第 $1$ 章 初 等 整 数 論
$\S\ 14.$ Jacobi の記号
$\boldsymbol{1.}$ 前節の例に示したように，Legendre の記号 $\left(\dfrac{\raise{0.1em}n}{\lower{0.1em}r}\right)$ の値を相互法則によって求めるときに，$n$ が素数でない場合には，$n$ の因数であるすべての奇の素数 $p$，$p^\prime$，$\cdots\cdots$ に関して $\left(\dfrac{r}{p}\right)$，$\left(\dfrac{r}{p^\prime}\right)$，$\cdots\cdots$ を別々に計算する必要が生じる．この因数分解から生じる手数を節約するために Jacobi の記号を応用する．それは Legendre の記号を法が合成数である場合に拡張したものである．Jacobi の記号 $\left(\dfrac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)$ の定義は次の通り．$n\gt1$ が奇数で，$n=pp^\prime p^{\prime\prime}\cdots\cdots$ が $n$ の素因数分解であるとき，$\left(m,\ n\right)=1$ なる整数 $m$ に関して\[\left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)=\left(\frac{m}{p}\right)\left(\frac{m}{p^\prime}\right)\left(\frac{m}{p^{\prime\prime}}\right)\cdots\cdots\]とする．右辺に記したのは Legendre の記号である．
故に $\left(\dfrac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)$ は，$\pm1$ に等しい．
〔注意〕 Jacobi の記号 $\left(\dfrac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)$ が $+1$ に等しいことは，$m$ が $n$ を法としての平方剰余であることを示すものではない．合同式 $x^2\equiv m\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ n\right)$ が解を有するためには，$n$ に含まれるすべての素因数を法として，この合同式に解があることが必要である．すなわち $\left(\dfrac{m}{p}\right)$，$\left(\dfrac{m}{p^\prime}\right)$，$\left(\dfrac{m}{p^{\prime\prime}}\right)$，$\cdots\cdots$ がすべてに $+1$ 等しいことが必要である．しかるに，これらのうちに $-1$ に等しいものがあっても，その数が偶数ならば $\left(\dfrac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)=+1$ である．
$\left(\dfrac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)=-1$ ならば，$\left(\dfrac{m}{p}\right)$，$\left(\dfrac{m}{p^\prime}\right)$，$\cdots\cdots$ の中に $-1$ に等しいものが必ずあるから，上記の合同式に解がないことはもちろんであるが，$\left(\dfrac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)=+1$ でも，解がないこともあるのである．
〔定理 $\boldsymbol{1.\ 34}$〕 $m=m^\prime\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ n\right)$ であるとき，\[\left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)=\left(\frac{m^\prime}{n}\right)\] 〔証〕 $n=pp^\prime p^{\prime\prime}\cdots=\prod p$とすれば，$m\equiv m^\prime\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)$，$\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p^\prime\right)$，$\cdots\cdots$ 故に\[\left(\frac{m}{p}\right)=\left(\frac{m^\prime}{p}\right),\ \ \left(\frac{m}{p^\prime}\right)=\left(\frac{m^\prime}{p^\prime}\right),\ \cdots\cdots\\[2mm]{\textstyle\prod}\left(\frac{m}{p}\right)={\textstyle\prod}\left(\frac{m^\prime}{p}\right).\]すなわち\[\left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)=\left(\frac{m^\prime}{n}\right).\] 〔定理 $\boldsymbol{1.\ 35}$〕 $\left(\dfrac{mm^\prime}{n}\right)=\left(\dfrac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)\left(\dfrac{m^\prime}{n}\right)$．
| 〔証〕 | \begin{alignat*}{1}\left(\frac{mm^\prime}{n}\right)&={\textstyle\prod}\left(\frac{mm^\prime}{p}\right)={\textstyle\prod}\left(\frac{m}{p}\right)\left(\frac{m^\prime}{p}\right)\\&={\textstyle\prod}\left(\frac{m}{p}\right){\textstyle\prod}\left(\frac{m^\prime}{p}\right)=\left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)\left(\frac{m^\prime}{n}\right).\end{alignat*} |
さて $n=pp^\prime p^{\prime\prime}\cdots\cdots$ とすれば $\left(\dfrac{-1}{n}\right)=\prod\left(\dfrac{-1}{p}\right)=\prod\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}$\begin{alignat*}{1}&=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}{\sum\frac{p-1}{2}}}\\&=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{n-1}{2}}.\end{alignat*} 〔 $\left(\ 1\ \right)$ の証〕 $m=qq^\prime\cdots\cdots$，$n=pp^\prime\cdots\cdots$ とすれば，\begin{alignat*}{2}\left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)&=\overset{p}{\textstyle\prod}\left(\frac{m}{p}\right)&&=\overset{p,\ q}{\textstyle\prod}\left(\frac{q}{p}\right)\\[2mm]\left(\frac{\raise{0.1em}n}{\lower{0.1em}m}\right)&=\overset{q}{\textstyle\prod}\left(\frac{n}{p}\right)&&=\overset{p,\ q}{\textstyle\prod}\left(\frac{p}{q}\right).\end{alignat*}故に\begin{alignat*}{1}\left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)\left(\frac{\raise{0.1em}n}{\lower{0.1em}m}\right)&=\overset{p,\ q}{\textstyle\prod}\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=\overset{p,\ q}{\textstyle\prod}\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}{\frac{p-1}{2}\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{p-1}{2}}}\\&=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}{\sum^{p,\ q}\frac{p-1}{2}\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{q-1}{2}}}\\&=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}{\sum\frac{p-1}{2}\hspace{0.7mm}\cdotp\sum\frac{q-1}{2}}}\\&=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}{\frac{m-1}{2}\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{n-1}{2}}}.\end{alignat*} 〔 $\left(\ 3\ \right)$ の証〕 $a$，$b$ を奇数とすれば\[\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\equiv0\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 16\right),\]すなわち\[a^2b^2-1\equiv a^2-1+b^2-1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 16\right).\]故に\[\frac{a^2b^2-1}{8}\equiv\frac{a^2-1}{8}+\frac{b^2-1}{8}\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 2\right).\]$a$，$b$ 等の因数がいくつあっても，同様である．
さて $n=pp^\prime p^{\prime\prime}\cdots\cdots$ とすれば，\[\left(\frac{2}{n}\right)={\textstyle\prod}\left(\frac{2}{p}\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}{\sum\frac{p^2-1}{8}}}=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{n^2-1}{8}}.\]
| 〔注意〕 | $n\equiv1,\ 3\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ のとき $\left(\dfrac{-2}{n}\right)=+1$． | |
| $n\equiv5,\ 7\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ のとき $\left(\dfrac{-2}{n}\right)=-1$． |
Jacobi の記号の値は上記定理 $1.\ 34-1.\ 36$ によって求められる．特に Legendre の記号の値を求めるときにも Jacobi の記号の性質を応用して素因数分解の手数を節約することができる．次の例は $81$ 頁に示したものと同一である．
| 〔例〕 | $\begin{alignat*}{2}\left(\frac{365}{1847}\right)&=\left(\frac{1847}{365}\right)&\hspace{1cm}&\left(定理\ 1.\ 36,\ \left(\ 1\ \right)\ \!\right)\\&=\left(\frac{22}{365}\right)&\hspace{1cm}&\left(定理\ 1.\ 34\right)\\&=\left(\frac{2}{365}\right)\left(\frac{11}{365}\right)&\hspace{1cm}&\left(定理\ 1.\ 35\right)\\&=-\left(\frac{11}{365}\right)&\hspace{1cm}&\left(定理\ 1.\ 36,\ \left(\ 3\ \right)\ \!\right)\\&=-\left(\frac{365}{11}\right)&\hspace{1cm}&\left(定理\ 1.\ 36,\ \left(\ 1\ \right)\ \!\right)\\&=-\left(\frac{2}{11}\right)&\hspace{1cm}&\left(定理\ 1.\ 34\right)\\&=1.&\hspace{1cm}&\left(定理\ 1.\ 36,\ \left(\ 3\ \right)\ \!\right).\end{alignat*}$ |
$\boldsymbol{2.}$ このように Jacobi の記号を用いて Legendre の記号 $\left(\dfrac{a}{p}\right)$ の値の計算の手続きをいくぶん節約することができるのであるが，ただそれだけを目標にして，Jacobi の記号を掲出したのではない．それはあまりにことごとしいであろう．Jacobi の記号の重大性は，本巻の終りまで整数論の講説に追随すれば了解されるであろう．その点を留保して，話のついでに，ここでなお一つの定理を述べておく．まず次の予備定理から始めなくてはならない．
〔定理 $\boldsymbol{1.\ 37}$〕 $m$ が平方数でないならば，$m$ を法とする $\varphi\left(m\right)$ 個の既約類のうち，半数に属する $n$ に対しては，$\left(\dfrac{\raise{0.1em}n}{\lower{0.1em}m}\right)=+1$，他の半数に対しては $\left(\dfrac{\raise{0.1em}n}{\lower{0.1em}m}\right)=-1$．
〔証〕 $m$ を法とする同一既約類に属する $n$ に対しては $\left(\dfrac{\raise{0.1em}n}{\lower{0.1em}m}\right)$ の値は一定である（定理 $1.\ 34$）．
いま $\varphi\left(m\right)$ 個の既約類の代表を $\left(\dfrac{\raise{0.1em}n}{\lower{0.1em}m}\right)$ の値によって $\boldsymbol{+}$ の組と $\boldsymbol{-}$ の組とに分けて，
| （$\boldsymbol{+}$） | $a_1$，$a_2$，$\cdots\cdots$，$a_\mu$： | $\left(\dfrac{\raise{0.1em}a}{\lower{0.1em}m}\right)=+1$， |
| （$\boldsymbol{-}$） | $b_1$，$b_2$，$\cdots\cdots$，$b_\nu$： | $\left(\dfrac{b}{m}\right)=-1$ |
$b_1$，$b_2$，$\cdots\cdots$，$b_\nu$ の中の任意の一つを単に $b$ と記すが，それを上記代表の各数に掛けるならば，積\begin{alignat*}{1}&ba_1,\ ba_2,\ \cdots\cdots,\ ba_\mu,\\&bb_1,\ bb_2,\ \cdots\cdots,\ bb_\nu\end{alignat*}は合わせてやはり既約類の代表の一組である．さて\[\left(\frac{ba_1}{m}\right)=\left(\frac{b}{m}\right)\left(\frac{\raise{0.1em}{a_1}}{\lower{0.1em}m}\right)=-1,\ \cdots\cdots;\hphantom{m}\left(\frac{bb_1}{m}\right)=\left(\frac{b}{m}\right)\left(\frac{b_1}{m}\right)=+1,\ \cdots\cdots\]で，$\boldsymbol{+}$ の組と $\boldsymbol{-}$ の組とが入れ代わる．したがって $\mu=\nu=\dfrac{\varphi\left(m\right)}{2}$．
| 〔例〕 | $m=15$，$\varphi\left(15\right)=8$． |
| $a=1$，$2$，$4$，$8$． | |
| $b=7$，$11$，$13$，$14$． |
| （第一） | $m\equiv1$ | $\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$． |
| （第二） | $m\equiv2,\ 3$ | $\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$． |
〔定理 $\boldsymbol{1.\ 38}$〕 $\boldsymbol{m}$ が平方因数を含まないときは，$\boldsymbol{\left(\dfrac{m}{p}\right)}$ は第一の場合には $m$ を法として，また第二の場合には $\boldsymbol{4m}$ を法としての既約類の中の半数に属する $\boldsymbol{p}$ に対しては $\boldsymbol{+1}$ となり，他の半数に属する $\boldsymbol{p}$ に対しては $\boldsymbol{-1}$ となる．
すなわち $\boldsymbol{m}$ が与えられたときは，$\boldsymbol{\left(\dfrac{m}{p}\right)}$ の値は $\boldsymbol{p}$ が $\boldsymbol{m}$ または $\boldsymbol{4m}$ を法としてのいかなる類に属するかのみによって決定されるものである．
これが相互法則の重要な内容である．
〔証〕 ［第一の場合：$m\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$．］
$m\gt0$ ならば，\[\left(\frac{m}{p}\right)=\left(\frac{\raise{0.1em}p}{\lower{0.1em}m}\right). \left(定理\ 1.\ 36,\ \ \left(\ 1\ \right)\ \!\right)\] $m\lt0$ ならば，$m=-m^\prime$ と置く．しからば $m^\prime\gt0$，$m^\prime\equiv3\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$．\begin{alignat*}{1}\left(\frac{m}{p}\right)=\left(\frac{-m^\prime}{p}\right)&=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{m^\prime}{p}\right)\\&=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\hspace{0.7mm}\cdotp\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\left(\frac{\raise{0.1em}p}{\lower{0.1em}m^\prime}\right) \left(定理\ 1.\ 36,\ \ \left(\ 1\ \right),\ \ \left(\ 2\ \right)\right)\\&=\left(\frac{\raise{0.1em}p}{\lower{0.1em}m^\prime}\right).\end{alignat*} 故に定理 $1.\ 37$ によって，$p$ が $m$ を法としての $\varphi\left(\left|m\right|\right)$ 個の既約類の中の半数（$p\equiv a_1$，$a_2$，$\cdots\cdots$）に属するとき $\left(\dfrac{m}{p}\right)=+1$ で，他の半数（$p\equiv b_1$，$b_2$，$\cdots\cdots$）に属するとき $\left(\dfrac{m}{p}\right)=-1$．
〔例 $1$〕 $m=21$．
$\varphi\left(21\right)=12$．既約類の代表は $x=\pm1$，$\pm2$，$\pm4$，$\pm5$，$\pm8$，$\pm10$．
$\left(\dfrac{\raise{0.1em}x}{\lower{0.1em}{21}}\right)$ を計算して $+$ の組 $a$ と $-$ の組 $b$ とに分けるならば，\[a=\pm1,\ \ \pm4,\ \ \pm5;\ \ \ b=\pm2,\ \ \pm8,\ \ \pm10.\] 故に $\text{mod}.\ 21$ に関して
| $p\equiv\pm1$，$\pm4$，$\pm5$ のとき， | $\left(\dfrac{21}{p}\right)=+1$． |
| $p\equiv\pm2$，$\pm8$，$\pm10$ のとき， | $\left(\dfrac{21}{p}\right)=-1$． |
| 〔例 $2$〕 | $m=-3$． |
| $\varphi\left(3\right)=2$． |
| $p=3n+1$ のとき， | $\left(\dfrac{-3}{p}\right)=+1$， |
| $p=3n-1$ のとき， | $\left(\dfrac{-3}{p}\right)=-1$． |
［第二の場合，その一：$m\equiv3\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$．］
$m\gt0$ ならば，\[\left(\frac{m}{p}\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\left(\frac{\raise{0.1em}p}{\lower{0.1em}m}\right).\]$m\lt0$ ならば，$m=-m^\prime$ と置けば，$m^\prime\gt0$，$m^\prime\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$．
故に\[\left(\frac{m}{p}\right)=\left(\frac{-m^\prime}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{m^\prime}{p}\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{p-1}{2}}\left(\frac{\raise{0.1em}p}{\lower{0.1em}{m^\prime}}\right).\]よって前のように，\[\left(\frac{a}{\left|m\right|}\right)=+1,\hspace{1cm}\left(\frac{b}{\left|m\right|}\right)=-1\]とすれば，
$p\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，$p\equiv a\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ m\right)$ のとき，$\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\dfrac{p-1}{2}}$ も $\left(\dfrac{p}{\left|m\right|}\right)$ も $+1$ に等しく，また
$p\equiv-1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，$p\equiv b\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ m\right)$ のとき，$\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\dfrac{p-1}{2}}$ も $\left(\dfrac{p}{\left|m\right|}\right)$ も $-1$ に等しく，したがって $\left(\dfrac{m}{p}\right)=+1$．
これらは合わせて $2\times\dfrac{1}{2}\varphi\left(\left|m\right|\right)=\varphi\left(\left|m\right|\right)=\dfrac{1}{2}\varphi\left(\left|4m\right|\right)$ の既約類 $\left(\text{mod}.\ 4m\right)$ である．その他の既約類に属する $p$ に対しては $\left(\dfrac{m}{p}\right)=-1$．
| 〔例 $3$〕 | $m=15$． |
| $\varphi\left(60\right)=16$． |
| $p\equiv1$ | $\hphantom{1}1$ | $\hphantom{1}1$ | $\hphantom{1}1$ | $-1$ | $-1$ | $-1$ | $-1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ | |
| $\equiv1$ | $\hphantom{1}2$ | $\hphantom{1}4$ | $\hphantom{1}8$ | $\ \hphantom{1}7$ | $\ 11$ | $\ 13$ | $\ 14\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 15\right)$ | |
| すなわち $p\equiv1$ | $17$ | $49$ | $53$ | $\ \hphantom{1}7$ | $\ 11$ | $\ 43$ | $\ 59\left(\text{mod}.\ 60\right)$ のとき | ， $\left(\dfrac{15}{p}\right)=+1.$ |
その他 $p\equiv13$，$19$，$23$，$29$，$31$，$37$，$41$，$47$ $\left(\text{mod}.\ 60\right)$ のとき，$\left(\dfrac{15}{p}\right)=-1$．
| 〔例 $4$〕 | $m=-5$． |
| $\varphi\left(20\right)=8$． |
| $\left.\begin{alignat*}{2}&m\gt0,\ m=2m^\prime,\ m^\prime\equiv1&\hphantom{m}&\left(\text{mod}.\ 4\right)\\[2mm]&m\lt0,\ m=-2m^\prime,\ m^\prime\equiv-1&\hphantom{m}&\left(\text{mod}.\ 4\right)\end{alignat*}\right\}$ | ならば， | |
| または |
| $\left.\begin{alignat*}{2}&m\gt0,\ m=2m^\prime,\ m^\prime\equiv-1&\hphantom{m}&\left(\text{mod}.\ 4\right)\\[2mm]&m\lt0,\ m=-2m^\prime,\ m^\prime\equiv1&\hphantom{m}&\left(\text{mod}.\ 4\right)\end{alignat*}\right\}$ | ならば， | |
| または |
後の場合には $a_0=1$，$3$； $b_0=5$，$7$
とすれば，\[\left.\begin{alignat*}{1}p\equiv a_0\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 8\right),\ p\equiv a\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ m^\prime\right)\\[2mm]p\equiv b_0\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 8\right),\ p\equiv b\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ m^\prime\right)\end{alignat*}\right\}\ のとき，\left(\frac{m}{p}\right)=+1.\] これらの $p$ は $8m^\prime=\left|4m\right|$ を法として，$4\times\left(\varphi\left(m^\prime\right)/2\right)=\varphi\left(\left|4m\right|\right)/2$ の既約類に属する．
残りの $\varphi\left(\left|4m\right|\right)/2$ 類においては \[\left.\begin{alignat*}{1}p\equiv a_0\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 8\right),\ p\equiv b\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ m^\prime\right)\\[2mm]p\equiv b_0\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 8\right),\ p\equiv a\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ m^\prime\right)\end{alignat*}\right\}\ で，\left(\frac{m}{p}\right)=-1.\]
| 〔例 $5$〕 | $m=6$． |
| $\varphi\left(24\right)=8$． | |
| $a_0=1,\ 3;\ \ b_0=5,\ 7;\ \ a=1,\ b=2$． |
| $p\equiv1\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}3$ | $\hphantom{1}5$ | $\hphantom{1}7\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ | ||
| $\equiv1\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}1$ | $\hphantom{1}2$ | $\hphantom{1}3\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 3\right)$ | ||
| $p\equiv1\hphantom{1}$ | $19$ | $\hphantom{1}5$ | $23\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 24\right)$ の | とき， | $\left(\dfrac{6}{p}\right)=+1.$ |
| $p\equiv1\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}3$ | $\hphantom{1}5$ | $\hphantom{1}7\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ | ||
| $\equiv2\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}2$ | $\hphantom{1}1$ | $\hphantom{1}1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 3\right)$ | ||
| $p\equiv17$ | $11$ | $13$ | $\hphantom{1}7\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 24\right)$ の | とき， | $\left(\dfrac{6}{p}\right)=-1.$ |
| 〔例 $6$〕 | $m=-6$． |
| $\varphi\left(24\right)=8$． | |
| $a_0=1,\ 7;\ \ b_0=3,\ 5;\ \ a=1,\ b=2$． |
| $p\equiv1\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}7$ | $\hphantom{1}3$ | $\hphantom{1}5\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ | ||
| $\equiv1\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}1$ | $\hphantom{1}2$ | $\hphantom{1}2\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 3\right)$ | ||
| $p\equiv1\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}7$ | $15$ | $\hphantom{1}5\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 24\right)$ の | とき， | $\left(\dfrac{-6}{p}\right)=+1.$ |
| $p\equiv1\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}7$ | $\hphantom{1}3$ | $\hphantom{1}5\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ | ||
| $\equiv2\hphantom{1}$ | $\hphantom{1}2$ | $\hphantom{1}1$ | $\hphantom{1}1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 3\right)$ | ||
| $p\equiv17$ | $23$ | $19$ | $13\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 24\right)$ の | とき， | $\left(\dfrac{-6}{p}\right)=-1.$ |
〔注意〕 算術級数の項中に含まれる素数に関する定理（$21$ 頁）をしばらく承認すれば，$m$ または $4m$ を法とする各既約類は限りなく多くの素数を含む．そうして，同一の類に属する素数 $p$ に関して $\left(\dfrac{m}{p}\right)$ はことごとく $+1$，またはことごとく $-1$ になるのである．
〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 $m$ は正または負で平方因数を有せず，$n$，$n^\prime$ は正で，また\begin{alignat*}{2}m&\equiv1&\hphantom{m}&\left(\text{mod}.\ 4\right)\ ならば\ d=m,\\[2mm]m&\equiv2,\ 3&\hphantom{m}&\left(\text{mod}.\ 4\right)\ ならば\ d=4m\end{alignat*}とする．しからば\begin{alignat*}{2}n&\equiv n^\prime\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ d\right)&&\ \ ならば\ \left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)=\left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}{n^\prime}}\right),\\[2mm]n&\equiv-n^\prime\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ d\right)&&\ \ ならば\ \left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)=\operatorname{sign}\ \!\!\!\left(m\right)\left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}{n^\prime}}\right)*\end{alignat*}$\ ^*$ $\operatorname{sign}\ \!\!\!\left(m\right)$ は $m$ の符号を表わす（代．$90$ 頁）． 〔解〕 初めの関係は定理 $1.\ 38$ の証明の中に示されている．よって $n^\prime\equiv-n\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ d\right)$ として三つの場合を区別する．
$\left(\ 1\ \right)$ $m\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，$d=m$．この場合には定理 $1.\ 38$ の証明（$86$ 頁）と同様に\[\left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right)=\left(\frac{n}{\left|m\right|}\right),\ \ \left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}{n^\prime}}\right)=\left(\frac{n^\prime}{\left|m\right|}\right)=\left(\frac{-1}{\left|m\right|}\right)\left(\frac{n}{\left|m\right|}\right).\] さて $m\gtrless0$ にしたがって $\left|m\right|\equiv\pm1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ ．故に $\left(\dfrac{-1}{\left|m\right|}\right)=\operatorname{sign}\ \!\!\!\left(m\right)$．すなわち上記の関係が成り立つ．
$\left(2,\ 1\right)$ $m\equiv3\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$．$d=4m$．この場合には\[n^\prime\equiv-n\equiv\left|d\right|n-n=\left(\left|d\right|-1\right)n\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ \left|d\right|\right)\]で，$\left|d\right|-1\gt0$，$\left|d\right|-1\equiv3\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$．
故に\[\left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}{n^\prime}}\right)=\left(\frac{m}{\left|d\right|n-n}\right)=\left(\frac{m}{\left|d\right|-1}\right)\left(\frac{\raise{0.1em}m}{\lower{0.1em}n}\right).\] よって $\left(\dfrac{m}{\left|d\right|-1}\right)=\operatorname{sign}\ \!\!\!\left(m\right)$ を示せばよい．
$m\gt0$ ならば，$m\equiv3\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，$\left|d\right|-1\equiv-1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ から\[\left(\frac{m}{\left|d\right|-1}\right)=-\left(\frac{\left|d\right|-1}{m}\right)=-\left(\frac{4m-1}{m}\right)=-\left(\frac{-1}{m}\right)=+1.\]$m\lt0$ ならば，$\left|m\right|\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$．故に\[\left(\frac{m}{\left|d\right|-1}\right)=\left(\frac{-1}{\left|d\right|-1}\right)\left(\frac{\left|m\right|}{\left|d\right|-1}\right)=-\left(\frac{\left|d\right|-1}{\left|m\right|}\right)=-\left(\frac{-1}{\left|m\right|}\right)=-1.\] $\left(2,\ 2\right)$ $m\equiv2\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，$d=4m=\pm8m^\prime$，$m^\prime$ は正の奇数．この場合にも $\left(\dfrac{m}{\left|d\right|-1}\right)=\operatorname{sign}\ \!\!\!\left(m\right)$ を示せばよい．\begin{alignat*}{1}\left(\frac{m}{\left|d\right|-1}\right)&=\left(\frac{\pm2m^\prime}{\left|d\right|-1}\right)=\left(\frac{\pm2}{\left|d\right|-1}\right)\left(\frac{m^\prime}{\left|d\right|-1}\right)\\&=\pm\left(\frac{m^\prime}{\left|d\right|-1}\right)\hphantom{m}［\left|d\right|-1\equiv-1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 8\right)\hphantom{m}に注意］\\&=\pm\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{m^\prime-1}{2}}\left(\frac{\left|d\right|-1}{m^\prime}\right)\\&=\pm\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{m^\prime-1}{2}}\left(\frac{-1}{m^\prime}\right)=\pm1=\operatorname{sign}\ \!\!\!\left(m\right)\end{alignat*}