第 $10$ 章 終結式 スツルムの問題と二次形式
$\S\ 75.$ Sturm の問題と二次形式との連結
$\boldsymbol{1.}$ Sturm の問題を二次形式論に連結することは Hermite の考案である．いまそれを説明するのに，われわれの立場からは Hermite にしたがって初めから出直すよりも，直ちに $\S\ 73$ の結果を出発点とするのが便利である．\begin{alignat*}{1}f(x)&=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n,\\[2mm]g(x)&=b_0x^n+b_1x^{n-1}+\cdots+b_n\end{alignat*}とおいて，$f(x)$ は $n$ 次，$a_0\neq0$；$g(x)$ は $n$ 次以下で，$f(x)$ と $g(x)$ との次数の差を $\nu$ とする．$\nu\geqq0$；$b_\nu\neq0$．$\S\ 73$，$3$ に示したように\[\frac{\ f(x)g(y)-f(y)g(x)\ }{x-y}={\textstyle\sum}\ \!d_{pq}x^{n-p}y^{n-q}\hspace{5mm}(p,\ q=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\tag{$\ 1\ $}\]とすれば，$d_{pq}=d_{qp}$ であるから，$d_{pq}$ を係数として $n$ 元の二次形式を作ることができる．それを次のように表わす．\[B(f,\ g)={\textstyle\sum}\ \!d_{pq}x_px_q.\hspace{1cm}(p,\ q=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\] これを $f$，$g$ に関する Bézout の二次形式と名づける．すなわち $B(f,\ g)$ は上の $x$，$y$ の対称式において $x^{n-1}$，$x^{n-2}$，$\cdots$，$x$，$1$；$y^{n-1}$，$y^{n-2}$，$\cdots$，$y$，$1$ に $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ を代入して得られるものである．
しからば次の定理が成り立つ．
〔定理 $\boldsymbol{10.\ 2}$〕 $f$，$g$ の最大公約数の次数が $m$ ならば，$B(f,\ g)$ の位は $n-m$ である．
$B(f,\ g)$ の符号定数を $\sigma(f,\ g)$（略して $\sigma$）とし $f$，$g$ から Euclid の算法によって作った Sturm の函数列における符号の変りを $V$ で表わせば，\[\sigma=V(-\infty)-V(\infty).\] 〔証〕 $f(x)$ を $g(x)$ で割って\[f(x)=q(x)g(x)-h(x)\]を得たとして，\[q(x)=q_0x^\nu+q_1x^{\nu-1}+\cdots+q_\nu\]とおけば，\[\begin{vmatrix}\ f(x)&g(x)\ \\[1mm]\ f(y)&g(y)\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\ q(x)&1\ \\[1mm]\ q(y)&1\ \end{vmatrix}\ g(x)g(y)+\begin{vmatrix}\ g(x)&h(x)\ \\[1mm]\ g(y)&h(y)\ \end{vmatrix}.\] さて\[\frac{\ q(x)-q(y)\ }{x-y}=\overset{\nu-1}{\underset{k=0}{\textstyle\sum}}\ \!q_k\left(x^{\nu-k-1}+x^{\nu-k-2}y+\cdots+y^{\nu-k-1}\right)\]から生ずる Bézout の行列 $B(q,\ 1)$ は\[Q=\begin{pmatrix}\ &&&&q_0\ \\[1mm]\ &&&q_0&q_1\ \\[1mm]\ &&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ &\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ q_0&q_1&\cdotp&\cdotp&q_{\nu-1}\ \end{pmatrix}\]であるが，便宜上，一時これを $[q_{\alpha\beta}]$ で表わして\[\frac{q(x)-q(y)}{x-y}=\underset{\alpha,\ \beta}{\textstyle\sum}\ \!q_{\alpha\beta}x^{\nu-\alpha}y^{\nu-\beta}\hspace{1cm}(\alpha,\ \beta=1,\ 2,\ \cdots,\ \nu)\]とする．しからば\[\frac{f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}=\underset{\alpha,\ \beta}{\textstyle\sum}\ \!q_{\alpha\beta}x^{\nu-\alpha}g(x).y^{\nu-\beta}g(y)+\frac{g(x)h(y)-g(y)h(x)}{x-y}.\] 右辺の第一の和において\[\left.\begin{array}{c}x^{\nu-1}g(x),\ x^{\nu-2}g(x),\ \cdots,\ g(x)\\[2mm]y^{\nu-1}g(y),\ \ \!y^{\nu-2}g(y),\ \ \!\cdots,\ g(y)\end{array}\right\}\ \style{font-family:serif}{\text{にそれぞれ}}\ x_1{}^\prime,\ x_2{}^\prime,\ \cdots,\ x_\nu{}^\prime\]を代入し，また第二の項においては\[\left.\begin{array}{c}x^{n-\nu-1},\ x^{n-\nu-2},\ \cdots,\ 1\\[2mm]y^{n-\nu-1},\ y^{n-\nu-2},\ \cdots,\ 1\end{array}\right\}\ \style{font-family:serif}{\text{にそれぞれ}}\ x_{\nu+1},\ x_{\nu+2},\ \cdots,\ x_n\]を代入する．これは $B(f,\ g)$ に一次変形を行なって，変数 $x_1{}^\prime$，$x_2{}^\prime$，$\cdots$，$x_\nu{}^\prime$ を入れたのにすぎない．
この変形の後の $B(f,\ g)$ の係数の行列は次の通りである．
| $\hspace{2em}\left(\begin{array}{c:c}\vphantom{\dfrac{1}{1}}\hphantom{n}\lower{0.2em}Q\hphantom{1}&\lower{0.2em}0\hphantom{1}\\[1mm]\hdashline\vphantom{\dfrac{1}{1}}\raise{0.2em}0&\raise{0.2em}{B(g,\ h)}\end{array}\right)\hspace{2em}$ | 初めの $\nu$ 行 $\nu$ 列のところへは行列 $Q$ を，終りの $n-\nu$ 行 $n-\nu$ 列のところへは $B(g,\ h)$ の行列をおいて，その他は $0$ とする． |
次に $g(x)$ を $h(x)$ で割って商 $q^\prime(x)$ と剰余 $-k(x)$ とを得たとし，$q^\prime(x)$ に対する $Q$ と同様の行列を $Q^\prime$ とし，$x_{\nu+1}$，$\cdots$，$x_k$ に前と同様の変形を行なうならば，$B(f,\ g)$ の行列は次のように分割される．\[\begin{array}{rl}\begin{array}{r}\nu\\[1mm]\nu\\[1mm]n-\nu-\nu^\prime\end{array}\hspace{-0.4em}&\left(\begin{array}{ccc}Q&0&0\\[1mm]0&Q^\prime&0\\[1mm]0&0&B(h,\ k)\end{array}\right)\end{array}\] もし $g(x)$ が $h(x)$ で割り切れるならば，$B(h,\ k)$ は $0$ になる．
このような変形を続行して，ついに $B(f,\ g)$ の係数の行列を次のように分割することができる．\[\begin{array}{rl}\begin{array}{r}\nu\hphantom{^\prime}\\[1mm]\nu^\prime\ \!\\[1mm]\nu^{\prime\prime}\\[0mm]\vdots\ \ \\[0mm]n-\sum\nu\end{array}\hspace{-0.4em}&\left(\begin{array}{ccccc}Q&0&0&\cdotp&0\\[1mm]0&Q^\prime&0&\cdotp&0\\[1mm]0&0&Q^{\prime\prime}&\cdotp&0\\[1mm]\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\\[1mm]0&0&0&\cdotp&0\end{array}\right)\end{array}\] ゆえに $B(f,\ g)$ の位は逐次の商の次数の和に等しいから，定理の第一の部分は証明されたのである．
また $\sigma$ は $Q$，$Q^\prime$，$Q^{\prime\prime}$，$\cdots$ の符号定数の和に等しい．\[Q=\begin{pmatrix}\ &&&&q_0\ \\[1mm]\ &&&q_0&q_1\ \\[1mm]\ &&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ &\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ q_0&q_1&\cdotp&\cdotp&q_{\nu-1}\ \end{pmatrix}\]の符号定数は（$296$ 頁，例）
$\nu$ が偶数ならば $0$，
$\nu$ が奇数ならば $\operatorname{sign}\ (q_0)$．
さて $f(x)$ と $g(x)$ との二つの間の符号の変りを $v$ で表わすならば $f=a_0x^n+\cdots$，$g=b_\nu x^{n-\nu}+\cdots$，$a_0=b_\nu q_0$ であるから，$v(-\infty)-v(\infty)$ は $f$，$g$ の代わりに $q_0x^n$ と $x^{n-\nu}$ とを取って計算することができる．すなわち
$\nu$ が偶数ならば $0$，
$\nu$ が奇数ならば $\operatorname{sign}\ (q_0)$．
すなわち，ちょうど $Q$ の符号定数に等しい．$g$ と $h$ との間の符号の変りを $v^\prime$ とすれば，$v^\prime(-\infty)-v^\prime(\infty)$ は $Q^\prime$ の符号定数に等しく，以下同様である．そして $V=v+v^\prime+v^{\prime\prime}+\cdots$ であるから，定理の後の部分も証明されたのである．
$\boldsymbol{2.}$ Hurwitz は $g/f$ の展開の係数（$\S\ 73$，$4$）で作られる二次形式\[C(f,\ g)={\textstyle\sum}\ \!c_{p+q-1}x_px_q\hspace{1cm}(p,\ q=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\]を用いた．すなわち係数の行列は次の通り．\[\begin{pmatrix}\ c_1\hphantom{N}c_2\hphantom{_{+1}}\cdotp&\cdotp&\cdotp&\hspace{-2mm}c_n\ \\[1mm]\ c_2\hphantom{N}c_3\hphantom{_{+1}}\cdotp&\cdotp&\cdotp&\hspace{-2mm}c_{n+1}\ \\[1mm]\ \ \cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp&\cdotp&\cdotp&\hspace{-2mm}\cdotp\ \\[1mm]\ \ \cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp&\cdotp&\cdotp&\hspace{-2mm}\cdotp\ \\[1mm]\ \hspace{-2mm}c_n\hphantom{N}c_{n+1}\hspace{-2mm}&\cdotp&\cdotp&\hspace{-2mm}c_{2n-1}\ \end{pmatrix}\]この二次形式 $C(f,\ g)$ にも上の定理がそっくり当てはまる．
実際\begin{alignat*}{1}\frac{f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}&=\left(\frac{g(y)}{f(y)}-\frac{g(x)}{f(x)}\right)\frac{f(x)f(y)}{x-y}\\[2mm]&=\overset{\infty}{\underset{k=1}{\textstyle\sum}}\ \!\left(\frac{c_k}{y^k}-\frac{c_k}{x^k}\right)\frac{f(x)f(y)}{x-y}\\[2mm]&=\overset{\infty}{\underset{k=1}{\textstyle\sum}}\ \!\frac{c_k\left(x^{k-1}+x^{k-2}y+\cdots+y^{k-1}\right)}{x^ky^k}f(x)f(y)\\[2mm]&=\overset{\infty}{\underset{k=1}{\textstyle\sum}}\ \!c_k\left(\frac{f(x)f(y)}{xy^k}+\frac{f(x)f(y)}{x^2y^{k-1}}+\cdots+\frac{f(x)f(y)}{x^ky}\right).\end{alignat*}右辺から整の部分を集めて\[\frac{f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}=\underset{p,\ q}{\textstyle\sum}\ \!c_{p+q-1}f_{n-p}(x)f_{n-q}(y)\hspace{5mm}(p,\ q=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\]を得る．すなわち（$\S\ 73$，$3$）\[\underset{p,\ q}{\textstyle\sum}\ \!d_{pq}x^{n-p}y^{n-q}=\underset{p,\ q}{\textstyle\sum}\ \!c_{p+q-1}f_{n-p}(x)f_{n-q}(y).\] ゆえに $C(f,\ g)$ から次の一次変形によって $B(f,\ g)$ を得る．\[x_k=a_0x_k{}^\prime+a_1x^\prime{}_{k+1}+\cdots+a_{n-k}x_n{}^\prime.\]\[(k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\]すなわち $B\sim C$ で $B$ と $C$ とは位においても符号定数においても一致する．
$\boldsymbol{3.}$ 定理 $10.\ 2$ によって $B(f,\ g)$ または $C(f,\ g)$ の符号定数 $\sigma(f,\ g)$ に等しいところの $V(-\infty)-V(\infty)$ は $\S\ 74$ の公式 $(\ 1\ )$ または $(\ 3\ )$ によって与えられる．すなわち $B(f,\ g)$ の首座行列式 $R_1$，$R_2$，$\cdots$，$R_r$ が一つも $0$ にならないときには $\sigma$ はそれらの間の符号の続きと変りとの数の差に等しいのであるが，ここで著しい事実は，これらの首座行列式の中で $0$ になるものがいくつ続いても，上の公式 $(\ 3\ )$ によって $\sigma$ が求められることである．著しいというのは，$\S\ 63$，$(\ 2\ )$ と比較していう．
$\boldsymbol{4.}$ 上に述べた Hermite の考案は，次のような着想に基づくのである．$n$ 次の実方程式 $f(x)=0$ の根を $\alpha$，$\beta$，$\cdots$，$\lambda$ とし，便宜上複根はないものと仮定する．$\varphi(\alpha\ ;\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n)$ は根に関しては有理式，変数 $t_1$，$t_2$，$\cdots$，$t_n$ に関しては斉次一次式で，かつ係数は実数とする．この式 $\varphi$ を適当に選んで，$f(x)$ の相異なる根 $\alpha$，$\beta$，$\cdots$，$\lambda$ を $\alpha$ に代入するとき，$\varphi(\alpha\ ;\ t)$，$\varphi(\beta\ ;\ t)$，$\cdots$，$\varphi(\lambda\ ;\ t)$ が $t_1$，$t_2$，$\cdots$，$t_n$ の一次式として互いに独立であるようにする．さて $\xi$ を実数として\[F_\xi={\textstyle\sum}\ \!(\alpha-\xi)\varphi(\alpha\ ;\ t)^2\]という和を $f(x)$ のすべての根に関して作れば，$F_\xi$ は $t_1$，$\cdots$，$t_n$ の実二次形式で，それを標準形式にすれば，$\xi$ よりも大きい実根 $\alpha$ からは正項，$\xi$ よりも小さい実根 $\alpha$ からは負項，また互いに共役な二つの根からは $(L+Mi)^2+(L-Mi)^2=(L^2-M^2)$ のように一つの正項と一つの負項とが出るから，$F_\xi$ の符号定数を $\sigma(F_\xi)$ とすれば，それは $\xi$ よりも大きい実根と $\xi$ よりも小さい実根との数の差である．ゆえに $\xi\lt\eta$ とすれば\[N=\frac{1}{2}\{\sigma(F_\xi)-\sigma(F_\eta)\}\tag{$\ 1\ $}\]が，すなわち区間 $\xi\lt x\lt\eta$ における $f(x)=0$ の根の数である．
$F_\xi$ は根の対称式として計算することができる．
この計算は Hermite がなしたように，\[\varphi(\alpha\ ;\ t)=f_0(\alpha)t_1+f_1(\alpha)t_2+\cdots+f_{n-1}(\alpha)t_n\]とすれば，最も簡単である．すなわち\[F_\xi={\textstyle\sum}\ \!\alpha\varphi(\alpha\ ;\ t)^2-\xi\ \!{\textstyle\sum}\ \!\varphi(\alpha\ ;\ t)^2=F_0-\xi F\]とおけば\begin{alignat*}{1}&\frac{f^\prime(x)}{f(x)}={\textstyle\sum}\frac{1}{\ x-\alpha\ },\\[2mm]&\frac{f^\prime(x)}{f(x)}-\frac{f^\prime(y)}{f(y)}={\textstyle\sum}\left(\frac{1}{x-\alpha}-\frac{1}{y-\alpha}\right)=-(x-y){\textstyle\sum}\frac{1}{(x-\alpha)(y-\alpha)}\end{alignat*}\begin{alignat*}{1}&\frac{f(x)f^\prime(y)-f(y)f^\prime(x)}{x-y}={\textstyle\sum}\frac{f(x)}{x-\alpha}\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{f(y)}{y-\alpha}\\[2mm]&\hphantom{f(x)}={\textstyle\sum}(f_0(\alpha)x^{n-1}+f_1(\alpha)x^{n-2}+\cdots+f_{n-1}(\alpha))(f_0(\alpha)y^{n-1}+\cdots+f_{n-1}(\alpha)).\end{alignat*}$\sum$ はもちろん $f(x)=0$ の根 $\alpha$，$\beta$，$\cdots$，$\lambda$ に関する和である．
よって\[F=B(f,\ f^\prime)\hphantom{x._0}\tag{$\ 2\ $}\]同じように\[F_0=B(f,\ xf^\prime).\tag{$\ 3\ $}\] 上文において $f(x)=0$ の根 $\alpha$，$\beta$，$\cdots$，$\lambda$ をみな相異なるものとしたけれど，複根がある場合にも $(\ 2\ )$，$(\ 3\ )$ は成立する．またこの場合に $F_\xi$ の位は $n$ よりは低いけれども，$\sigma(F_\xi)$ は実根のうち $\xi$ よりも大きいものと小さいものとを複数を計算に入れずに数えた数の差であるから，$(\ 1\ )$ はやはり成立する．
$\xi$ が実根 $\alpha$ に等しいときには，$F_\alpha$ においては $(\alpha-\xi)\varphi(\alpha,\ t)^2$ が消失する．この場合には，$(\ 1\ )$ は次のように変更されなければならない．\[N+e_\xi+e_\eta=\frac{\ \sigma(F_\xi)-\sigma(F_\eta)\ }{2}\]$e_\xi$，は $\xi$ が実根であるときには $\dfrac{1}{2}$ に等しく，そうでなければ $0$ に等しい．$e_\eta$ も同様である．
一般に，$f(x)$ を $n$ 次，$g(x)$ を $n$ 次以下の多項式として，$f(x)$ が複根をもたないとの仮定のもとにおいて，部分分数への分解\[\frac{\ g(x)\ }{\ f(x)\ }=c_0+{\textstyle\sum}\frac{g(\alpha)}{f^\prime(\alpha)}\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{1}{x-\alpha}\]を用いて，上の計算を行なえば\[{\textstyle\sum}\frac{g(\alpha)}{f^\prime(\alpha)}\varphi(\alpha,\ t)^2=B(f,\ g)\]を得る．これが $B(f,\ g)$ を $f(x)$ の根の対称式として表わす公式である．
この公式によれば定理 $10.\ 2$ に述べた $B(f,\ g)$ の符号定数の意味が一見して明瞭である．$\alpha$ が $f(x)=0$ の実根であるとき，一般的に（$\S\ 16$）\[\chi(\alpha)=\operatorname{sign}\left(\frac{g(\alpha)}{f^\prime(\alpha)}\right)\]であるからである．その欠点は $f(x)$ と $g(x)$ とに公約数がなく，また $f(x)$ が複根をもたないという事実上不要な仮定が計算の基礎になっているところにある．
$\boldsymbol{5.}$ ついでに Hurwitz の考案の大要を述べる．\[\frac{g(x)}{f(x)}=c_0+\frac{c_1}{x}+\frac{c_2}{x^2}+\cdots\]とし，また\[\varphi(x)=t_1+t_2x+t_3x^2+\cdots+t_nx^{n-1}\]とおけば\[\frac{\ g(x)\varphi(x)^2\ }{f(x)}\]の展開における $\dfrac{1}{x}$ の係数はすなわち二次形式 $C(f,\ g)$ である．しかるに上の有理式を部分分数に分解すれば，その分数の部分は単根の仮定のもとに\[{\textstyle\sum}\frac{g(\alpha)}{f^\prime(\alpha)}\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{\varphi(\alpha)^2}{x-\alpha},\]よって\[\frac{1}{\ x-\alpha\ }=\frac{1}{x}+\frac{\alpha}{x^2}+\frac{\alpha^2}{x^3}+\cdots\]を用いて，\begin{alignat*}{1}C(f,\ g)&={\textstyle\sum}\frac{g(\alpha)}{f^\prime(\alpha)}\varphi(\alpha)^2\\[2mm]&={\textstyle\sum}\frac{g(\alpha)}{f^\prime(\alpha)}(t_1+\alpha t_2+\cdots+\alpha^{n-1}t_n)^2.\end{alignat*} ここでも $C(f,\ g)$ の符号定数の意味は明瞭であるが，単根の仮定を徹去することは，計算の簡明を損なわずには困難である．
Hermite の考案も Hurwitz の考案も直接に Sturm の問題と二次形式論とを連結するもので，一般的の場合には符号定数の意味が鮮かに示される．われわれが前に述べた方法では，Hermite および Hurwitz の結果の間の関係を説明し，かつそれらを終結式論の系統中に摂取して，同時に問題の本質に無関係で，ただ方法の不備に由来する不要の仮定を撤去することができたのである．
〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 $n$ 次の実方程式 $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$ が相異なる $n$ 個の実根をもつために必要かつ十分な条件は\[D_1,\ D_2,\ \cdots,\ D_n\]がすべて正であることである．ただし\[D_k=\begin{vmatrix}\ s_0\hphantom{_{k-}}&s_1&\cdotp&\cdotp&s_{k-1}\hphantom{_2}\\[1mm]\ s_1\hphantom{_{k-}}&s_2&\cdotp&\cdotp&s_k\hphantom{_{2-2}}\\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{_{k-2}}\\[1mm]\ s_{k-1}&s_k&\cdotp&\cdotp&s_{2k-2}\ \end{vmatrix}\]で，$s_k$ は $f(x)=0$ の根の $k$ 乗の和（$s_0=n$）である．
$f(x)=0$ が実根のみをもつために必要かつ十分な条件は\[D_1\gt0,\hphantom{1}\cdots\cdots,\ D_r\gt0,\ D_{r+1}=\cdots=D_n=0\]で，$r$ が相異なる実根の数である．
〔解〕 $\dfrac{f^\prime(x)}{f(x)}=\dfrac{s_0}{x}+\dfrac{s_1}{x^2}+\dfrac{s_2}{x^3}+\cdots$．よって $C(f,\ f^\prime)$ の行列が $D_n$ になる．この場合には，$\chi(x_0)=1$ であるから，$\sigma(f,\ f^\prime)$ が実根の数（複数を数えず）である．ゆえに定理の初めの部分は明白である．さて $C(f,\ f^\prime)$ の位を $r$ とすれば $n-r$ が $f$，$f^\prime$ の最大公約数の次数，したがって $r$ が複数を数えない $f(x)$ の根の数である．このとき $D_r\neq0$，$D_{r+1}=D$，$\cdots$，$D=0$（定理 $10.\ 1$ 参照）．
定理の後の部分は $\sigma=r$ である場合である． 〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 $f(x)$ は前の通りとして，$f(x)=0$ が相異なる $n$ 個の正根をもつために必要かつ十分な条件は\[D_1{}^\prime\gt0,\hphantom{1}D_2{}^\prime\gt0,\ \cdots,\ D_n{}^\prime=0.\]ただし\[D_k{}^\prime=\begin{vmatrix}\ s_1&s_2&\cdotp&\cdotp&s_k\hphantom{_{2-1}}\ \\[1mm]\ s_2&s_3&\cdotp&\cdotp&s_{k+1}\hphantom{_2}\\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\hphantom{_{k-2}}\\[1mm]\ s_k&s_{k+1}&\cdotp&\cdotp&s_{2k-1}\ \end{vmatrix}\] 〔解〕 $C(f,\ xf^\prime)$ の係数の行列が $[D_n{}^\prime]$ である．この場合には\[\sigma(f,\ xf^\prime)=V(-\infty)-V(\infty)=\underset{x_0\gt0}{\textstyle\sum}\ \!\chi(x_0)-\underset{x_0\lt0}{\textstyle\sum}\ \!\chi(x_0).\]すなわち $f$ の正根と負根との数（複数を数えず）の差である．ゆえに問題の定理は明白である．
〔問題 $\boldsymbol{3}$〕 $f(x)=0$ は $n$ 次の方程式，$g(x)=0$ は $n-1$ 次以下の方程式で，$\xi$，$\eta$ は $f(x)=0$ の根でないとして，$B(f,\ (x-y)g)$ の符号定数を $\sigma_\xi$ とすれば\[V(\xi)-V(\eta)=\frac{\ \sigma_\xi-\sigma_\eta\ }{2}\]ただし $V$ は $f$ と $g$ とに関する Sturm の函数列の符号の変りの数である．
〔解〕 $g(x)$ が $n$ 次よりも低いときには\[\sigma_\xi=\overset{\infty}{\underset{\xi}{\textstyle\sum}}\ \!\chi(x_0)-\overset{\xi}{\underset{-\infty}{\textstyle\sum}}\ \!\chi(x_0).\]右辺の二つの和は $f(x)/g(x)=0$ の実根のうち $\xi$ よりも大きいものと $\xi$ よりも小さいものとに関する和である．
$g(x)$ が $n$ 次のときには，$g(x)=cf(x)+g_0(x)$，$g_0(x)$ は $n-1$ 次以下として\[\sigma_\xi=\operatorname{sign}\ \!(c)+\sigma(f,\ (x-\xi)g_0).\]これから問題の定理を得る．
〔問題 $\boldsymbol{4}$〕 任意の係数をもつ方程式\[f(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_n=0\]の根がすべて単位円の内部にあるために必要かつ十分な条件は，$f(z)$ を斉次の形 $f(z_1,\ z_2)$ にしるして\[f(t+i,\ t-i)=U(t)+iV(t)\]とおくとき，\[\sigma(U,\ V)=n\]である．
この条件を次のように変形することができる．\[f^{\large*}(z)=\overline{a}_nz^n+\overline{a}_{n-1}z^{n-2}+\cdots+\overline{a}_0\]とおいて，$f$，$f^{\large*}$ から Bézout の形式を作って，その係数を $d_{pq}$ とすれば，$d_{pq}$ は複素数ではあるが，$\S\ 73$ の $d_{pq}$ の式から見える通り\[\overline{d}_{p,\ q}=d_{n-p+1,\ n-q+1}=d_{n-q+1,\ n-p+1}.\] ゆえに\[H=\begin{vmatrix}\ d_{1n}&d_{1,\ n-1}&\hspace{-1em}\cdotp&\cdotp&\hspace{-0.2em}d_{11}\ \\[1mm]\ d_{2n}&d_{2,\ n-1}&\hspace{-1em}\cdotp&\cdotp&\hspace{-0.2em}d_{21}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\hspace{-1em}\cdotp&\cdotp&\hspace{-0.2em}\cdotp\ \\[1mm]\ d_{nn}&d_{n,\ n-1}&\hspace{-1em}\cdotp&\cdotp&\hspace{-0.2em}d_{n1}\ \end{vmatrix}\]は一つの $H$ 形式の係数の行列である．この $H$ 形式は $B(U,\ V)$ と対等である．$B(U,\ V)$ は二次形式としたが，その変数を互いに共役な $2$ 組の変数でおき換えて $H$ 形式を得る．ここではその $H$ 形式を $B(U,\ V)$ とする．二次形式としても，$H$ 形式としても，位および符号定数に変りはない．
よって上の条件は\[\sigma(H)=n\]になる．
なお一般に $H$ の位が $n$ のとき，符号定数を $\sigma$ とすれば，$f(z)=0$ の根の中で，単位円の内部および外部にあるものの数はそれぞれ\[\frac{\ n+\sigma\ }{2}(\style{font-family:serif}{\text{内部}}),\hphantom{1}\frac{\ n-\sigma\ }{2}(\style{font-family:serif}{\text{外部}})\]である（定理 $3.\ 5$）．$r\lt n$ でも，$\sigma$ は両者の差に等しい．
〔解〕 $B\sim H$ だけを示せばよい．
| $f\hphantom{^{\large*}}(t+i,\ t-i)=a_0(t+i)^n+\cdots+a_n(t-i)^n=U(t)+iV(t)\hphantom{.}$ | ||
| したがって | $f^{\large*}(t+i,\ t-i)=\overline{a}_n(t+i)^n+\cdots+\overline{a}_0(t-i)^n=U(t)-iV(t).$ |
$\S\ 73$，$3$（$355$ 頁）の公式において，$g$ に $f^{\large*}$ を代用し，かつ $x=\dfrac{t+i}{t-i}$，$y=\dfrac{t^\prime+i}{t^\prime-i}$ として分母を払えば\begin{alignat*}{1}&\begin{vmatrix}f(t\hphantom{^\prime}+i,\ t\hphantom{^\prime}-i)&f^{\large*}(t\hphantom{^\prime}+i,\ t\hphantom{^\prime}-i)\\[1mm]f(t^\prime+i,\ t^\prime-i)&f^{\large*}(t^\prime+i,\ t^\prime-i)\end{vmatrix}:(t-t^\prime)\\[2mm]&\hspace{1em}=-2i\underset{p,\ q}{\textstyle\sum}\ \!d_{pq}(t+i)^{n-p}(t-i)^{p-1}(t^\prime+i)^{n-q}(t^\prime-i)^{q-1}\\[2mm]&\hspace{1em}=\left|\begin{array}{l}U(t)+iV(t)&U(t)-iV(t)\\[1mm]U(t^\prime)+iV(t^\prime)&U(t^\prime)-iV(t^\prime)\end{array}\right|:(t-t^\prime)=-2i\left|\begin{array}{lr}U(t)&V(t)\\[1mm]U(t^\prime)&V(t^\prime)\end{array}\right|:(t-t^\prime)\end{alignat*}ゆえに $B(U,\ V)=\sum\ \!d_{p,\ q}X_p\overline{X}_{n-q+1}$，ただし $X_p$ は $(t+i)^{n-p}(t-i)^{p-1}$ の展開において $t$ の各冪 $t^k$ を $x_k$ でおき換えた一次式である．
すなわち上記の通り $B(U,\ V)$ と $H$ とが対等である． 〔問題 $\boldsymbol{5}$〕 前の問題の行列 $H$ の首座行列式 $H_1$，$H_2$，$\cdots$，$H_n$ を直接に係数 $a_0$，$a_1$，$\cdots$，$a_n$ を用いて次のような形に表わすことができる（Schur）．\[D_n=\left|\begin{array}{r:l}\ a_0\hphantom{N}a_1\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ &a_n\\[1mm]a_0\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ &a_{n-1}\hphantom{N}a_n\\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ &\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[1mm]a_0&a_1\hphantom{m}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}a_n\ \\[1mm]\hdashline\ \overline{a}_n\hphantom{n}\overline{a}_{n-1}\ \!\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ &\overline{a}_0\\[1mm]\overline{a}_n\hphantom{N}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ &\overline{a}_1\hphantom{N}\overline{a}_0\\[1mm]\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\ &\ \cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\\[1mm]\overline{a}_n&\overline{a}_{n-1}\hphantom{mb}\cdotp\hphantom{M}\cdotp\hphantom{N}\overline{a}_0\ \end{array}\right|\begin{array}{l}\ \\[1mm]n\\[1mm]\ \\[1mm]\ \\[1mm]\ \\[1mm]n\\[1mm]\ \\[1mm]\ \\[1mm]\end{array}\]とおいて，その $n$，$2n$ という二つの番号の $2$ 行 $2$ 列を取り除いて $D_{n-1}$ を作り，$D_{n-1}$ から同じようにして $D_{n-2}$ を作り，しだいにこのようにして，ついに\[D_2=\left|\begin{array}{ll:ll}\ a_0&a_1&a_n&\\[2mm]&a_0&a_{n-1}&a_n\ \\[2mm]\hdashline\ \overline{a}_n&\overline{a}_{n-1}&\overline{a}_0&\\[2mm]&\overline{a}_n&\overline{a}_1&\overline{a}_0\end{array}\right|,\hspace{1cm}D_1=\begin{vmatrix}\ a_0&a_n\ \\[1mm]\ \overline{a}_n&\overline{a}_0\ \end{vmatrix}\]に至るとすれば，\[H_k=D_k\] 〔解〕 これは $\S\ 73$ で $R_k$ を縮めて $d_{pq}$ で表わした過程を逆にしたのにすぎない．