補 遺
$1.$ 正 規 行 列
行列 $A$ の行と列とを転置し，同時に各組成分子を共役複素数で置き換えたものを $A^{\large*}$ で表わす．すなわち常例の記法でいえば\[A^{\large*}=(\overline{A}{}^\prime)=(\overline{A})^\prime.\]しからば\[(A^{\large*})^{\large*}=A,\hspace{1cm}(A+B)^{\large*}=A^{\large*}+B^{\large*},\hspace{1cm}(AB)^{\large*}=B^{\large*}A^{\large*},\]\[(\lambda A)^{\large*}=\overline{\lambda}A^{\large*},\hspace{1cm}(A^{\large*})^{-1}=(A^{-1})^{\large*}.\] $H$ 行列（$\S\ 68$）の場合には，$H=H^{\large*}$．$U$ 行列（$\S\ 68$）の場合には，$U^{\large*}=U^{-1}$．
〔定義〕 正方行列 $A$ が $AA^{\large*}=A^{\large*}A$ という条件を満たすとき，$A$ を正規（normal）行列という（Toeplitz）．
ゆえに $H$ 行列，$U$ 行列などは，正規行列の特別の場合である．一般に正方行列 $A$ を $H$ 行列 $H$，$K$ をもって一意的に次の形にすることができる：\[A=H+iK,\hspace{1cm}H=\frac{1}{2}(A+A^{\large*}),\hspace{1cm}K=\frac{1}{2i}(A-A^{\large*}).\]上の $H$，$K$ が $H$ 行列であることは明らかであるが，逆に\[A=H_1+iK_1\]で，$H_1$，$K_1$ が $H$ 行列であるとすれば，$H+iK=H_1+iK_1$ から $H-H_1=i(K_1-K)$．ここで $i(K_1-K)$ が $H$ 行列であることから，$i(K_1-K)=-i(K_1{}^{\large*}-K^{\large*})=-i(K_1-K)$，すなわち $2i(K_1-K)=0$．ゆえに $K_1=K$，したがって $H_1=H$．すなわち $A=H+iK$ において $H$，$K$ は一意的である．
〔定理 $\boldsymbol{1}$〕 $A$ が正規であるためには，$HK=KH$ が必要かつ十分である．
〔証〕 $A^{\large*}=H^{\large*}-iK^{\large*}=H-iK$ を用いる．\[AA^{\large*}=H^2+K^2-i(HK-KH),\hphantom{A}A^{\large*}A=H^2+K^2+i(HK-KH)\]すなわち $AA^{\large*}=A^{\large*}A$ は $HK=KH$ と同等である：
〔定理 $\boldsymbol{2}$〕 正規行列を $U$ 行列で変形すれば正規行列が生ずる．
〔証〕 直接に計算しても，あるいは定理 $1$ を用いても，すぐにわかる．
〔定理 $\boldsymbol{3}$〕 正規行列は $U$ 行列によって対角線型に変形される．これが正規行列の特性である．
〔証〕 定理 $1$ を用いるならば，交換可能な $H$ 行列 $H$，$K$ が同一の $U$ 行列で，同時に対角線形に変形されることを示せばよい．
$H$ を $U$ で標準形に変形し，相異なる固有値 $\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_s$ に対応して\[H_0=U^\prime HU=\begin{vmatrix}\ H_1\hphantom{H_2H_s\ddots}\\\hphantom{H_1}H_2\hphantom{H_s\ddots}\\[-3mm]\hphantom{H_1H_2}\style{transform:scale(1,1.4)}\ddots\hphantom{H_s}\\\hphantom{H_1H_2\ddots}H_s\ \end{vmatrix}\style{font-family:serif}{\text{ ただし }}H_i=\begin{vmatrix}\ \alpha_i\hphantom{H_1H_1\ddots}\\\hphantom{H_1}\alpha_i\hphantom{H_1\ddots}\\[-3mm]\hphantom{H_1H_1}\style{transform:scale(1,1.4)}\ddots\hphantom{H_1}\\\hphantom{H_1H_1\ddots}\alpha_i\ \end{vmatrix}\]（$\nu_i$ 次）とする，$\sum\ \!\nu_i=n$．この $U$ で $K$ を変形すれば，$HK=KH$ から\[K_0=U^\prime KU=\begin{vmatrix}\ K_1\hphantom{K_2K_s\ddots}\\\hphantom{K_1}K_2\hphantom{K_s\ddots}\\[-3mm]\hphantom{K_1K_2}\style{transform:scale(1,1.4)}\ddots\hphantom{K_s}\\\hphantom{K_1K_2\ddots}K_s\ \end{vmatrix}\]を得る．$K_i$ は $\nu_i$ 次の $H$ 行列である．よって $K_1$，$K_2$，$\cdots$，$K_s$ を標準形にする $U$ 行列を $U_1$，$U_2$，$\cdots$，$U_s$ とすれば，それらによって $H_1$，$H_2$，$\cdots$，$H_s$ は変わらない．すなわち初めの $U$ と\[\begin{vmatrix}\ U_1\hphantom{U_2U_s\ddots}\\\hphantom{U_1}U_2\hphantom{U_s\ddots}\\[-3mm]\hphantom{U_1U_2}\style{transform:scale(1,1.4)}\ddots\hphantom{U_s}\\\hphantom{U_1U_2\ddots}U_s\ \end{vmatrix}\]とを結合して作られる $U$ 行列によって正規行列 $A=H+iK$ が標準形に変形される．
〔注意〕 同様の方法によって交換可能な正規行列が同一の $U$ 行列で同時に標準形に変形されることが証明される．
〔定理 $\boldsymbol{4}$〕 二重一次式 $A(x,\ \overline{x})=\sum\ \!a_{\alpha\beta}x_\alpha\overline{x}_\beta$ の係数が正規行列 $A$ をなすときは，$\sum\ \!|x|^2\leqq1$ なる $(x)$ に対してそれの取る値域は $A$ の固有値を含む最小の凸多角形である．
〔証〕 $\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$ を $A$ の固有値とすれば，$A(x,\ \overline{x})=\sum\ \!\alpha_\nu X_\nu X_\nu$，$\sum\ \!|X_\nu|^2\leqq1$ から明らかである．