第 $10$ 章 終結式 スツルムの問題と二次形式
$\S\ 74.$ Sturm の問題への応用
$\boldsymbol{1.}$ $f(x)$ と $g(x)$ とに行なえる Euclid 算法に現われる剰余を求め得たから，方程式 $f(x)=0$ に関する Sturm の問題にそれを応用することが出来る．$\S\ 72$ のように符号を変えた逐次の剰余を $h(x)$，$k(x)\cdots$，$l(x)$ とし $f(x)$，$g(x)$，$h(x)$，$k(x)$，$\cdots$ における最高次の項の係数を $a$，$b$，$c$，$d$，$\cdots$ とする．まず $f$，$g$，$h$，$k$，$\cdots$ の次数が次々に一次ずつ低下する場合を考察する（$\nu=\nu^\prime=\nu^{\prime\prime}=\cdots=1$）．
この場合には（$349$ 頁）\begin{alignat*}{1}&R_1=ab,\\[2mm]&R_2=ab\hspace{0.7mm}\cdotp bc,\\[2mm]&R_3=ab\hspace{0.7mm}\cdotp bc\hspace{0.7mm}\cdotp cd,\\[2mm]&\hphantom{R_1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\end{alignat*}また $f(x)$，$g(x)$，$h(x)$，$\cdots$，$l(x)$ に関して，$V(\infty)$ は $a$，$b$，$c$，$d$，$\cdots$ の間の符号の変化の数，$V(-\infty)$ はそれらの間の符号連続の数すなわち $P(\infty)$ に等しい．しかるに $V(\infty)$，$P(\infty)$ を計算するのに $a$，$b$，$c$，$d$，$\cdots$ の代わりに\[R_0=1,\ R_1,\ R_2,\ R_3,\ \cdots\]を取ってもよいから，\[\underset{x_0}{\textstyle\sum}\ \!\chi(x_0)=\overset{n}{\underset{k=1}{\textstyle\sum}}\ \!\operatorname{sign}(R_{k-1}R_k).\tag{$\ 1\ $}\] 左辺においては $x_0$ は $\dfrac{\ f(x)\ }{g(x)}=0$ のすべての実根で，$x$ が増大しながら $x_0$ を通過するとき $fg$ が $-$ から $+$ に変わるか，$+$ から $-$ に変わるか，または符号を変えないかに従って，$\chi(x_0)$ を $+1$，$-1$，または $0$ とするのである（$\S\ 16$）．
$f(x)$，$g(x)$，$h(x)$，$\cdots$ の間における次々の次数の低下が $\nu$，$\nu^\prime$，$\nu^{\prime\prime}$，$\cdots$ であるときには，$V(-\infty)-V(\infty)$ を $R_0=1$，$R_\nu$，$R_{\nu+\nu^\prime}$，$R_{\nu+\nu^\prime+\nu^{\prime\prime}}$，$\cdots$（これらの $R_k$ のみが $0$ にならない）の符号から計算すれば，次の結果を得る．
前にいった通り（$349$ 頁）\begin{alignat*}{1}&R_0=1,\\[2mm]&R_\nu=\varepsilon_\nu(ab)^\nu,\\[2mm]&R_{\nu+\nu^\prime}=\varepsilon_\nu\varepsilon_{\nu^\prime}(ab)^\nu(bc)^{\nu^\prime},\\[2mm]&R_{\nu+\nu^\prime+\nu^{\prime\prime}}=\varepsilon_\nu\varepsilon_{\nu^\prime}\varepsilon_{\nu^{\prime\prime}}(ab)^\nu(bc)^{\nu^\prime}(cd)^{\nu^{\prime\prime}},\ \cdots\end{alignat*}いま $f$ と $g$ の間における符号の変りを $v$ とすれば\begin{alignat*}{1}&v(\infty)\ \style{font-family:serif}{\text{は}}\hspace{1cm}a,\ b\ \style{font-family:serif}{\text{の間}}\\[2mm]&v(-\infty)\ \style{font-family:serif}{\text{は}}\ (-1)^na,\hphantom{1}(-1)^{n-\nu}b\ \style{font-family:serif}{\text{の間，したがって}}\ a,\hphantom{1}(-1)^\nu b\ \style{font-family:serif}{\text{の間}}\end{alignat*}の符号の変りの数であるから，\begin{alignat*}{2}&\nu\ \style{font-family:serif}{\text{が偶数ならば，}}\hspace{1cm}v(-\infty)-v(\infty)&&=0,\\[2mm]&\nu\ \style{font-family:serif}{\text{が奇数ならば，}}&&=\operatorname{sign}(ab)=\varepsilon_\nu\ \operatorname{sign}(R_0R_\nu).\end{alignat*} さて，$\nu$ が奇数のときには\[\varepsilon_\nu=(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}{\nu\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{\ \nu-1\ }{2}}}=(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{\ \nu-1\ }{2}}\]であるから，いま\[\left.\begin{array}{l}\nu\ \style{font-family:serif}{\text{が偶数ならば，}}e_\nu=0\\[2mm]\nu\ \style{font-family:serif}{\text{が奇数ならば，}}e_\nu=(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{\ \nu-1\ }{2}}\end{array}\right\}\tag{$\ 2\ $}\]とおけば，上の二つの場合をまとめて\[v(-\infty)-v(\infty)=e_\nu\ \operatorname{sign}(R_0R_\nu).\]次に $g$ と $h$ との間の符号の変りを $v^\prime$ とすれば\begin{alignat*}{1}&\hspace{8mm}v^\prime(\infty)\ \style{font-family:serif}{\text{は}}\hspace{1cm}b,\ c\ \style{font-family:serif}{\text{の間}}\\[2mm]&v^\prime(-\infty)\ \style{font-family:serif}{\text{は}}\ (-1)^{n-\nu}b,\ (-1)^{n-\nu-\nu^\prime}c\ \style{font-family:serif}{\text{の間，したがって}}\ b,\ (-1)^{\nu^\prime}c\ \style{font-family:serif}{\text{の間}}\end{alignat*}の符号の変りであるから，$\nu^\prime$ が偶数ならば $v^\prime(-\infty)-v^\prime(\infty)=0$ でまた $v^\prime$ が奇数ならば\[v^\prime(-\infty)-v^\prime(\infty)=\operatorname{sign}(bc).\]しかるに\[R_\nu R_{\nu+\nu^\prime}=\varepsilon_{\nu^\prime}(ab)^{2\nu}(bc)^{\nu^\prime}\]ゆえに\[v^\prime(-\infty)-v^\prime(\infty)=\varepsilon_{\nu^\prime}\operatorname{sign}(R_\nu R_{\nu+\nu^\prime})\]よって $e_{\nu^\prime}$ を前のようにおいて $\biggl(e_{\nu^\prime}=0$ または $(-1)^{\displaystyle\scriptsize\raise{0.5em}\frac{\ \nu^\prime-1\ }{2}}\biggr)$\[v^\prime(-\infty)-v^\prime(\infty)=e_{\nu^\prime}\operatorname{sign}(R_\nu R_{\nu+\nu^\prime})\]以下同様である．このような次々の多項式の間の符号の変りの和がすなわち Sturm の定理における $V$ であるから\begin{alignat*}{2}{\textstyle\sum}\ \!\chi(x_0)&=V(-\infty)-V(\infty)\\[2mm]&=e_\nu\operatorname{sign}(R_0R_\nu)+e_{\nu^\prime}\operatorname{sign}(R_\nu R_{\nu+\nu^\prime})&&\hspace{-0.9em}+e_{\nu^{\prime\prime}}\operatorname{sign}(R_{\nu+\nu^\prime}R_{\nu+\nu^\prime+\nu^{\prime\prime}})\\[2mm]&&&\hspace{-0.9em}+\cdots\tag{$\ 3\ $}\end{alignat*}$e_\nu$，$e_{\nu^\prime}$，$\cdots$ は $(\ 2\ )$ の通り．
この公式は一般である．$\nu=\nu^\prime=\nu^{\prime\prime}=\cdots=1$ のときは上の $(\ 1\ )$ になる．また $f$ と $g$ とが同次（$\nu=0$）のときにも通用する．この場合には $e_0=0$ として，第一項を省けばよい．
いうまでもなく（$344$，$354$，$356$ 頁参照）
\begin{alignat*}{1}R_k&=\begin{vmatrix}\ a_0&a_1&a_2&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&a_{2k-1}\ \\[1mm]\ b_0&b_1&b_2&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&b_{2k-1}\ \\[1mm]&a_0&a_1&a_2&\cdotp&\cdotp&\cdotp&a_{2k-2}\ \\[1mm]&b_0&b_1&b_2&\cdotp&\cdotp&\cdotp&b_{2k-2}\ \\[1mm]&&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{BN}\\[1mm]&&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{BN}\\[1mm]&&&a_0&a_1&\cdotp&\cdotp&a_k\hphantom{_{2-2}}\ \\[1mm]&&&b_0&b_1&\cdotp&\cdotp&b_k\hphantom{_{2-2}}\ \end{vmatrix}\\[2mm]&=\begin{vmatrix}\ d_{11}&d_{12}&\cdotp&\cdotp&d_{1k}\ \\[1mm]\ d_{21}&d_{22}&\cdotp&\cdotp&d_{2k}\ \\[1mm]\hphantom{d_2}\cdotp&\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{1}\\[1mm]\ d_{k1}&d_{k2}&\cdotp&\cdotp&d_{kk}\ \end{vmatrix}=a_0{}^{2k}\begin{vmatrix}\ c_1\hphantom{N}c_2\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}c_k\hphantom{_{+1}}\ \\[1mm]\ c_2\hphantom{N}c_3\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}c_{k+1}\ \\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ \ \ \\[1mm]\ \ c_k\hphantom{n}c_{k+1}\hphantom{nnn}\cdotp\hphantom{N}c_{2k-1}\ \end{vmatrix}.\end{alignat*} 〔問題〕 実係数の方程式\[f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0.\hspace{1cm}(a_0\gt0)\]のすべての根が虚数軸の左側にあるために必要かつ十分な条件は
| $\hphantom{1}a_1\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}a_3\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}a_5\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}a_7\hphantom{1}$ | $\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}$ |
| $a_0$ | $a_2$ | $a_4$ | $a_6$ | $\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}$ |
| $a_1$ | $a_3$ | $a_5$ | $\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}$ | |
| $a_0$ | $a_2$ | $a_4$ | $\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}$ | |
| $\cdotp$ | $\cdotp$ | $\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}$ | ||
| $\cdotp$ | $\cdotp$ | $\hphantom{n}a_{n-2}\hphantom{M}a_n$ |
〔解〕 仮定によって，$x$ が虚数軸の上を $+i\infty$ から $-i\infty$ まで動くとき $\operatorname{arc}f(x)$ は $n\pi$ だけ減少する．すなわち $x=-iz$，\[f(-iz)=(-i)^n\{a_0z^n-a_2z^{n-2}+a_4z^{n-4}-\cdots+i(a_1z^{n-1}-a_3z^{n-3}+a_5z^{n-5}-\cdots)\},\]\begin{alignat*}{1}\phi(z)&=a_0z^n-a_2z^{n-2}+a_4z^{n-4}-\cdots\\[2mm]\psi(z)&=a_1z^{n-1}-a_3z^{n-3}+a_5z^{n-5}-\cdots\end{alignat*}とおくとき，$\phi$，$\psi$ からの Sturm の函数列において\[V(-\infty)-V(\infty)={\textstyle\sum}\ \!\chi(x_0)=n.\tag{$\ 4\ $}\]ゆえに $\phi$，$\psi$ に関する $R_1$，$R_2$，$\cdots$，$R_n$ はみな正である．$R_k$ は $2k$ 次の行列式で，その形は次の通りである
| $\hphantom{1}a_0\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}0\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}-a_2\hphantom{1}$ | $\hphantom{-}\ 0$ | $\hphantom{1-}a_4\hphantom{1}$ | $\hphantom{-}\ 0\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}-a_6\hphantom{1}$ | $\hphantom{-}\ 0\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}$ | |
| $1)\ $ | $a_1$ | $0$ | $-a_3\ $ | $\hphantom{-}0$ | $\hphantom{1}a_5$ | $\hphantom{-}0$ | $-a_7\ $ | $\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}$ | |
| $a_0$ | $0$ | $-a_2\ $ | $\hphantom{-}0$ | $\hphantom{1}a_4$ | $\hphantom{-}0$ | $-a_6\ $ | $\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}$ | ||
| $2)\ $ | $a_1$ | $\hphantom{-}\ 0$ | $-a_3$ | $\hphantom{1}0$ | $\hphantom{-}a_5$ | $\hphantom{-}\ 0$ | $\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}$ | ||
| $a_0$ | $\hphantom{-}\ 0$ | $-a_2$ | $\hphantom{0}0$ | $\hphantom{-}a_4$ | $\hphantom{-}\ 0$ | $\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}$ | |||
| $3)\ $ | $\hphantom{-}a_1$ | $\hphantom{-}0$ | $-a_3\ $ | $\hphantom{-}0$ | $\hphantom{-}a_5$ | $\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}$ | |||
| $\hphantom{-}a_0$ | $\hphantom{-}0$ | $-a_2$ | $\hphantom{-}0$ | $\hphantom{-}a_4$ | $\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}$ | ||||
| $4)\ $ | $\hphantom{-}a_1$ | $\hphantom{-}0$ | $-a_3$ | $\hphantom{-}0$ | $\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}$ | ||||
| $\hphantom{-}\cdotp$ | $\hphantom{--}\cdotp$ | $\hphantom{-}\cdotp\ $ | $\hphantom{1}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{1}$ |
行列式 $R_{2k}$ を $k$ 次に縮小して，上の Hurwitz の形に変えることができる．たとえば
| $R_1=\begin{vmatrix}\ a_0&0\ \\[1mm]&a_1\ \end{vmatrix}=a_0a_1,\hspace{5mm}$ | $R_2=\begin{vmatrix}\ a_0&0&-a_2&\hphantom{-}0\ \\[1mm]&a_1&0&-a_3\ \\[1mm]&a_0&0&-a_2\ \\[1mm]&&a_1&\hphantom{-}0\ \end{vmatrix}=a_0a_1\begin{vmatrix}\ a_1&a_3\ \\[1mm]\ a_0&a_2\ \end{vmatrix}.$ |
$n=2m$ なるときは，$z^2=-x$ として\begin{alignat*}{1}&\varphi(x)=a_0x^m+a_2x^{m-1}+\cdots+a_{2m},\\[2mm]&\psi(x)=a_1x^{m-1}+a_3x^{m-2}+\cdots+a_{2m-1}\end{alignat*}とおけば，上の条件は $\phi(x)$，$\psi(x)$ の根が全部負数で，かつ互いに隔離するというのと同じである．この場合の $R_1$，$R_2$，$\cdots$，$R_m$ は\[\begin{vmatrix}\ a_0&a_2&a_4&\cdotp&\cdotp&a_{2m}\hphantom{_{-1}}& & \ \\[1mm]\ &a_1&a_3&\cdotp&\cdotp&a_{2m-1}&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ &a_0&a_2&\cdotp&\cdotp&\cdotp&a_{2m}\hphantom{_{-1}}&\cdotp\ \\[1mm]\ & &a_1&\cdotp&\cdotp& &a_{2m-1}& \ \\[1mm]\ & & &\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ & & &a_0&a_2&\cdotp&\cdotp&a_{2m}\hphantom{_{-1}}\ \\[1mm]\ & & & &a_1&\cdotp&\cdotp&a_{2m-1}\ \end{vmatrix}\]における $2$ 次，$4$ 次，$\cdots$，$2m$ 次の首座行列式である．すなわち $a_0A_1$，$a_0A_3$，$\cdots$，$a_0A_{2m-1}$ に等しい．よって隔離の条件から，$a_0\gt0$ なる仮定のもとにおいて（$359$ 頁 $(\ 1\ )$，参照）\[A_1\gt0,\hphantom{A}A_3\gt0,\ \cdots,\ A_{2m-1}\gt0.\tag{$\ 5\ $}\]それに $\varphi(z)$ の根がすべて負であることから\[a_2\gt0,\hphantom{A}a_4\gt0,\ \cdots,\ a_{2m}\gt0.\hphantom{_{-11}}\tag{$\ 6\ $}\]これらが必要かつ十分なる条件である．すなわち Hurwitz の条件のうち $A_2\gt0$，$A_3\gt0$，$\cdots$，$A_{2m}\gt0$ を $(\ 6\ )$ でおき換えることができるのである．
あるいはまた $x\psi(x)$ が正根をもたず，かつ $\varphi(x)$ の根と互いに隔離することから\[\left.\begin{array}{c}a_1\gt0,\hphantom{1}a_3\gt0,\ \cdots,\hphantom{1}a_{2m-1}\gt0\\[2mm]A_2\gt0,\hphantom{1}\ A_4\gt0,\ \cdots,\hphantom{1}\ \!A_{2m}\gt0\ \!\end{array}\right\}\]を得る．
$n=2m+1$ が奇数であるときも同様である．ただしこの場合には\begin{alignat*}{1}\varphi(x)&=a_0x^m+a_2x^{m-1}+\cdots+a_{2m}\\[2mm]\psi(x)&=a_1x^m+a_3x^{m-1}+\cdots+a_{2m+1}\end{alignat*}とおくのである．
要約すれば，$a_0\gt0$ という仮定のもとにおいては，$a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$，$a_n$ が全部正であることが必要な条件，その上に $A_1$，$A_2$，$A_3$，$\cdots$ かあるいはまた $A_2$，$A_4$，$A_6$，$\cdots$ かが正ならば十分である．