第 $2$ 章 連 分 数
$\S\ 28.$ 「モジュラル」変形
$\boldsymbol{1.}$ 実数 $\omega$ を連分数に展開するとき，その展開の或る段における終項を $\omega^\prime$ とすれば，$\omega$ と $\omega^\prime$ との間には\[\omega=\frac{p\omega^\prime+p^\prime}{q\omega^\prime+q^\prime}\]なる関係がある．ここで $p$，$q$，$p^\prime$，$q^\prime$ は整数で，\[\begin{vmatrix}p&p^\prime\\q&q^\prime\end{vmatrix}=\pm1.\] 一般に，実または虚の変数 $x$，$y$ が\[x=\frac{ay+b}{cy+d}\tag{$\ 1\ $}\]のような一次変形によって結びつけられ，$a$，$b$，$c$，$d$ は整数で，\[\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=\pm1\]であるときに，このような一次変形を「モジュラル」変形（modular transformation）という．これは楕円函数論の用語であるが，適当な訳語が得難いから原語のままを用いる．ただし本書では略して「モ変形」と記す．
「モ変形」= modular transformation．
いま $\left(\ 1\ \right)$ において，変数 $y$ が変数 $z$ と第二の「モ変形」\[y=\frac{a^\prime z+b^\prime}{c^\prime z+d^\prime}\tag{$\ 2\ $}\]によって結び付けられてあるとすれば，$\left(\ 1\ \right)$ と $\left(\ 2\ \right)$ とから\[x=\frac{a\left(a^\prime z+b^\prime\right)+b\left(c^\prime z+d^\prime\right)}{c\left(a^\prime z+b^\prime\right)+d\left(c^\prime z+d^\prime\right)}=\frac{\left(aa^\prime +bc^\prime\right)z+\left(ab^\prime+bd^\prime\right)}{\left(ca^\prime +dc^\prime\right)z+\left(cb^\prime+dd^\prime\right)}.\]すなわち $x$ と $z$ とは\[x=\frac{a^{\prime\prime}z+b^{\prime\prime}}{c^{\prime\prime}z+d^{\prime\prime}}\tag{$\ 3\ $}\]なる一次変形によって結び付けられる．ただし\begin{alignat*}{1}a^{\prime\prime}&=aa^\prime+bc^\prime,&\hspace{1cm}b^{\prime\prime}&=ab^\prime+bd^\prime,\\[2mm]c^{\prime\prime}&=ca^\prime+dc^\prime,&\hspace{1cm}d^{\prime\prime}&=cb^\prime+dd^\prime.\end{alignat*}または行列の記法を用いて\[\begin{pmatrix}a^{\prime\prime}&b^{\prime\prime}\\c^{\prime\prime}&d^{\prime\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a^\prime&b^\prime\\c^\prime&d^\prime\end{pmatrix}.\]したがって\[\begin{vmatrix}a^{\prime\prime}&b^{\prime\prime}\\c^{\prime\prime}&d^{\prime\prime}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\cdotp\begin{vmatrix}a^\prime&b^\prime\\c^\prime&d^\prime\end{vmatrix}=\pm1.\]$a^{\prime\prime}$，$b^{\prime\prime}$，$c^{\prime\prime}$，$d^{\prime\prime}$ は整数であるから，$\left(\ 3\ \right)$ も「モ変形」である．一次変形 $\left(\ 3\ \right)$ を一次変形 $\left(\ 1\ \right)$，$\left(\ 2\ \right)$ を結合したものという．
すなわち「モ変形」を結合すれば，その結果はやはり一つの「モ変形」である．この意味において，「モ変形」は一つの群をなすのである．
二つの数 $\omega$，$\omega^\prime$ が「モ変形」 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ によって結び付けられるとき，すなわち\[\omega=\frac{a\omega^\prime+b}{c\omega^\prime+d},\hspace{1.5cm}\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=\pm1\]であるとき，$\omega$ と $\omega^\prime$ とは「モ変形」に関して対等（equivalent）であるという．本章では略して単に対等という．
この定義によって「対等」の関係は反射，対称，推移の三つの性質を有する．
（反射） 各数はそれ自身と対等である．すなわち\[\omega=\frac{1\hspace{0.7mm}\cdotp\omega+0}{0\hspace{0.7mm}\cdotp\omega+1},\hspace{1.5cm}\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1.\] （対称） $\omega$ が $\omega^\prime$ と対等ならば，$\omega^\prime$ は $\omega$ と対等である．すなわち\[\omega=\frac{a\omega^\prime+b}{c\omega^\prime+d},\hspace{1.5cm}\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=\pm1\]ならば，\[\omega^\prime=\frac{\hphantom{-}d\omega-b}{-c\omega+a},\hspace{1.5cm}\begin{vmatrix}\hphantom{-}d&-b\\-c&\hphantom{-}a\end{vmatrix}=\pm1.\] （推移） $\omega$ と $\omega^\prime$ とが対等，$\omega^\prime$ と $\omega^{\prime\prime}$ とが対等ならば，$\omega$ と $\omega^{\prime\prime}$ とも対等である．すなわち\begin{alignat*}{2}\omega&=\frac{a\omega^\prime+b}{c\omega^\prime+d},&\hspace{1.5cm}\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\ &=\pm1,\\[2mm]\omega^\prime&=\frac{a^\prime\omega^{\prime\prime}+b^\prime}{c^\prime\omega^{\prime\prime}+d^\prime},&\hspace{1.5cm}\begin{vmatrix}a^\prime&b^\prime\\c^\prime&d^\prime\end{vmatrix}&=\pm1\end{alignat*}ならば，\[\omega=\frac{a^{\prime\prime}\omega^{\prime\prime}+b^{\prime\prime}}{c^{\prime\prime}\omega^{\prime\prime}+d^{\prime\prime}},\hspace{1.5cm}\begin{vmatrix}a^{\prime\prime}&b^{\prime\prime}\\c^{\prime\prime}&d^{\prime\prime}\end{vmatrix}=\pm1.\]これは上記「モ変形」の結合にほかならない．
「モ変形」 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ の行列式 $ad-bc$ が $+1$ に等しい場合と，$-1$ に等しい場合とを区別する必要が生じる．それらを正の「モ変形」または負の「モ変形」ということにするが，二つの数が対等であるときに，それらが正の「モ変形」によって結び付けられる場合に，Gauss にならって，それらを正式に（eigentlich，properly）対等であるといい，負の「モ変形」によって結び付けられる場合には非正式に（uneigentlich，improperly）対等であると名づける．ただし二つの数が正の「モ変形」によっても，また負の「モ変形」によっても結び付けられることがあるから，正式の対等と非正式の対等とはいつでも互いに矛盾するものと速断してはならない．
〔例〕 $\omega=\sqrt{2}+1$ とすれば，$\omega$ と $\sqrt{2}$ とは正式にも，非正式にも対等である．\begin{alignat*}{2}\omega&=\frac{\sqrt{2}+1}{0\hspace{0.7mm}\cdotp\sqrt{2}+1}&\hspace{1cm}&\begin{vmatrix}1&\hphantom{-}1\\0&\hphantom{-}1\end{vmatrix}=+1,\\[2mm]&=\frac{1}{\sqrt{2}-1}&\hspace{1cm}&\begin{vmatrix}0&\hphantom{-}1\\1&-1\end{vmatrix}=-1.\end{alignat*} 〔注意〕 本章で取り扱う「モ変形」は，不斉次の「モ変形」\[z=\frac{az^\prime+b}{cz^\prime+d}\]であるから，$a$，$b$，$c$，$d$ に任意の比例乗数を掛けてもよい筈であるが，$a$，$b$，$c$，$d$ を整数として，$ad-bc=\pm1$ ときめておくことがもちろん大切である．ただ $a$，$b$，$c$，$d$ の符号をかえても，この条件は満たされるから，「モ変形」を行列で示すときには\[\mathrm{M}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\hphantom{n}-\mathrm{M}=\begin{pmatrix}-a&-b\\-c&-d\end{pmatrix}\]を同一の「モ変形」と見る．したがって，$\mathrm{E}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$-\mathrm{E}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ を恒等変形とする．斉次の「モ変形」\begin{alignat*}{1}x&=ax^\prime+by^\prime,\\[2mm]y&=cx^\prime+dy^\prime\end{alignat*}を取り扱う場合には，もちろん $\mathrm{M}$ と $-\mathrm{M}$ とを差別する必要がある．