第 $1$ 章 附 記
$\S\ 18.$ 任意の法に関する指数，指標
$\boldsymbol{1.}$ 指数の理論を任意の法に拡張するために，まず法が素数巾 $p^h$（$p\neq2$）なる場合から始める．$2$ は特別な素数で，別に取り扱う必要がある．〔定理 $\boldsymbol{1.\ 42}$〕 素数巾 $p^h$（$p\neq2$）を法とするとき，原始根 $r$ が存在する．すなわち $r$ はその $\varphi\left(p^h\right)=p^{h-1}\left(p-1\right)$ 乗が初めて $p^h$ を法として $1$ と合同になる数で，したがって\[1,\ r,\ r^2,\ \cdots\cdots,\ r^{\varphi-1},\hspace{1.5cm}\varphi=\varphi\left(p^h\right)=p^{h-1}\left(p-1\right),\]が法 $p^h$ の既約類を代表する．
〔証〕 或る特別な場合のほかは，$p$ を法としての原始根 $r$ が $p^h$ を法としても，原始根になるのである．$r^{p-1}\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right)$ であるが，一般的には $r^{p-1}=1+kp$，$\left(k,\ p\right)=1$ になるから，そのような数は，それをさらに $p^{h-1}$ 乗して初めて $\equiv1\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ p^h\right)$ になることを示そう．まず一般に $\left(k,\ p\right)=1$，$e\geqq1$ のとき，\[\left(1+kp^e\right)^p=1+k^\prime p^{e+1},\hphantom{m}\left(k^\prime,\ p\right)=1\]である．実際，\[\left(1+kp^e\right)^p=1+kp^{e+1}+\binom{p}{2}k^2p^{2e}+\binom{p}{3}k^3p^{3e}+\cdots\cdots+k^pp^{pe}\]で $\dbinom{p}{2}$，$\dbinom{p}{3}$，$\cdots\cdots$ は $p$ で割り切れる（$\S\ 4$，問題 $12$）から右辺の第三項以下は $p^{e+2}$ で割り切れる．特に末項における $p$ の指数 $pe$ も $e+1$ より大である（$p=2$，$e=1$ のときだけは別である．$p=2$ を別に取り扱う必要がここから生ずる）．故に\[\left(1+kp^e\right)^p=1+k^\prime p^{e+1}\]と置けば，$k^\prime\equiv k\hphantom{k}\left(\text{mod}.\ p\right)$，したがって$\left(k^\prime,\ p\right)=1$．
上記の関係によって\begin{alignat*}{1}&\left(1+kp\right)^p=1+k^\prime p^2,\hphantom{m}\left(k^\prime,\ p\right)=1,\\[2mm]&\left(1+kp\right)^{p^2}=\left(1+k^\prime p^2\right)^p=1+k^{\prime\prime}p^3,\hphantom{m}\left(k^{\prime\prime},\ p\right)=1,\end{alignat*}一般に\[\left(1+kp\right)^{p^n}=1+k^{\left(n\right)}p^{n+1},\hphantom{m}(k^{\left(n\right)},\ p)=1.\tag{$\ 1\ $}\] さて $r$ を法 $p$ の原始根とするとき，$r^x\equiv1\hphantom{p}\left(\text{mod}.\ p^h\right)$ ならばもちろん $r^x\equiv1\hphantom{p}\left(\text{mod}.\ p\right)$，したがって $x$ は $p-1$ で割り切れなければならない．
もしも $r^{p-1}=1+kp$，$\left(k,\ p\right)=1$ ならば，$\left(1+kp\right)^{p^{h-1}}\equiv1\hphantom{p}\left(\text{mod}.\ p^h\right)$ であるから，$1+kp$ は $\text{mod}.\ p^h$ に関して $p^{h-1}$ またはその約数なる指数に対応するが，$\left(\ 1\ \right)$ によって指数は $p^{h-1}$ でなければならない．故にこの場合 $r$ が法 $p^h$ の原始根である．
もしも $r^{p-1}=1+kp^\nu$，$\nu\gt1$ ならば，$r$ の代わりに $r+p$ をとればよい．なぜならば $r+p$ ももちろん法 $p$ の原始根であるが\begin{alignat*}{1}\left(r+p\right)^{p-1}&=r^{p-1}+\left(p-1\right)r^{p-2}p+\binom{p-1}{2}r^{p-3}p^2+\cdots\cdots\\[2mm]&\equiv1+\left(p-1\right)r^{p-2}p\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p^2\right)\\[2mm]&=1+k^\prime p,\hphantom{m}\left(k^\prime,\ p\right)=1.\end{alignat*}すなわち証明が成就したのである．
〔例〕 $p=5$，$r=2$ とすれば，$2^4=16=1+3\times5$．故に $2$ が $5^h$ を法としての原始根である．よって $\text{mod}.\ 5^2$ に関して次の指数表を得る．
| $N$ | $\ 1\ $ | $\ 2\ $ | $\ 3\ $ | $\ 4\ $ | $\ 6\ $ | $\ 7\ $ | $\ 8\ $ | $\ 9\ $ | $\ 11\ $ | $\ 12\ $ | $\ 13\ $ | $\ 14\ $ | $\ 16\ $ | $\ 17\ $ | $\ 18\ $ | $\ 19\ $ | $\ 21\ $ | $\ 22\ $ | $\ 23\ $ | $\ 24\ $ | ||||
| $\ \!I\!$ | $\ 0\ $ | $\ 1\ $ | $\ 7\ $ | $\ 2\ $ | $\ 8\ $ | $\ 5\ $ | $\ 3\ $ | $\ 14\ $ | $\ 16\ $ | $\ 9\ $ | $\ 19\ $ | $\ 6\ $ | $\ 4\ $ | $\ 13\ $ | $\ 15\ $ | $\ 18\ $ | $\ 12\ $ | $\ 17\ $ | $\ 11\ $ | $\ 10\ $ | ||||
$\boldsymbol{2.}$ 法が $2$ のときは既約類は奇数の一類だけであるから，$r=1$ が原始根である．この場合は興味がない．
法が $4$ のときには，$\varphi\left(4\right)=2$ で，奇数は $1$ と $-1$ とによって代表されるから，$r=-1$ が原始根である．
さて法が $2^h$ で $h\geqq3$ である場合には特別の事態が生じる．
〔定理 $\boldsymbol{1.\ 43}$〕 $2^h$（$h\geqq3$）を法とするときは，$\varphi\left(2^h\right)=2^{h-1}$ の既約類は次の数によって代表される．\[\left(-1\right)^{\alpha\ldotp}5^\beta,\hspace{2cm}\left(\begin{alignat*}{1}\alpha&=0,\ 1\\\beta&=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 2^{h-2}-1.\end{alignat*}\right)\] 〔証〕 定理 $1.\ 42$ の証明の基礎になった公式 $\left(\ 1\ \right)$ は，$p=2$ の場合には，成り立たない．実際 $k$ を奇数とすれば\begin{alignat*}{1}\left(1+2k\right)^2&=1+4k+4k^2\\[2mm]&=1+4k\left(k+1\right)\\[2mm]&=1+8k^\prime\end{alignat*}で $k^\prime=k\hspace{0.7mm}\cdotp\left(k+1\right)/2$ はまだ $2$ で割れるかもしれない．さりながら $e\gt1$ ならば前のように\[\left(1+2^ek\right)^2=1+2^{e+1}k^\prime,\hphantom{m}\left(k^\prime,\ 2\right)=1.\]したがって，$k$ が奇数ならば，$1+2^2k$ は $2^{h-2}$ 乗して $\equiv1\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 2^h\right)$ になる．しかるに $5=1+2^2$ はこのような数であるから，$5$ は指数 $2^{h-2}$ に対応する．
実際 $5^2=\left(1+2^2\right)^2=1+2^3k^\prime$，$5^4=\left(1+2^3k^\prime\right)^2=1+2^4k^{\prime\prime}$，$5^8=1+2^5k^{\prime\prime\prime}$，$\cdots$ 一般に $5^{2^n}=1+2^{n+2}k^{\left(n\right)}$．$k^\prime$，$k^{\prime\prime}$，$\cdots\cdots$ は奇数である．
故に\[5^\beta,\ \left(\beta=0,\ 1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ 2^{h-2}-1\right)\]は $2^h$ を法として奇数の中の半分を代表する．それらは全部 $4n+1$ の形の数であるから，他の半分の $4n-1$ の形のものは\[-5^\beta\]によって代表される．したがって，すべての既約類は\[\left(-1\right)^\alpha5^\beta,\hspace{2cm}\left(\begin{alignat*}{1}\alpha&=0,\ 1.\\\beta&=0,\ 1,\ \cdots\cdots,\ 2^{h-2}-1.\end{alignat*}\right)\]によって代表される．
故に $a$ を任意の奇数とすれば，\[a\equiv\left(-1\right)^\alpha5^\beta\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 2^h\right)\]になるような指数 $\alpha$，$\beta$ が上記の範囲において確定するから，$\alpha$，$\beta$ を一組として，それらを $a$ の二つの指数として，\[\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}\ \!a=\alpha,\hphantom{m}\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}\ \!a=\beta,\]あるいは正確にいえば\[\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}\ \!a\equiv\alpha\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 2\right),\hphantom{m}\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}\ \!a\equiv\beta\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 2^{h-2}\right)\]と置けば，定理 $1.\ 28$ がこのような指数の組に関しても成り立つ．
すなわち\begin{alignat*}{2}\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}\left(ab\right)&\equiv\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}\ \!a+\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}\ \!b&\hspace{1cm}&\left(\text{mod}.\ 2\right),\\[2mm]\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}\left(ab\right)&\equiv\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}\ \!a+\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}\ \!b&\hspace{1cm}&\left(\text{mod}.\ 2^{h-2}\right),\end{alignat*}また\begin{alignat*}{1}\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}\left(a^n\right)&\equiv n\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}\ \!a\left(\text{mod}.\ 2\right)\\[2mm]\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}\left(a^n\right)&\equiv n\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}\ \!a\left(\text{mod}.\ 2^{h-2}\right).\end{alignat*} 〔例〕 $16=2^4$ を法とすれば，$\varphi\left(16\right)=8$．\begin{alignat*}{1}&1,\ 5,\ 5^2\equiv9,\hphantom{m}5^3\equiv13\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 16\right),\\[2mm]&-1\equiv15,\ -5\equiv11,\ -5^2\equiv7,\ -5^3\equiv3\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 16\right).\\[2mm]&N\equiv\left(-1\right)^{I\left(1\right)}5^{I\left(2\right)}\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 16\right)\end{alignat*}
| $N$ | $1$ | $3$ | $5$ | $7$ | $9$ | $11$ | $13$ | $15$ |
| $I^{\left(1\right)}$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| $I^{\left(2\right)}$ | $0$ | $3$ | $1$ | $2$ | $2$ | $1$ | $3$ | $0$ |
この表によって $9x\equiv13\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 16\right)$ を解いてみる．\begin{alignat*}{1}\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}9+\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}x&\equiv\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}13\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 2\right),\\[2mm]\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}9+\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}x&\equiv\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}13\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right).\end{alignat*}よって表から\begin{alignat*}{3}&\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}&&x\equiv0&\hphantom{m}&\left(\text{mod}.\ 2\right),\\[2mm]&\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}&&x\equiv1&\hphantom{m}&\left(\text{mod}.\ 4\right).\\[2mm]&\therefore&&x\equiv5&\hphantom{m}&\left(\text{mod}.\ 16\right).\end{alignat*} 〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 $\alpha$ は奇数，$h\geqq3$ ならば，$x^2\equiv a\left(\text{mod}.\ 2^h\right)$ は $a\equiv1\ \left(\text{mod}.\ 8\right)$ のときに限って解を有する．そのとき四つの解がある．
（解） これは $\S\ 7$ 問題 $1$ である．いま指数を用いて解けば次の通り\begin{alignat*}{1}2\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}x&\equiv\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}a\ \left(\text{mod}.\ 2\right).\\[2mm]2\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}x&\equiv\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}a\ \left(\text{mod}.\ 2^{h-2}\right).\end{alignat*}解があるための条件は，$\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}a\equiv0\ \left(\text{mod}.\ 2\right)$，$\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}a\equiv0\ \left(\text{mod}.\ 2\right)$．
すなわち $a\equiv5^{2f}\ \left(\text{mod}.\ 2^h\right)\equiv1\ \left(\text{mod}.\ 8\right)$．
故に解がある場合には\[\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}x=0，\ または 1． \operatorname{Ind}^{\left(2\right)}x=\frac{1}{2}\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}a または \frac{1}{2}\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}a+2^{h-3}\]すなわち $\operatorname{Ind}^{\left(1\right)}x$，$\operatorname{Ind}^{\left(2\right)}x$ が四組あるから，解は四つある．
$\boldsymbol{3.}$ 任意の合成数\[m=2^{h_0}p_1{}^{h_0}p_2{}^{h_2}\cdots\cdots p_k{}^{h_k}\\[3mm]h_0\geqq0,\hphantom{m}h_1\gt0,\hphantom{m}h_2\gt0,\ \cdots\cdots,\hphantom{m}h_k\gt0\]を法とするとき，$\left(x,\ m\right)=1$ なる数 $x$ について $m$ に含まれる各素数巾を法とする指数の組合せを作れば，$x$ は $m$ を法としてこれらの指数によって確定される．すなわち $x$ と $x^\prime$ とにおいて各指数が一致するならば，$x-x^\prime$ は各素数巾で割り切れ，したがって $m$ で割り切れるから，$x\equiv x^\prime\ \left(\text{mod}.\ m\right)$．
指数の数は $h_0\geqq3$ ならば $k+2$，$h_0=2$ ならば $k+1$，$h_0=1$ または $0$ ならば $k$ である．
〔例〕 $m=40=8\hspace{0.7mm}\cdotp5$， $\varphi\left(40\right)=16$\begin{alignat*}{2}x&\equiv\left(-1\right)^\alpha5^\beta\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 8\right)&\hphantom{m2}&\alpha\equiv0,\ 1;\hphantom{m}\beta\equiv0,\ 1\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 2\right),\\[2mm]&\equiv2^\gamma\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 5\right)&\hphantom{m2}&\gamma\equiv0,\ 1,\ 2,\ 3\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 4\right).\end{alignat*}
| $x$ | $1$ | $3$ | $7$ | $9$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $21$ | $23$ | $27$ | $29$ | $31$ | $33$ | $37$ | $39$ |
| $\alpha$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $0$ | $1$ |
| $\beta$ | $0$ | $1$ | $0$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $\gamma$ | $0$ | $3$ | $1$ | $2$ | $0$ | $3$ | $1$ | $2$ | $0$ | $3$ | $1$ | $2$ | $0$ | $3$ | $1$ | $2$ |
また $p^n$ あるいは $2^n$ の場合のように，$\varphi\left(m\right)$ の既約類を「底数」によって表わすこともできる．
いま $r_\nu$ を $p_\nu{}^{h_\nu}$ を法とする原始根とすれば\begin{alignat*}{1}a_\nu&\equiv r_\nu\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p_\nu{}^{h_\nu}\right),\\[2mm]&\equiv 1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ m/p_\nu{}^{h_\nu}\right)\\[2mm](\nu&=1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ k)\end{alignat*}なる $a_\nu$ は $\text{mod}.\ m$ に関して確定する．なお $h_0\geqq3$ のときは\begin{alignat*}{2}a_{-1}&\equiv-1,&\hphantom{m}a_0&\equiv5\ \left(\text{mod}.\ 2^{h_0}\right)\\[2mm]&\equiv1,&&\equiv1\ \left(\text{mod}.\ m/2^{h_0}\right)\end{alignat*}なる $a_{-1}$，$a_0$ をもとる．ただし $h_0=2$ ならば $a_0\equiv1\ \left(\text{mod}.\ m\right)$ になるが，これは不用である．また $h_0=1$ または $0$ ならば $a_{-1}$ も不用である．
しからば $x$ に対する指数を $\alpha_{-1}$，$\alpha_0$，$\alpha_1$，$\cdots\cdots$，$\alpha_k$ とすれば\[x\equiv a_{-1}{}^{\alpha_{-1}}a_0{}^{\alpha_0}a_1{}^{\alpha_1}\cdots\cdots a_k{}^{\alpha_k}\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ m\right).\] 上の例にあげた $m=40$ のときには\[\begin{array}{rcr|rcl|rcl}a_{-1}\hspace{-0.8em}&\equiv\hspace{-0.7em}&-1&\ a_0\hspace{-0.7em}&\equiv\hspace{-0.7em}&5&\ a_1\hspace{-0.8em}&\equiv\hspace{-0.7em}&1\ \left(\text{mod}.\ 8\right)\\\hspace{-0.8em}&\equiv\hspace{-0.7em}&1&\hspace{-0.7em}&\equiv\hspace{-0.7em}&1&\hspace{-0.8em}&\equiv\hspace{-0.7em}&2\ \left(\text{mod}.\ 5\right)\\[2mm]\hline\hspace{-0.8em}&\equiv\hspace{-0.7em}&31&\hspace{-0.7em}&\equiv\hspace{-0.7em}&21&\hspace{-0.8em}&\equiv\hspace{-0.7em}&17\ \left(\text{mod}.\ 40\right).\end{array}\] 故に指数を $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ とすれば，\[x\equiv31^\alpha\hspace{0.7mm}\cdotp21^\beta\hspace{0.7mm}\cdotp17^\gamma\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 40\right).\] $\alpha=0,\ 1$；$\beta=0,\ 1$；$\gamma=0,\ 1,\ 2,\ 3$ のすべての組合せに対して $2\times2\times4=\varphi\left(40\right)$ の既約代表の一組が生じる．
最も簡単なのは素数 $p$（$p\neq2$）を法とする場合である．$r$ を原始根とし，$x$ を $p$ で割り切れない任意の整数とすれば\[x\equiv r^{\ \operatorname{Ind}\ \!\left(x\right)}\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p\right).\]それが指数 $\operatorname{Ind}\ \!\left(x\right)$ の意味である．いま $\rho$ を $1$ の $\varphi\left(p\right)=p-1$ 乗根として\[\chi\left(x\right)=\rho^{\operatorname{Ind}\ \!\left(x\right)}\]とおけば，$\chi\left(x\right)$ は一つの整数論的函数であるが，それを法 $p$ に関する指標というのである．
$\rho$ の選択によって $p-1$ 組の指標が生じるが，特に $\rho=-1$ とすれば\[\chi\left(x\right)=\left(-1\right)^{\operatorname{Ind}\ \!\left(x\right).}\]すなわち\[\chi\left(x\right)=\left(\frac{x}{p}\right).\] 故に Legendre の記号 $\left(\dfrac{x}{p}\right)$ は法 $p$ に関する一つの指標である
一般の法 $m$ に関して，前のように $m$ の素数巾分解を\[m=2^{h_0}p_1{}^{h_1}\cdots\cdots p_k{}^{h_k}\]とし，\begin{alignat*}{1}\varphi_\kappa&=\varphi\left(p_\kappa{}^{h_\kappa}\right)\hphantom{m}\left(\kappa=1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ k\right),\\[2mm]\varphi_0&=2^{h_0-2},\hphantom{m}\varphi_{-1}=2\end{alignat*}とおく．ただし $h_0=0,\ 1$ のときには，$\varphi_0$，$\varphi_{-1}$ を用いない．また $h_0=2$ のときには $\varphi_0$ を用いない．
さて\[\rho_\kappa\hphantom{m}\left(\kappa=-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ k\right)\]を $1$ の $\varphi_\kappa$ 乗根として，$\left(x,\ m\right)=1$ なる $x$ に関して\[\chi\left(x\right)=\overset{\kappa}{\textstyle\prod}\rho_\kappa{}^{\operatorname{Ind}_\kappa\left(x\right)}\ \left(\kappa=-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ k\right)\tag{$\ 2\ $}\]とおく．$\operatorname{Ind}_\kappa\left(x\right)$ は $p_\kappa{}^{h_\kappa}$ を法としての一定の原始根 $r_\kappa$ を底とする指数で，特に $\operatorname{Ind}_{-1}\left(x\right)$，$\operatorname{Ind}_0\left(x\right)$ は法 $2^{h_0}$ を法としての $-1$ および $5$ を底とする指数（$\boldsymbol{2.}$ 参照）である．
$\left(\ 2\ \right)$ によって $\left(x,\ m\right)=1$ なるすべての $x$ に対して定義された $\chi\left(x\right)$ を，$\text{mod}.\ m$ に関する一つの指標というのである．
指標の定義によれば，$m$ と互いに素である $x$，$y$ に関して
| $\text{i}$ | ） | $x\equiv y\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ m\right)$ のとき，$\chi\left(x\right)=\chi\left(y\right)$． |
| $\text{ii}$ | ） | $\chi\left(xy\right)=\chi\left(x\right)\chi\left(y\right)$． |
| $\text{iii}$ | ） | $\chi\left(\ 1\ \right)=1$． |
$\left(\ 2\ \right)$ における $\rho_\kappa$ の選び方は，すべての組合せにおいて $\varphi_{-1}\varphi_0\varphi_1\cdots\cdots\varphi_\kappa=\varphi\left(m\right)$ だけあるから，$\varphi\left(m\right)$ 組の指標が生じる．これらはみな相異なる函数である．相異なるとはすべての $x$ に対して同じ値をとることはないことを意味するのである．なぜならば，いま\[\rho_\kappa\hphantom{\kappa}\left(\kappa=-1,\ 0,\ 1,\ \cdots\cdots,\ k\right),\]から生じる指標を $\chi^\prime\left(x\right)$ で表わすならば，ある $\kappa$ に関して $\rho_\kappa\neq\rho^\prime{}_\kappa$ であって，\[a\equiv r_\kappa\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ p_\kappa{}^{h_\kappa}\right),\ \ \equiv 1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ \frac{m}{p_\kappa{}^{h_\kappa}}\right)\]（ただし $r_\kappa$ は上記 $p_\kappa{}^h$ を法としての原始根である）とすれば，現に\[\chi\left(a\right)=\rho_\kappa,\hphantom{mi}\chi^\prime\left(a\right)=\rho^\prime{}_\kappa\]は相等しくない．$\kappa=-1$ または $\kappa=0$ のときも同様である．
指標は原始根の選択によっても変わるけれども，原始根をどのように選ぶとしても，上記 $\varphi\left(m\right)$ 以外の指標は生じない．例えば $\left(\text{mod}.\ p_1{}^{h_1}\right)$ に関して，原始根 $r_1$ の代わりに他の原始根 $r_1{}^\prime$ をとって $r_1{}^{\prime c}\equiv r_1\left(\text{mod}.\ p_1{}^{h_1}\right)$ とすれば，$\operatorname{Ind}_1\left(x\right)$ には $c$ が乗ぜられるのであるから，それは $\rho_1$ の代わりに $\rho_1{}^c$ をとることに帰するのである．ここで $\left(c,\ \varphi_1\right)=1$．
なお一般にいえば，上記 $\ \ \!\text{i}\ )$ ，$\ \text{ii}\ \!)$ ，$\ \!\text{iii})$ が指標の特性であって，これらの性質を有する整数論的函数は $\varphi\left(m\right)$ 個の指標以外には存在しないのである．
$\ \text{ii}\ \!)$ から $y=1$ とするとき $\chi\left(x\right)=\chi\left(x\right)\chi\left(\ 1\ \right)$ を得るから，もしもすべての $x$ に対して $\chi\left(x\right)=0$ であるものを除けば，$\chi\left(\ 1\ \right)=1$ とすることが必要であるのである．
また $\ \text{ii}\ \!)$ から\[\chi\left(xyz\cdots\right)=\chi\left(x\right)\chi\left(y\right)\chi\left(z\right)\cdots\]特に\[\chi\left(x^n\right)=\chi\left(x\right)^n.\]いま $\boldsymbol{3.}$ に述べたように\[\begin{alignat*}{1}a_\kappa&\equiv r_\kappa\hphantom{mm}\left(\text{mod}.\ p_\kappa{}^{h_\kappa}\right)\\[2mm]&\equiv1\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ m/p_\kappa{}^{h_\kappa}\right),\end{alignat*}\hphantom{m}\left(\kappa=1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ k\right)\]\begin{alignat*}{2}a_{-1}&\equiv-1\ \left(\text{mod}.\ 2^{h_0}\right),&\hspace{1cm}a_0&\equiv5\left(\text{mod}.\ 2^{h_0}\right),\\[2mm]&\equiv1\ (\text{mod}.\ \frac{m}{2^{h_0}}),&\hspace{1cm}&\hspace{-4mm}\equiv\left(\text{mod}.\ m/2^{h_0}\right)\end{alignat*}とおけば\[x\equiv\textstyle{\prod}a_\kappa{}^{\operatorname{Ind}_\kappa\left(x\right)}\ \ \left(\text{mod}.\ m\right),\hphantom{k}\left(\kappa=-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ k\right).\tag{$\ 3\ $}\] 故に $\chi\left(a_\kappa\right)$ の値がきまれば，$\ \text{ii}\ \!)$ によって $\chi\left(x\right)$ の値が定まる．さて\[a_\kappa{}^{\varphi_\kappa}\equiv r_\kappa{}^{\varphi_\kappa}\equiv1\hphantom{p}\left(\text{mod}.\ p_\kappa{}^{h_\kappa}\right)\]であるから\[a_\kappa{}^{\varphi_\kappa}\equiv1\hphantom{p}\left(\text{mod}.\ m\right).\]したがって\[\chi\ \!\left(a_\kappa\right)^{\varphi_\kappa}=\chi\left(\ 1\ \right)=1.\] 故に $\chi\left(a_\kappa\right)$ は $1$ の $\varphi_\kappa$ 乗根でなければならない．それを $\rho_\kappa$ とすれば，$\left(\ 3\ \right)$ から\[\chi\left(x\right)=\textstyle{\prod}\ \rho_\kappa{}^{\operatorname{Ind}_\kappa\left(x\right)}\]で，すなわち $\chi\left(x\right)$ は $\left(\ 2\ \right)$ のような $\varphi\left(m\right)$ 個の指標のうちの一つである．
指標を三種に分ける．
（第一種）すべての $x$ に対して$,$（もちろん法 $m$ と互いに素なる整数 $x$ のみを考察する）$\chi\left(x\right)=1$．これは単位指標ともいうべきものである．あるいはそれを主なる指標という．
（第二種）第一種以外で，すべての $x$ に対して $\chi\left(x\right)=\pm1$．
$\varphi_\kappa$ は偶数であるから，$\varphi_\kappa=-1$ とすることもできる．それから第二種の指標が生じるのである．
上記は実数指標である．その個数は $h_0\lt2$，$h_0=2$，$h_0\gt2$ に応じて $2^\kappa$，$2^{\kappa+1}$，$2^{\kappa+2}$ である．
（第三種）上記以外のもの．すなわち或る $x$ に対して $\chi\left(x\right)$ が $1$ の虚巾根であるものである．
$\chi\left(x\right)$ が指標ならば，その共軛複素数である $\overline{\chi}\left(x\right)$ もまた一つの指標であることは，$\overline{\chi}$ に関しても $\ \ \!\text{i}\ )$ ，$\ \text{ii}\ \!)$ ，$\ \!\text{iii})$ の条件が満たされることから明白である．さて $\chi\left(x\right)$ は $1$ の巾根だから，$\overline{\chi}\left(x\right)$ は $\chi\left(x\right)$ の逆数に等しい．よって $\chi\left(x\right)$ と $\overline{\chi}\left(x\right)$ とを互いに逆の指標という．
実数指標では，互いに逆の指標は同一の指標であるが，第三種の指標は，二つずつ互いに逆である．
〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 法 $m$ に関する二つの指標を $\chi$ ，$\chi^\prime$ とし\[\chi^{\prime\prime}\left(x\right)=\chi\left(x\right)\chi^\prime\left(x\right)\]とすれば，$\chi^{\prime\prime}$ も指標である
$\chi$ ，$\chi^\prime$ は同一の指標でもよい．また三つ以上の指標の積に関しても同様．
〔解〕 $\chi^{\prime\prime}$ に関しても $\ \ \!\text{i}\ )$ ，$\ \text{ii}\ \!)$ ，$\ \!\text{iii})$ が成り立つから．
$\chi$ ，$\chi^\prime$ がそれぞれ $\rho_\kappa$，$\rho_\kappa{}^\prime$ から生じた指標ならば，$\chi^{\prime\prime}$ は $\rho_\kappa{}^{\prime\prime}=\rho_\kappa\rho_\kappa{}^\prime$ から生じる．
〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 $m^\prime$ を $m$ の約数，$\psi$ を法 $m^\prime$ に関する指標として，$\left(x,\ m\right)=1$ なる $x$ に対して\[\chi\left(x\right)=\psi\left(x\right)\]とすれば，$\chi\left(x\right)$ は $m$ を法としての指標である．
〔解〕 $\ \ \!\text{i}\ )$ ，$\ \text{ii}\ \!)$ ，$\ \!\text{iii})$ が成り立つから．
〔注意〕 このようにして $m$ の真の約数 $m^\prime$ に関する指標から生じるものを除いて，その他を $\text{mod}.\ m$ に関する正式の指標ともいう．
例えば $m=p_1p_2\cdots\cdots p_\kappa$ が相異なる奇素数の積であるとき，Jacobi の記号\[\left(\frac{\raise{0.1em}x}{\lower{0.1em}m}\right)\]は正式の第二種指標（ただ一つ）である．
同じ仮定のもとにおいて $\text{mod}.\ 4m$ に関する正式の第二種指標はただ一つである．すなわち\[\chi\left(x\right)=\left(-1\right)^{\displaystyle\small\raise{0.5em}\frac{x-1}{2}}\left(\frac{\raise{0.1em}x}{\lower{0.1em}m}\right).\] また $\text{mod}.\ 8$ に関しては $\varphi\left(\ 8\ \right)=4$ で，主なる指標のほかに指標が三つある．
すなわち
| $x$ | $\hphantom{-}1$ | $\hphantom{-}3$ | $\hphantom{-}5$ | $\hphantom{-}7$ |
| $\chi_1\left(x\right)$ | $\hphantom{-}1$ | $-1$ | $-1$ | $\hphantom{-}1$ |
| $\chi_2\left(x\right)$ | $\hphantom{-}1$ | $\hphantom{-}1$ | $-1$ | $-1$ |
| $\chi_3\left(x\right)$ | $\hphantom{-}1$ | $-1$ | $\hphantom{-}1$ | $-1$ |
このうち $\chi_1$，$\chi_2$ だけが正式で，$\chi_3$ は $\text{mod}.\ 4$ に関する指標である．\[x\equiv\left(-1\right)^\alpha5^\beta\hphantom{l}\left(\text{mod}.\ 8\right)\hspace{1.5cm}\alpha=0,\ 1\ ;\hphantom{m}\beta=0,\ 1\] とすれば\begin{alignat*}{1}\chi_1\left(x\right)&=\left(-1\right)^\beta,\\[2mm]\chi_2\left(x\right)&=\left(-1\right)^{\alpha+\beta}.\end{alignat*} $m$ は上記の通りとして $\text{mod}.\ 8m$ に関する正式の第二種指標も二組である．すなわち\[\left(-1\right)^\beta\left(\frac{\raise{0.1em}x}{\lower{0.1em}m}\right) および \left(-1\right)^{\alpha+\beta}\left(\frac{\raise{0.1em}x}{\lower{0.1em}m}\right).\] 〔問題 $\boldsymbol{3}$〕 $\chi^{\left(\kappa\right)}$ を $p_\kappa{}^{h_\kappa}$ に関する指標とすれば，$m$ に関する指標はすべて\[\chi\left(x\right)=\chi^{\left(0\right)}\left(x\right)\chi^{\left(1\right)}\left(x\right)\cdots\cdots\chi^{\left(k\right)}\left(x\right)\]から得られる．
〔解〕 $\chi^{\left(\kappa\right)}\left(x\right)=\rho_\kappa{}^{\operatorname{Ind}_\kappa\left(x\right)}$ とすれば，$\displaystyle\chi\left(x\right)=\overset{\kappa}{\textstyle\prod}\rho_\kappa{}^{\operatorname{Ind}_\kappa\left(x\right)}$．
〔問題 $\boldsymbol{4}$〕 $\displaystyle\overset{x}{\textstyle\sum}\chi\left(x\right)=\begin{cases}\varphi\left(m\right),&\ \chi\ が主なる指標のとき,\\[2mm]0,&\ その他の指標.\end{cases}$
$\sum$ は $m$ を法とする既約類の一組 $x$ の上にわたるのである．
〔解〕 $\chi$ が主なる指標ならば $\chi\left(x\right)=1$ だから論はない．
$\chi$ が主なる指標でないときには $\chi\left(a\right)\neq1$ である $a$ がある．しかるに $x$ が既約類の代表の一組の値をわたれば，$ax$ も同様であるから\[\overset{x}{\textstyle\sum}\chi\left(x\right)=\overset{x}{\textstyle\sum}\chi\left(ax\right)=\chi\left(a\right)\overset{x}{\textstyle\sum}\chi\left(x\right).\]$\chi\left(a\right)\neq1$ だから $\displaystyle\overset{x}{\textstyle\sum}\chi\left(x\right)=0$．
〔問題 $\boldsymbol{5}$〕 $\displaystyle\overset{x}{\textstyle\sum}\chi\left(a\right)=\begin{cases}\varphi\left(m\right),&a\equiv1\hphantom{1}\left(\text{mod}.\ m\right)\ のとき,\\[2mm]0,&a\not\equiv1\hphantom{1}\left(\text{mod}.\ m\right)\ のとき.\end{cases}$
ここでは $a$ は一定で，$\sum$ はすべての指標 $\chi$ の上にわたるのである．
〔解〕 $a\equiv1\hphantom{1}\left(\text{mod}.\ m\right)$ ならば，すべての指標において $\chi\left(a\right)=1$ であるから，論はない．
よって $a\not\equiv1\hphantom{1}\left(\text{mod}.\ m\right)$ とする．もちろん $\left(a,\ m\right)=1$．その場合には $\chi\left(a\right)\neq1$ であるような指標 $\chi$ が必ずあることは見やすい．
さて $\chi_1$，$\chi_2$，$\cdots$，$\chi_n$（$n=\varphi\left(m\right)$）をすべての指標とすれば，$\chi\chi_1$，$\chi\chi_2$，$\cdots\cdots$，$\chi\chi_n$ もまた相異なる指標である（すべての $x$ に対して $\chi\left(x\right)\chi_\alpha\left(x\right)=\chi\left(x\right)\chi_\beta\left(x\right)$ ならば $\chi_\alpha\left(x\right)=\chi_\beta\left(x\right)$ であることを要するから）．よって\[\textstyle\sum\chi_\nu\left(a\right)=\sum\chi\left(a\right)\chi_\nu\left(a\right)=\chi\left(a\right)\sum\chi_\nu\left(a\right).\]$\chi\left(a\right)\neq1$ だから，\[\textstyle\sum\chi_\nu\left(a\right)=0.\]
〔注意〕 解析的整数論では計算の便宜上，指標 $\chi\left(x\right)$ の定義を拡張して，$\left(x,\ m\right)\neq1$ であるとき，$\chi\left(x\right)=0$ とする．その場合にも，$\ \ \!\text{i}\ )$ ，$\ \text{ii}\ \!)$ ，$\ \!\text{iii})$ は成り立って，指標は $\varphi\left(m\right)$ 個に限るのである．