&a_k\hphantom{1_{-1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}a_{2k-1}\ \\[1mm]a_0\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}&a_{k-1}\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}a_{2k-2}\ \\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1_{-2}}\\[1mm]a_0\hphantom{1}&a_1\hphantom{1_{-1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{\ }a_k\ \\[1mm]\hdashline&a_0\hphantom{1_{-1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1_2}a_{k-1}\ \\[1mm]\lower{1mm}0\hphantom{MMk}&a_0\hphantom{N}\cdotp\hphantom{1_2}a_{k-2}\ \\[1mm]&\hphantom{M\cdotp}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N_{2}}\ \\[1mm]&\ a_0\ \end{array}\right|\]を計算すれば,積の上半は第二の行列の通りで下半は\[\left(\begin{array}{r:r}\ b_0\hphantom{N}b_1\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}b_{k-1}&b_k\hphantom{1_{-1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}b_{2k-1}\ \\[1mm]\ b_0\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}b_{k-2}&b_{k-1}\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}b_{2k-2}\ \\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M_{2}}&\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1_{-2}}\\[1mm]b_0&b_1\hphantom{1_{-1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}b_k\hphantom{_{2-2}}\ \\[1mm]\end{array}\right)\]になる.
 よって\[\left|\begin{array}{r}\ c_k\hphantom{1_{-1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}c_{2k-1}\ \\[1mm]\ c_{k-1}\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}c_{2k-2}\ \\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1_{-2}}\\[1mm]\ c_1\hphantom{1_{-1}}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1_-}c_k\hphantom{_{22}}\ \\[1mm]\end{array}\right|\times a_0^{2k}=(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{k(k-1)}{2}}R_k.\] 左辺の行列式の行の順序を逆にすれば,両辺から $(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{k(k-1)}{2}}$ が消去されて $(\ 6\ )$ を得る.
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