第 $2$ 章 連 分 数
$\S\ 21.$ 中 間 近 似 分 数
無理数 $\omega$ の連分数展開において $p_n/q_n$ を一つの近似分数とすれば,その直前,直後の近似分数 $p_{n-1}/q_{n-1}$ と $p_{n+1}/q_{n+1}$ とは大小の関係において $\omega$ に関して $p_n/q_n$ と反対の側にあることはすでに述べた.そうして\[\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{p_{n-1}+k_np_n}{q_{n-1}+k_nq_n}.\]すなわち $p_{n+1}/q_{n+1}$ は $p_{n-1}/q_{n-1}$ の分母と分子とに,それぞれ $p_n/q_n$ の分母と分子との $k_n$ 倍を加えて得られる分数である.さて $k_n$ が $1$ よりも大きいときには,$p_{n-1}/q_{n-1}$ の分母と分子とに,それぞれ $p_n/q_n$ の分母と分子との $1$ 倍,$2$ 倍,$3$ 倍,$\cdots\cdots$,$k_n-1$ 倍を加えることによって,次のような分数を作ることができる:\[\frac{r_\lambda}{s_\lambda}=\frac{p_{n-1}+\lambda p_n}{q_{n-1}+\lambda q_n}\hspace{1cm}\lambda=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots,\ k_n-1.\]これらを $p_n/q_n$ に対する(または $p_{n-1}/q_{n-1}$ と $p_{n+1}/q_{n+1}$ との間の)中間近似分数という.中間近似分数と区別する必要があるときには $p_n/q_n$ を主なる近似分数という.〔定理 $\boldsymbol{2.\ 4}$〕 中間近似分数\[\frac{r_\lambda}{s_\lambda}=\frac{p_{n-1}+\lambda p_n}{q_{n-1}+\lambda q_n}\hspace{1cm}\left(\lambda=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots,\ k_n-1\right)\]は大小の関係において $p_{n-1}/q_{n-1}$ と $p_{n+1}/q_{n+1}$ との間にあって,$\lambda$ に伴って単調に変動する.中間近似分数 $r/s$ とそれに対する主なる近似分数 $p_n/q_n$ との間には次の関係がある.\[p_ns-q_nr=\left(-1\right)^n.\]
〔証〕 | $\begin{alignat*}{1}\frac{p_n}{q_n}-\frac{r_\lambda}{s_\lambda}&=\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-1}+\lambda p_n}{q_{n-1}+\lambda q_n}\\[2mm]&=\frac{p_nq_{n-1}+p_{n-1}q_n}{q_n\left(q_{n-1}+\lambda q_n\right)}\\[2mm]&=\frac{\left(-1\right)^n}{q_n\left(q_{n-1}+\lambda q_n\right)}\end{alignat*}$ |
〔注意〕 $n=1$ のときには $p_{n-1}/q_{n-1}=p_0/q_0=1/0$ で,これは近似分数の中には入らないが,$p_1/q_1$ に対する中間近似分数として\[\frac{p_0+\lambda p_1}{\lower{0.2em}{q_0+\lambda q_1}}\hspace{1cm}\left(\lambda=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots,\ k_1-1\right)\]すなわち\[\frac{1+k_0}{\lower{0.2em}1},\ \frac{1+2k_0}{\lower{0.2em}2},\ \cdots\cdots,\ \frac{1+\left(k_1-1\right)k_0}{\lower{0.2em}{k_1-1}}\]を採用することができる.これらは次第に減少しつつ $p_2/q_2=\left(1+k_0k_1\right)/k_1$ に近づくのである.
〔例〕 次に $\pi$ の中間近似分離数二,三を(括弧内に)記す.\[\frac{3}{\lower{0.2em}1}\ \left(\frac{25}{\lower{0.2em}8},\ \frac{47}{\lower{0.2em}{15}},\ \frac{69}{\lower{0.2em}{22}},\ \cdots\cdots,\ \frac{311}{\lower{0.2em}{99}}\right)\ \ \frac{333}{\lower{0.2em}{106}}\ \left(\frac{688}{\lower{0.2em}{219}},\ \frac{1043}{\lower{0.2em}{332}},\ \cdots\cdots\right)\\[2mm]\frac{103993}{\lower{0.2em}{33102}}\ \left(\frac{4}{\lower{0.2em}1},\ \frac{7}{\lower{0.2em}2},\ \frac{10}{\lower{0.2em}3},\ \cdots\cdots,\ \frac{19}{\lower{0.2em}6}\right)\ \ \frac{22}{\lower{0.2em}7}\ \left(なし\right)\ \ \frac{355}{\lower{0.2em}{113}}\left(\frac{104348}{\lower{0.2em}{33215}},\ \cdots\cdots\right)\]