第 $1$ 章 初 等 整 数 論
$\S\ 9.$ $1$ の $n$ 乗 根
$\boldsymbol{1.}$ $1$ の $n$ 乗根すなわち，方程式 $x^n-1=0$ の根は $n$ 個あって，それらは\[\left.\begin{array}{l}\cos\theta+i\sin\theta,\\\theta=\dfrac{2k\pi}{n},\ \ k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ n-1.\end{array}\ \right\}\tag{$\ 1\ $}\] しかしながら，$\cos$，$\sin$ の周期性から知られる通り\[\theta=\frac{2k\pi}{n},\ \ \ \theta^\prime=\frac{2k^\prime\pi}{n}\]に対応する $n$ 乗根は $\theta-\theta^\prime$ が $2\pi$ の倍数，したがって $k-k^\prime$ が $n$ の倍数，すなわち $k\equiv k^\prime\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ n\right)$ であるときに限って相等しいから，$1$ の $n$ 乗根をことごとく得るために $\left(\ 1\ \right)$ において $k$ に与えるべき値は，$n$ を法としての一つの剰余系である．$\left(\ 1\ \right)$ において $\left(k,\ n\right)=1$ のときは，$2k\pi/n$ は $n$ 倍して初めて $2\pi$ の倍数になるから，\[\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\]は $n$ 乗して初めて $1$ に等しくなるものである．これらを $1$ の原始 $n$ 乗根という．もしも $\left(k,\ n\right)=d\gt1$ ならば，$n=dn^\prime$，$k=dk^\prime$ と置くとき，\[\frac{2k\pi}{n}=\frac{2k^\prime\pi}{n^\prime}\]であるから，\[\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\]は $n^\prime$ 乗してすでに $1$ に等しくなる．すなわち $1$ の $n^\prime$ 乗根である．
〔定理 $\boldsymbol{1.\ 23}$〕 $1$ の原始 $n$ 乗根は $\varphi\left(n\right)$ 個ある．それらは\[\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\]において，$k$ に $n$ を法としての既約剰余系の値を与えて得られるものである．
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〔定理 $\boldsymbol{1.\ 24}$〕 $n$ の素数分解を $n=p^\alpha q^\beta r^\gamma\cdots\cdots$ とし，\[F_n(x)=\frac{(x^n-1)(x^{\displaystyle\small\frac{n}{pq}}-1)(x^{\displaystyle\small\frac{n}{pr}}-1)(x^{\displaystyle\small\frac{n}{qr}}-1)\cdots\cdots}{(x^{\displaystyle\small\frac{n}{p}}-1)(x^{\displaystyle\small\frac{n}{q}}-1)(x^{\displaystyle\small\frac{n}{r}}-1)\cdots(x^{\displaystyle\small\frac{n}{pqr}}-1)\cdots}\tag{$\ 2\ $}\\[3em]=\overset{d|n}{\textstyle\prod}\ (x^{\displaystyle\small\frac{n}{d}}-1){}^{\mu(d)}\]とすれば，$F_n\left(x\right)$ は $1$ の原始 $n$ 乗根のみを根とする多項式である．
$F_n\left(x\right)$ は $\varphi\left(n\right)$ 次で，その最高項の係数は $1$，その他の係数は皆整数である．$\mu$ は Möbius の函数（$48$ 頁）である．
〔証〕 $1$ の原始 $n$ 乗根のみを根（単根）とする方程式を $F_n\left(x\right)=0$ とし，その最高項の係数を $1$ とする．その他の $n$ 乗根は $n$ の或る真の約数 $d$ を次数とする原始 $d$ 乗根で，また $d$ 乗根はもとより全部 $n$ 乗根の中に含まれているから\[\overset{d|n}{\textstyle\prod}F_d\left(x\right)=x^n-1.\] よって定理 $1.\ 22$ における $F\left(n\right)$ と $G\left(n\right)$ とにそれぞれ $F_n\left(x\right)$ と $x^n-1$ とをあて，また和の代わりに積をとり，したがって $u\left(n/d\right)$ を係数とする代わりに，それを指数とするならば\[F_n\left(x\right)=\overset{d|n}{\textstyle\prod}\ (x^{\displaystyle\small\frac{n}{d}}-1){}^{\mu\left(d\right)}\]を得る．これを書き直せば $\left(\ 2\ \right)$ を得る．
$\log$ を用いるならば\[\overset{d|n}{\textstyle\sum}\log F_d\left(x\right)=\log\ (x^n-1)\]から定理 $1.\ 22$ によって\[\log F_n\left(x\right)=\overset{d|n}{\textstyle\sum}\mu\left(d\right)\log\ (x^{\displaystyle\small\frac{n}{d}}-1).\]したがって\[F_n\left(x\right)=\overset{d|n}{\textstyle\prod}\ (x^{\displaystyle\small\frac{n}{d}}-1){}^{\mu\left(d\right)}.\]この計算では，$x$ を十分大きい正数として $F_d\left(x\right)$，$x^n-1$ が正の値を有するものとして，$\log$ の実数値をとると考えるがよい．最後の結果はもちろん $x$ に関する恒等式である（代．$\S\ 22$）．
$F_n\left(x\right)$ の次数はもちろん $\varphi\left(n\right)$ で，その係数は $\left(\ 2\ \right)$ から見える通り，整数である：$\left(\ 2\ \right)$ の分子と分母とにおける積を展開して後に，割り算を行なうと想像すれば，分母の最高項の係数が $1$ であるから，割り算に際して商の係数に分数の生ずる余地がない．
例えば\[F_{12}\left(x\right)=\frac{\left(x^{12}-1\right)\left(x^2-1\right)}{\left(x^6-1\right)\left(x^4-1\right)}=\frac{x^6+1}{x^2+1}=x^4-x^2+1.\] また $p$ が素数ならば，\[F_p\left(x\right)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots\cdots+x+1,\\F_{p^{\ e}}\left(x\right)=x^{p^{\ e-1\ }\left(p-1\right)}+x^{p^{\ e-1\ }\left(p-2\right)}+\cdots+x^{p^{\ e-1\ }}+1.\] 〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 $F_n\left(x\right)$ の常数項は，$n=1$ の場合のほか，$+1$ である．
〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 $F_n\left(x\right)$ の第二項の係数は $-\mu\left(n\right)$ に等しい．すなわち $1$ の原始 $n$ 乗根の和は $\mu\left(n\right)$ に等しい．
〔解〕 原始 $n$ 乗根の和を $f\left(n\right)$ とすれば，$x^n-1=0$ から\[\overset{d|n}{\textstyle\sum}f\left(d\right)=\begin{cases}1,&n=1\ のとき,\\0,&n\gt1\ のとき.\end{cases}\]
| 故に（定理 $1.\ 22$） | $\begin{alignat*}{1}f\left(n\right)&=\mu\left(n\right)\hspace{0.7mm}\cdotp1+\mu\left(d\right)\hspace{0.7mm}\cdotp0+\cdots\cdots+\mu\left(1\right)\hspace{0.7mm}\cdotp0\\&=\mu\left(n\right)\end{alignat*}$ |
〔解〕 $\rho^k$ は無論 $1$ の $n$ 乗根であるが，$\rho$ が原始 $n$ 乗根であるから $\rho$ の巾が $1$ に等しいのは指数が $n$ の倍数であるときに限る．故に $\rho^k=\rho^{k\prime}$ になるのは，$k\equiv k^\prime\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ n\right)$ のときに限る．
$k$ に $n$ を法としての完全な代表の一組の値を与えるとき，$\rho^k$ から $n$ 個の相異なる $n$ 乗根，すなわちすべての $n$ 乗根が出てくる．
また $\left(k,\ n\right)=d$，$n=dn^\prime$ とすれば $\left(\rho^k\right){}^{n\prime}=1$．また $\left(\rho^k\right){}^e=1$ ならば，$ke$ は $n$ の倍数，よって $e$ は $n^\prime$ の倍数である．すなわち $\rho^k$ は原始 $n^\prime$ 乗根である．特に $d=1$ のときに，$\rho^k$ は原始 $n$ 乗根である．
〔問題 $\boldsymbol{4}$〕 $\left(a,\ b\right)=1$ ならば，$1$ の $a$ 乗根と $b$ 乗根とをすべての組合せに掛けて得られる $ab$ 個の積が，$1$ の $ab$ 乗根の全部になる．もしも原始 $a$ 乗根と原始 $b$ 乗根とのみを掛け合わせるならば，原始 $ab$ 乗根だけ得られる．
〔解〕 $\alpha=\cos\dfrac{2\pi}{a}+i\sin\dfrac{2\pi}{a}$，$\beta=\cos\dfrac{2\pi}{b}+i\sin\dfrac{2\pi}{b}$ とすれば\[\alpha^x\beta^y=\cos\frac{2\left(bx+ay\right)\pi}{ab}+i\sin\frac{2\left(bx+ay\right)\pi}{ab}.\] ここで $x$，$y$ にそれぞれ $a$，$b$ を法としての剰余系［または既約剰余系］の値を与えるならば，$bx+ay$ は $ab$ を法としての剰余系［または既約剰余系］の値をとる（定理 $1.\ 19$）．故に問題にいう通りになる．