第 $2$ 章 連 分 数
$\S\ 29.$ 対等な数の連分数展開
$\boldsymbol{1.}$ 二つの実数 $\theta$，$\theta^\prime$ を連分数に展開するときに，終項として同一の数 $\omega$ が出るならば，それから先は，双方の展開は一致する．この場合に $\theta$ も $\theta^\prime$ も $\omega$ と対等であるから，したがって互いに対等である．すなわち $\theta$ と $\theta^\prime$ との間には\[\theta^\prime=\frac{a\theta+b}{c\theta+d},\hspace{5mm}ad-bc=\pm1\]なる関係がある．これは明白であるが，次にいうような意味で，この定理の逆が成り立つ．
〔定理 $\boldsymbol{2.\ 11}$〕 実の無理数 $\theta$，$\theta^\prime$ が互いに対等ならば，$\theta$ と $\theta^\prime$ とを連分数に展開するとき，双方の展開はついには一致する．
この定理の特別の場合として，まず次の定理を証明する．
〔定理 $\boldsymbol{2.\ 12}$〕 実数 $\theta$，$\theta^\prime$ が互いに対等で，\[\theta^\prime=\frac{a\theta+b}{c\theta+d},\tag{$\ 1\ $}\]\[ad-bc=e=-\pm1\tag{$\ 2\ $}\]で，かつ\[\theta\gt1,\hspace{7mm}c\gt d\gt0\tag{$\ 3\ $}\]ならば，$\theta^\prime$ の連分数展開において，$\theta$ が終項として現われる．
〔証〕 $a/c$ を連分数に展開して\[\frac{a}{c}=k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_{n-1}}\]とし，かつ項数 $n$ を塩梅して $\left(\ 2\ \right)$ における $e$ を\[e=\left(-1\right)^n\]とする（定理 $2.\ 3$）．
$p_n/q_n$，$p_{n-1}/q_{n-1}$ をこの連分数の近似分数とすれば，\begin{alignat*}{1}a&=p_n,&\hphantom{m}b&=p_{n-1},\\[2mm]c&=q_n,&\hphantom{m}d&=q_{n-1}\end{alignat*}である
実際，$a/c=p_n/q_n$ で，$\left(\ 2\ \right)$ によって $a$，$c$ は公約数を有せず，また $\left(\ 3\ \right)$ によって $c\gt0$ であるから，$a=p_n$，$c=q_n$．
また仮定によって\[p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=e.\]すなわち\[aq_{n-1}-cp_{n-1}=e.\] 故に $\left(\ 2\ \right)$ によって\[a\left(d-q_{n-1}\right)=c\left(b-p_{n-1}\right).\]$a$，$c$ は互いに素であるから，$d-q_{n-1}$ は $c$ で割り切れる．しかるに $\left(\ 3\ \right)$ によって $0\lt d\lt c$，また $0\leqq q_{n-1}\leqq q_n=c$．したがって $\left|d-q_{n-1}\right|\lt c$．故に $d-q_{n-1}=0$．すなわち $d=q_{n-1}$，したがって $b=p_{n-1}$．
故に $\left(\ 1\ \right)$ から\[\theta^\prime=\frac{p_n\theta+p_{n-1}}{q_n\theta+q_{n-1}}=k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_{n-1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{\theta}.\tag{$\ 4\ $}\] しかるに仮定 $\left(\ 3\ \right)$ によって $\theta\gt1$．故に $\theta$ は $\theta^\prime$ の連分数展開における終項である．
よって定理 $2.\ 12$ が証明された．
ここで $\theta\gt1$ が大切である．そこから上記の結論が出るのである．$\theta\gt1$ だから\[\theta=k_n+\frac{\lower{0.1em}1}{\lower{0.1em}{k_{n+1}}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\]とすれば，$\left(\ 4\ \right)$ から\[\theta^\prime=k_0+\frac{\lower{0.1em}1}{\lower{0.1em}{k_1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{\lower{0.1em}1}{\lower{0.1em}{k_{n-1}}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{\lower{0.1em}1}{\lower{0.1em}{k_n}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{\lower{0.1em}1}{\lower{0.1em}{k_{n+1}}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\]を得る．$k_1$，$\cdots\cdots$，$k_n$，$\cdots\cdots$ は正の整数だから，これが $\theta^\prime$ の正則連分数への展開である．故に $\theta$ が終項である．
$\left(\ 4\ \right)$ は正しい等式であるが，$\theta\gt1$ でないならば，$\theta^\prime$ の正則連分数展開ではない．
さて一般の場合において定理 $2.\ 11$ の証明を定理 $2.\ 12$ に帰着せしめることができる．まず\[\theta^\prime=\frac{a\theta+b}{c\theta+d}\tag{$\ 5\ $}\]において\[c\theta+d\gt0\tag{$\ 6\ $}\]と仮定してさしつかえない（反対の場合には $a$，$b$，$c$，$d$ の符合を変える）．$\theta$ を連分数に展開して，$\omega$ を一つの終項とし\begin{eqnarray*}\theta&=&h_0+\frac{1}{h_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{h_{m-1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{\omega}\tag{$\ 7\ $}\\&=&\frac{p_m\omega+p_{m-1}}{q_m\omega+q_{m-1}}\end{eqnarray*}と置けば\[\omega\gt1.\tag{$\ 8\ $}\]これを $\left(\ 5\ \right)$ に代入すれば\[\theta^\prime=\frac{\left(ap_m+bq_m\right)\omega+\left(ap_{m-1}+bq_{m-1}\right)}{\left(cp_m+dq_m\right)\omega+\left(cp_{m-1}+dq_{m-1}\right)}.\tag{$\ 9\ $}\]よって $m$ を適当にとって\[cp_m+dq_m\gt cp_{m-1}+dq_{m-q}\gt0\tag{$10$}\]ならしめることができるならば，$\left(\ 8\ \right)$ と $\left(\ 9\ \right)$ とから，定理 $2.\ 12$ によって，$\omega$ は $\theta^\prime$ の連分数展開における終項である．
しからば $\theta$ と $\theta^\prime$ とは共通の終項 $\omega$ を有するから，定理 $2.\ 11$ が証明されるであろう．
さて\[cp_m+dq_m=q_m\left(c\frac{\raise{0.1em}{p_m}}{\raise{0.1em}{q_m}}+d\right)\]で，$q_m$ は正，また $m$ を限りなく増すとき，\[\frac{\raise{0.1em}{p_m}}{\raise{0.1em}{q_m}}\rightarrow\theta,\hspace{5mm}c\frac{\raise{0.1em}{p_m}}{\raise{0.1em}{q_m}}+d\rightarrow c\theta+d\]であるから，仮定 $\left(\ 6\ \right)$ によって\[cp_m+dq_m\]はついには正になる．さてまた\[cp_m+dq_m=h_{m-1}\left(cp_{m-1}+dq_{m-1}\right)+\left(cp_{m-2}+dq_{m-2}\right)\]であるから，$m$ を十分に大きくとって，すでに $cp_{m-2}+dq_{m-2}$ が正になったとすれば，\[cp_m+dq_m\gt cp_{m-1}+dq_{m-1}\gt0,\]すなわち $\left(10\right)$ が成り立つ．よって定理 $2.\ 11$ は証明された（ここで $\theta$ が無理数であることを仮定した）．
〔注意〕 このように $m$ を十分大きくとれば $\left(\ 9\ \right)$ の「モ変形」は，$\theta^\prime$ の連分数展開から出てくるものであるから，それを\[\theta^\prime=\frac{p^\prime{}_n\omega+p^\prime{}_{n-1}}{q^\prime{}_n\omega+q^\prime{}_{n-1}}\]と置けば，\[\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_m&p_{m-1}\\q_m&q_{m-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p^\prime{}_n&p^\prime{}_{n-1}\\q^\prime{}_n&q^\prime{}_{n-1}\end{pmatrix}\begin{matrix}\\.\end{matrix}\]したがって\[\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p^\prime{}_n&p^\prime{}_{n-1}\\q^\prime{}_n&q^\prime{}_{n-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_m&p_{m-1}\\q_m&q_{m-1}\end{pmatrix}^{-1}\begin{matrix}\\.\end{matrix}\]ただし $a$，$b$，$c$，$d$ の符号は $c\theta+d\gt0$ となるようにとっておくのである．このように $\theta^\prime$ と $\theta$ とを結びつける「モ変形」は $\theta^\prime$ と $\theta$ との連分数展開から，共通の終項の媒介によって求められる．
$\boldsymbol{2.}$ $\theta$ と $\theta^\prime$ とが対等である場合に，$\theta^\prime$ を $\theta$ に結び付けるすべての「モ変形」を求めようという問題が生ずる．
いまこのような「モ変形」を $\mathrm{M}$，$\mathrm{M}^\prime$ として\[\theta^\prime=\mathrm{M}\left(\theta\right),\hphantom{m}\theta^\prime=\mathrm{M}^\prime\left(\theta\right)\]とするとき，\[\mathrm{M}^{-1}\mathrm{M}^\prime=\mathrm{A}\]と置けば\[\theta=\mathrm{M}^{-1}\left(\theta^\prime\right)=\mathrm{M}^{-1}\mathrm{M}^\prime\left(\theta\right)=A\left(\theta\right).\]すなわち $\mathrm{A}$ は $\theta$ を変えない（それ自身に変換する）「モ変形」である．それを $\theta$ の自己変形という．
逆に $\mathrm{A}$ を $\theta$ の自己変形として，$\theta^\prime=\mathrm{M}\left(\theta\right)$ とすれば，\[\mathrm{M}^\prime=\mathrm{MA}\]は，やはり $\theta^\prime$ を $\theta$ に結び付ける「モ変形」である．すなわち\[\theta^\prime=\mathrm{M}\left(\theta\right)=\mathrm{M}\left\{\mathrm{A}\left(\theta\right)\ \!\!\right\}=\mathrm{M}^\prime\left(\theta\right).\]故に $\theta$ と $\theta^\prime$ とが対等で，$\theta^\prime$ を $\theta$ に結び付ける一つの「モ変形」を $\theta^\prime=\mathrm{M}\left(\theta\right)$ とすれば，$\theta^\prime$ を $\theta$ に結び付けるすべての「モ変形」は\[\mathrm{MA}\]によって与えられる．ここで $\mathrm{A}$ は $\theta$ の任意の自己変形である．
さて\[\mathrm{A}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\]を $\theta$ の自己変形とすれば，\[\theta=\frac{a\theta+b}{c\theta+d},\]したがって\[c\theta^2+\left(d-a\right)\theta-b=0.\tag{$11$}\] $c=d-a=b=0$ ならば $ad-bc=\pm1$ から，$a=d=\pm1$，すなわち $\mathrm{A}$ は恒等変形\[\pm\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\]である．それを除けば，$\left(11\right)$ によって $\theta$ は二次の無理数（または有理数）でなければならない．二次の無理数とは，整係数の二次方程式を満足させる数である（第 $3$ 章参照）．
故に有理数と二次の無理数とを除けば恒等変形以外に自己変形はなく，したがって互いに対等な二つの数を結び付ける「モ変形」はただ一つに限る．それは連分数展開から求められる．