第 $2$ 章 連 分 数
$\S\ 20.$ 実数の連分数展開
$\boldsymbol{1.}$ $\omega$ を任意の実数とし，$\omega$ が整数でないときには，$\omega$ よりも小さい整数のうち最大のものを $k_0$ として（$k_0\lt\omega\lt k_0+1$）\[\omega=k_0+\frac{1}{\omega_1}\tag{$\ 1\ $}\]と置けば，$\omega_1\gt1$．$\omega_1$ が整数でないならば，$k_1$ を $\omega_1$ よりも小さい最大の整数として，\[\omega_1=k_1+\frac{1}{\omega_2}\tag{$\ 2\ $}\]と置けば，$\omega_2\gt1$．$\left(\ 1\ \right)$ の右辺の $\omega_1$ に $\left(\ 2\ \right)$ から代入して\[\omega=k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{\omega_2}.\]このような計算を継続すれば，\[\omega=k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_{n-1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{\omega_n}\tag{$\ 3\ $}\]を得る．ここで $k_m$ は\[k_m\lt\omega_m\lt k_m+1\]から定められる整数である．
$k_0$，$k_1$，$\cdots\cdots$，$k_{n-1}$ を部分商（$k_m$ は $\omega_m\div1$ の整商であるから），$\omega_n$ を全商という．本書ではこれを連分数 $\left(\ 3\ \right)$ の項，特に $\omega_n$ を終項ともいう．
$k_0$，$k_1$，$\cdots\cdots$，$k_{n-1}$ は整数で，$k_0$ のほかは正の整数である．$k_0$ は $\omega$ が $1$ よりも小さい正数ならば $0$ で，$\omega$ が負数ならば，負の整数である．終項 $\omega_n$ は $1$ よりも大である．
このような連分数を単純連分数，整連分数，正則連分数などという．本書ではこの正則連分数のみを取り扱うから，略して単に連分数という．
$\omega$ が有理数であるとき，それを整数 $a$，$b$ の商として $\omega=a/b$ とすれば，$\omega$ の展開における $k_0$，$k_1$，$k_2$，$\cdots\cdots$ はすなわち $a$，$b$ に互除法を行なうときに出てくる逐次の整商である．故にいつかは終項が整数になって展開が終結する．
| 〔例〕 | $\dfrac{332}{87}=3+\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{4}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{3}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{2}.$ （$129$ 頁の例，参照） |
$\boldsymbol{2.}$ このようにして，無理数 $\omega$ から無限連分数\[\omega=k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_n}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\tag{$\ 4\ $}\]を得るとしたところで，この形式的の展開に数量上の意味をもたせるには，収束の問題を解かねばならない．すなわち展開を $n$ 項だけ（$k_{n-1}$ まで）とって\[k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_{n-1}}=\frac{p_n}{q_n}\]と置くとき，\[\underset{n\rightarrow\infty}{\operatorname{Lim}}\frac{p_n}{q_n}=\omega\]となることを確かめるのである．
展開 $\left(\ 4\ \right)$ において $k_{n-1}$ についで出てくる終項を $\omega_n$ とすれば，\begin{alignat*}{1}\omega&=k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_{n-1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{\omega_n}\\[2mm]&=\frac{p_n\omega_n+p_{n-1}}{q_n\omega_n+q_{n-1}}.\end{alignat*}よって\begin{alignat*}{1}\frac{p_n}{q_n}-\omega&=\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_n\omega_n+p_{n-1}}{q_n\omega_n+q_{n-1}}\\[2mm]&=\frac{p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n}{q_n\left(q_n\omega_n+q_{n-1}\right)}\\[2mm]&=\frac{\left(-1\right)^n}{q_n\left(q_n\omega_n+q_{n-1}\right)}.\tag{$\ 5\ $}\end{alignat*} さて\[q_1=1,\hphantom{m}q_2=k_1,\hphantom{m}q_3=k_1k_2+1,\ \cdots\cdots,\hphantom{m}q_n=k_{n-1}q_{n-1}+q_{n-2},\ \cdots\cdots\]\[1=q_1\leqq q_2\lt q_3\lt\cdots\cdots\lt q_n\lt\cdots\cdots\]で，これらは整数であるから\[\underset{n\rightarrow\infty}{\operatorname{Lim}}\ q_n=\infty.\]また $\omega_n\gt k_n$ であるから，$\left(\ 5\ \right)$ から\[\left|\ \!\omega-\frac{p_n}{q_n}\right|=\frac{1}{q_n\left(q_n\omega_n+q_{n-1}\right)}\lt\frac{1}{q_nq_{n+1}}\lt\frac{1}{q_n{}^2}.\]すなわち実際\[\underset{n\rightarrow\infty}{\operatorname{Lim}}\frac{p_n}{q_n}=\omega.\] よって $p_n/q_n$ を $\omega$ の近似分数という．
〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 $\left|\ \!\omega-\dfrac{p_n}{q_n}\right|\lt\left|\ \!\omega-\dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\right|$ （$n\gt1$）
〔解〕 $\left(\ 5\ \right)$ によって $\omega-\left(p_{n-1}/q_{n-1}\right)$ と $\omega-\left(p_n/q_n\right)$ とは反対の符号を有するから，$\omega$ は $p_{n-1}/q_{n-1}$ と $p_n/q_n$ との間にある．さて\[\left|\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}-\frac{p_n}{q_n}\right|=\frac{1}{q_{n-1}q_n},\hphantom{m}\left|\ \!\omega-\frac{p_n}{q_n}\right|\lt\frac{1}{q_nq_{n+1}},\]$q_{n+1}=k_nq_n+q_{n-1}\geqq2q_{n-1}$．\[\therefore\hphantom{\therefore}\left|\ \!\omega-\frac{p_n}{q_n}\right|\lt\frac{1}{2}\left|\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}-\frac{p_n}{q_n}\right|.\]
| 故に問題掲出の通り． | $\hphantom{p}$ | $\hphantom{p}$ | ||||
| $\ \ \ \dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$ | $\hphantom{p}$ | $\omega$ | $\dfrac{p_n}{q_n}$ | |||
| $\hphantom{p}$ | $\hphantom{p}$ | $\hphantom{p}$ | $\hphantom{p}$ | $\hphantom{p}$ | $\hphantom{p}$ | |
$\boldsymbol{3.}$ 上文では無理数 $\omega$ が与えられてあるとして，それを無限連分数に展開することができたのであるが，もしも逆に，任意の無限連分数が与えられてあるとするとき，それが収束するかどうか，もしまた収束するとすれば，その極限は何かという問題が生ずる．
与えられた無限連分数を\[k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_n}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \tag{$\ 6\ $}\]とし，前のように\[k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_{n-1}}=\frac{p_n}{q_n}\]と置く．しからば\[\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{\left(-1\right)^n}{q_nq_{n+1}}.\] ここでも $q_0=1\leqq q_1\lt q_2\lt\cdots\cdots$ であるから，上式左辺の差は符号においては正負交代で，絶対値においては $n$ が増大するに伴って次第に限りなく減少する．よって $p_1/q_1$，$p_3/q_3$，$\cdots\cdots$ は下の方から増大しつつ，また $p_2/q_2$，$p_4/q_4$，$\cdots\cdots$ は上の方から減少しつつ，共通の極限に近迫する．その極限を $\omega$ とする．
 |
この極限なる $\omega$ を，前節の方法によって展開するときに，与えられた連分数 $\left(\ 6\ \right)$ を得ることは見やすい．
| 〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 | \[\omega=k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_{n-1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_n}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\tag{$\ 7\ $}\] |
| \[\omega^\prime=k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_{n-1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_n{}^\prime}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\tag{$\ 8\ $}\] |
| $n$ が偶数ならば， $\omega\gt\omega^\prime,$ |
| $n$ が奇数ならば， $\omega\lt\omega^\prime.$ |
〔解〕 $\left(\ 7\ \right)$，$\left(\ 8\ \right)$ において $k_n$ または $k_n{}^\prime$ 以下の部分を終項 $\omega_n$，$\omega_n{}^\prime$ で置き換えて\[\omega=\frac{p_n\omega_n+p_{n-1}}{q_n\omega_n+q_{n-1}},\hphantom{mk}\omega^\prime=\frac{p_n\omega_n{}^\prime+p_{n-1}}{q_n\omega_n{}^\prime+q_{n-1}}.\\[2mm]\therefore\hphantom{\therefore}\omega-\omega^\prime=\frac{\left(-1\right)^n\left(\omega_n-\omega_n{}^\prime\right)}{\left(q_n\omega_n+q_{n-1}\right)\left(q_n\omega_n{}^\prime+q_{n-1}\right)}.\] さて $\omega_n\geqq k_n\geqq k_n{}^\prime+1\geqq\omega_n{}^\prime\geqq k_n{}^\prime$．仮定によって $k_n\gt k_n{}^\prime$ だから，上記関係式において，$\omega_n$ と $k_n{}^\prime$ との間のどこかで，$\geqq$ のところが $\gt$ である．$\omega_n$ と $\omega_n{}^\prime$ との間に $\gt$ があれば，$\omega_n\gt\omega_n{}^\prime$ で，したがって $\left(-1\right)^n=\pm1$ に従って，$\omega\gtrless\omega^\prime$ である．
さもなくば，$\omega_n=k_n=k_n{}^\prime+1=\omega_n{}^\prime$．それがすなわち問題に掲出した有限連分数の場合である．
このように有限連分数は最終項が $1$ であることを許せば，二様に表わし得る，よって項数を奇数にでも偶数にでもすることができる．
以上を要約して次の定理を得る．
〔定理 $\boldsymbol{2.\ 3}$〕 有理数は二通りに有限連分数に展開される．無理数はただ一通りに無限連分数に展開される．
有限連分数の値は有理数で，無限連分数の値は無理数である．
| 〔例 $1$〕 | $\begin{alignat*}{1}\raise{0.1em}\pi&\raise{0.1em}{=3.1415926535\cdots\cdots}\\[2mm]&=3+\frac{1}{7}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{15}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{292}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{1}+\cdots\cdots\end{alignat*}$ |
| $7$ | |||||||||||||
| $1415926535$ | $)\!$ | $10000000000$ | |||||||||||
| $\hphantom{1}9911485745$ | $15$ | ||||||||||||
| $\hphantom{11}88514255$ | $)\!$ | $1$ | $\!415926535$ | ||||||||||
| $\hphantom{1}$ | $\!88514255\hphantom{1}$ | ||||||||||||
| $\!530783985$ | |||||||||||||
| $\!442571275$ | $1$ | ||||||||||||
| $\!\hphantom{1}88212710$ | $)\!$ | $88514255$ | |||||||||||
| $88212710$ | $292$ | ||||||||||||
| $\hphantom{11}301545$ | $)\!$ | $88$ | $\!212710$ | ||||||||||
| $60$ | $\!3090$ | ||||||||||||
| $27$ | $\!90371$ | ||||||||||||
| $27$ | $\!13905$ | ||||||||||||
| $\!764660$ | |||||||||||||
| $\!603090$ | $1$ | ||||||||||||
| $\!161570$ | $)\!$ | $301545$ | |||||||||||
| $161570$ | |||||||||||||
| $139975$ |
近似分数を計算すれば\[\frac{3}{1},\ \ \frac{22}{7},\ \ \frac{333}{106},\ \ \frac{355}{113},\ \ \frac{103993}{33102},\ \ \frac{104348}{33215},\ \ \frac{208341}{66317},\ \cdots\cdots\] Wallis は $\pi$ の値を小数第 $35$ 位まで用いて，次の展開を得たという（連分数の項だけを記す）．
$3$，$7$，$15$，$1$，$292$，$1$，$1$，$1$，$2$，$1$，$3$，$1$，$14$，$2$，$1$，$1$，$2$，$2$，$2$，$2$，$1$，$84$，$2$，$1$，$1$，$15$，$3$，$13$，$1$，$4$，$2$，$6$，$6$，$1$，$\cdots\cdots$
このうち $14$，$13$ の前までの近似分数は\[\frac{5419351}{1725033},\ \ \frac{428224593349304}{136308121570117}\]である．これらの近似値は和算家も出しているという．
| 〔例 $2$〕 | \begin{alignat*}{2}\omega&=\sqrt{3}=1+\left(\sqrt{3}-1\right),&\hspace{1cm}&k_0=1,\\[2mm]\omega_1&=\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}=1+\frac{\sqrt{3}-1}{2},&\hspace{1cm}&k_2=1,\\[2mm]\omega_2&=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1=2+\left(\sqrt{3}-1\right),&\hspace{1cm}&k_1=2,\\[2mm]\omega_3&=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\ \left(=\omega_1\right),&&\\[2mm]&\hphantom{=}\sqrt{3}=1+\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}&&\end{alignat*} |