初 等 整 数 論 講 義 第 $2$ 版

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第 $3$ 章 二元二次不定方程式

 $\S\ 32.$ 二次無理数の連分数展開

 $\boldsymbol{1.}$ 本節では実の二次無理数のみを考察する.
 目標は次に掲げる有名な Lagrange の定理である.
 〔定理 $\boldsymbol{3.\ 3}$〕 二次無理数は循環連分数に展開される.
 まず $\S 27$ を引用する.二次無理数 $\omega$ が二次方程式\[a\omega^2+b\omega+c=0\]を満足させるとして,$\omega$ の共軛数を $\omega^\prime$ とする.$\omega$ の連分数展開における終項を $\omega_n$ として\[\omega=\frac{p_n\omega_n+p_{n-1}}{q_n\omega_n+q_{n-1}},\hphantom{m}\omega^\prime=\frac{p_n\omega_n{}^\prime+p_{n-1}}{q_n\omega_n{}^\prime+q_{n-1}}\]と置けば,$n$ のある値以上においては,つねに\[\omega_n\gt1,\hphantom{m}0\gt\omega_n{}^\prime\gt-1\]になることは $\S 27$ で述べた.ここで $\omega_n$,$\omega_n{}^\prime$ は互いに共軛な二次無理数で,$\omega$,$\omega^\prime$ と同一の判別式 $D$ に属する(定理 $3.\ 2$).
 いま Gauss にならって,次のような用語上の規定をする.
 二次無理数 $\omega$ およびそれと共軛な $\omega^\prime$ とに関して,不等式\[\omega\gt1,\hphantom{m}0\gt\omega^\prime\gt-1\]が成り立つとき,$\omega$ を簡約された二次無理数 という.
 この規定によれば,上記 $\S 27$ から次の定理を得る.
 〔定理 $\boldsymbol{3.\ 4}$〕 判別式 $D$ に属する二次無理数を連分数に展開すれば,ある番号以上の終項はすべて同じ判別式 $D$ に属する簡約された二次無理数である.

 しかるに次の定理が成り立つ.
 〔定理 $\boldsymbol{3.\ 5}$〕 与えられた判別式 $D$ に属する簡約された二次無理数の数は有限である.
 〔〕 $\omega$ を判別式 $D$ に属する簡約された二次無理数として\[a\omega^2+b\omega+c=0,\]\[\omega=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},\hphantom{m}\omega^\prime=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a},\]\[\left(a,\ b,\ c\right)=1,\]\[D=b^2-4ac\]とすれば,\[\omega\gt1,\hphantom{m}0\gt\omega^\prime\gt-1\tag{$\ 1\ $}\]から\[\omega\gt\omega^\prime,\]すなわち\[\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\gt\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}.\]故に\[a\gt0.\tag{$\ 2\ $}\] また\[\omega+\omega^\prime\gt0,\hphantom{\omega}\omega\omega^\prime\lt0.\]すなわち\[-\frac{b}{a}\gt0,\hphantom{\omega}\frac{c}{a}\lt0.\]故に $\left(\ 2\ \right)$ を用いて\[b\lt0,\hphantom{c}c\lt0.\tag{$\ 3\ $}\]したがって\[D=b^2-4ac=\left|\ b\ \right|^2+4a\left|\ c\ \right|.\]故に\[\left|\ b\ \right|\lt\sqrt{D}.\tag{$\ 4\ $}\]故に\[\omega=\frac{\sqrt{D}+\left|\ \!b\ \!\right|}{2a},\hphantom{\omega}\omega^\prime=-\frac{\sqrt{D}-\left|\ \!b\ \!\right|}{2a}.\]したがって $\left(\ 1\ \right)$ から\[\frac{\sqrt{D}+\left|\ \!b\ \!\right|}{2a}\gt a\gt\frac{\sqrt{D}-\left|\ \!b\ \!\right|}{2a}.\tag{$\ 5\ $}\]また\[\left|\ \!ac\ \!\right|=\frac{\sqrt{D}+\left|\ \!b\ \!\right|}{2a}\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{\sqrt{D}-\left|\ \!b\ \!\right|}{2a}\]よって\[\frac{\sqrt{D}+\left|\ \!b\ \!\right|}{2a}\gt\left|\ \!c\ \!\right|\gt\frac{\sqrt{D}-\left|\ \!b\ \!\right|}{2a}\tag{$\ 5^{\large*}$}\] $b\lt0$ で,かつ $\left(\ 4\ \right)$ によって $\left|\ b\ \right|$ は $\sqrt{D}$ よりも小さいから,$b$ がとり得る値は有限個に限る.また $a\left|\ c\ \right|=\left(D-b^2\right)/4$ で,したがって $a$,$\left|\ c\ \right|$ は $\left(D-b^2\right)/4$ の正の約数であるから,$a$,$c$ が取り得る値も有限個に限るのであるが,$a$,$\left|\ c\ \right|$ はなお, $\left(\ 5\ \right)$ , $\left(\ 5^{\large*}\right)$ によって制限されている.その上にまた $\left(a,\ b,\ c\right)=1$ でなければならない.

 このように,$\omega$ の連分数展開において,終項は結局判別式 $D$ に属する簡約された無理数のみになり(定理 $3.\ 4$),それらは有限個に限って存在する(定理 $3.\ 5$)から,ついには同一の簡約された無理数が終項として再び出てこなければならない.同一の終項が再び現われるならば,部分商は一定の周期をもって循環するから,定理 $3.\ 3$ が証明されたのである.
 〔例 $1$〕 $D=73$.
 簡約数 $\omega$ に対応する $b$ の値と $\left(\ 5\ \right)$, $\left(\ 5^{\large*}\right)$ における $a$ および $\left|\ c\ \right|$ のあるべき範囲とから $\omega$ を求めるならば次のようになる.
$\sqrt{73}\gt\left|\ b\ \right|$ で,$b$ は負の奇数.
$b$$\left|\ \!ac\ \!\right|$$a$,$\left|\ \!c\ \!\right|$ の範囲$a$$c$$\omega$
$-1$$18$$\left[4,\ 4\right]$
$-3$$16$$\left[3,\ 5\right]$$4$$-4$$\dfrac{3+\sqrt{73}}{8}$
$-5$$12$$\left[2,\ 6\right]$$2$$-6$$\dfrac{5+\sqrt{73}}{4}$
$3$$-4$$\dfrac{5+\sqrt{73}}{6}$
$4$$-3$$\dfrac{5+\sqrt{73}}{8}$
$6$$-2$$\dfrac{5+\sqrt{73}}{12}$
$-7$$6$$\left[1,\ 7\right]$$1$$-6$$\dfrac{7+\sqrt{73}}{2}$
$2$$-3$$\dfrac{7+\sqrt{73}}{4}$
$3$$-2$$\dfrac{7+\sqrt{73}}{6}$
$6$$-1$$\dfrac{7+\sqrt{73}}{12}$
$\hphantom{_1}\omega=\dfrac{7+\sqrt{73}}{2}=7+\dfrac{\sqrt{73}-7}{2}$$\omega_1=\dfrac{7+\sqrt{73}}{12}=1+\dfrac{\sqrt{73}-5}{12}$
$\omega_2=\dfrac{5+\sqrt{73}}{4}=3+\dfrac{\sqrt{73}-7}{4}$$\omega_3=\dfrac{7+\sqrt{73}}{6}=2+\dfrac{\sqrt{73}-5}{6}$
$\omega_4=\dfrac{5+\sqrt{73}}{8}=1+\dfrac{\sqrt{73}-3}{8}$$\omega_5=\dfrac{3+\sqrt{73}}{8}=1+\dfrac{\sqrt{73}-5}{8}$
$\omega_6=\dfrac{5+\sqrt{73}}{6}=2+\dfrac{\sqrt{73}-7}{6}$$\omega_7=\dfrac{7+\sqrt{73}}{4}=3+\dfrac{\sqrt{73}-5}{4}$
$\omega_8=\dfrac{5+\sqrt{73}}{12}=1+\dfrac{\sqrt{73}-7}{12}=1+\dfrac{1}{\omega}$,
\[\omega=7+\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{3}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{3}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{\omega}\]
 〔例 $2$〕 $D=136=4\hspace{0.7mm}\cdotp34$.$\sqrt{136}\lt12$,  $\left|\ \!b\ \!\right|\leqq10$$\hphantom{D=136=4\hspace{0.7mm}\cdotp34}$
$b$$\left|\ \!ac\ \!\right|$$a$,$\left|\ \!c\ \!\right|$ の範囲$a$$c$$\omega$
$-2$$33$$\left[5,\ 6\right]$
$-4$$30$$\left[4,\ 7\right]$$5$$-6$$\dfrac{2+\sqrt{34}}{5}$
$6$$-5$$\dfrac{2+\sqrt{34}}{6}$
$-6$$25$$\left[3,\ 8\right]$$5$$-5$$\dfrac{3+\sqrt{34}}{5}$
$-8$$18$$\left[2,\ 9\right]$$2$$-9$$\dfrac{4+\sqrt{34}}{2}$
$9$$-2$$\dfrac{4+\sqrt{34}}{9}$
$3$$-6$$\dfrac{4+\sqrt{34}}{3}$
$6$$-3$$\dfrac{4+\sqrt{34}}{6}$
$-10$$9$$\left[1,\ 10\right]$$1$$-9$$5+\sqrt{34}$
$9$$-1$$\dfrac{5+\sqrt{34}}{9}$
$3$$-3$$\dfrac{5+\sqrt{34}}{3}$
$\begin{alignat*}{1}\omega\hphantom{_1}&=5+\sqrt{34}=10+\sqrt{34}-5\\[2mm]\omega_1&=\dfrac{5+\sqrt{34}}{9}=1+\dfrac{\sqrt{34}-4}{9}\\[2mm]\omega_2&=\dfrac{4+\sqrt{34}}{2}=4+\dfrac{\sqrt{34}-4}{2}\\[2mm]\omega_3&=\dfrac{4+\sqrt{34}}{9}=1+\dfrac{\sqrt{34}-5}{9}\\[2mm]\omega\hphantom{_1}&=5+\sqrt{34}\end{alignat*}$\[\omega\hphantom{_1}=10+\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{4}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{\omega}\]  $\begin{alignat*}{1}\omega&=\dfrac{2+\sqrt{34}}{5}=1+\dfrac{\sqrt{34}-3}{5}\\[2mm]\omega_1&=\dfrac{3+\sqrt{34}}{5}=1+\dfrac{\sqrt{34}-2}{5}\\[2mm]\omega_2&=\dfrac{2+\sqrt{34}}{6}=1+\dfrac{\sqrt{34}-4}{6}\\[2mm]\omega_3&=\dfrac{4+\sqrt{34}}{3}=3+\dfrac{\sqrt{34}-5}{3}\\[2mm]\omega_4&=\dfrac{5+\sqrt{34}}{3}=3+\dfrac{\sqrt{34}-4}{3}\\[2mm]\omega_5&=\dfrac{4+\sqrt{34}}{6}=1+\dfrac{\sqrt{34}-2}{6}\\[2mm]\omega&=\dfrac{2+\sqrt{34}}{5}\\[2mm]&\omega=1+\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{3}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{3}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{\omega}\end{alignat*}$

 〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 判別式 $D$ が偶数ならば,$r$ を $\sqrt{D/4}$ よりも小さい最大の整数とするとき,$\omega=r+\sqrt{D/4}$ は判別式 $D$ に属する簡約された二次無理数である.
 $D$ が奇数ならば,$r$ を $\sqrt{D}$ よりも小さい最大の奇数とするとき,$\omega=\left(r+\sqrt{D}\right)/2$ は判別式 $D$ に属する簡約された二次無理数である.
 〔解〕 前の場合には,$\omega^2-2r\omega-\left(D/4-r^2\right)=0$,後の場合には $\omega^2-r\omega-\left(D-r^2\right)/4=0$ で,$\omega$ は判別式 $D$ に属する.さて $D\gt4$ であるから,仮定によって $\omega\gt1$.またいずれの場合でも,$0\gt\omega^\prime\gt-1$.故に $\omega$ は簡約された二次無理数である.
 例えば $D=136$,$\sqrt{D/4}=\sqrt{34}$,$r=5$,$\omega=5+\sqrt{34}$(例 $2$,参照).
 また $D=73$,$r=7$,$\omega=\left(7+\sqrt{73}\right)/2$(例 $1$,参照).


 $\boldsymbol{2.}$ 二次無理数は循環連分数に展開されること上記の通りである.しからば,循環はどこから始まるか,それは簡約された二次無理数が終項として最初に現われてくるところからである.すなわち次の定理 $3.\ 6$,$3.\ 6^\prime$ が成り立つ.
 〔定理 $\boldsymbol{3.\ 6}$〕 簡約された二次無理数は純循環連分数に展開される.
 純循環とは,循環が最初の部分商から始まるのをいう.
 〔〕 $\omega$ を簡約された二次無理数とし,$\omega$ の展開においてつぎつぎに出てくる終項を $\omega_0$($=\omega$),$\omega_1$,$\omega_2$,$\cdots\cdots$ とし\[\omega_n=\omega_m\ \ \left(m\gt n\right)\tag{$\ 6\ $}\]とする.もしも $n\gt0$ ならば\begin{alignat*}{1}\omega_{n-1}&=k_{n-1}+\frac{1}{\omega_n},\\[2mm]\omega_{m-1}&=k_{m-1}+\frac{1}{\omega_m},\end{alignat*}したがって\[\omega_{n-1}-\omega_{m-1}=k_{n-1}-k_{m-1}\tag{$\ 7\ $}\]は整数である.この関係は共軛な二次無理数の間にも成り立たなくてはならない.すなわち\[\omega^\prime{}_{n-1}-\omega^\prime{}_{m-1}=k_{n-1}-k_{m-1}.\tag{$\ 8\ $}\]
 実際,\[\omega_{n-1}=\frac{-b_{n-1}+\sqrt{D}}{2a_{n-1}},\hphantom{m}\omega_{m-1}=\frac{-b_{m-1}+\sqrt{D}}{2a_{m-1}}\]    
とすれば,$\left(\ 7\ \right)$ によって $\omega_{n-1}-\omega_{m-1}=k_{n-1}-k_{m-1}$ は有理数であるから,\[\frac{\sqrt{D}}{2a_{n-1}}=\frac{\sqrt{D}}{2a_{m-1}}.\]故に\[\omega^\prime{}_{n-1}=\frac{-b_{n-1}-\sqrt{D}}{2a_{n-1}},\hphantom{m}\omega^\prime{}_{m-1}=\frac{-b_{m-1}-\sqrt{D}}{2a_{m-1}}\]から\[\omega^\prime{}_{n-1}-\omega^\prime{}_{m-1}=\omega_{n-1}-\omega_{m-1}=k_{n-1}-k_{m-1}.\]
 さて $\omega_{n-1}$,$\omega_{m-1}$ は簡約されてあるから,$\omega^\prime{}_{n-1}$,$\omega^\prime{}_{m-1}$ は $0$ と $-1$ との間にある数である.故に\[\left|\omega^\prime_{n-1}-\omega^\prime_{m-1}\right|\lt1.\]よって $\left(\ 8\ \right)$ から\[\left|k_{n-1}-k_{m-1}\right|\lt1.\]左辺は整数であるから\[k_{n-1}=k_{m-1},\]したがって\[\omega_{n-1}=\omega_{m-1}.\tag{$\ 9\ $}\] $\left(\ 6\ \right)$ から $\left(\ 9\ \right)$ を得るから,次第に同様にして\[\omega_0=\omega_{m-n}\]を得る.すなわち $\omega$ の展開は純循環連分数である.
 〔定理 $\boldsymbol{3.\ 6^\prime}$〕 純循環連分数は簡約された二次無理数に等しい.
 〔〕 $\omega$ を純循環連分数の値として\begin{alignat*}{2}\omega=k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ &\underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_{n-1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_0}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ &&\underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_{n-1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ &\underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\\&\cssId{eq1}{\}}&\ &\cssId{eq2}{\}}\end{alignat*}と置けば,$k_0$ は $n+1$ 位の部分商であるから,$k_0\geqq1$,故に $\omega\gt1$.さて\[\omega=k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_{n-1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{\omega}=\frac{p_n\omega+p_{n-1}}{q_n\omega+q_{n-1}},\]すなわち\[q_n\omega^2+\left(q_{n-1}-p_n\right)\omega-p_{n-1}=0.\]故に $\omega$ は二次の無理数である.
 いま\[f\left(x\right)=q_nx^2+\left(q_{n-1}-p_n\right)x-p_{n-1}\]と置けば,$k_0\gt0$ に注意して\begin{alignat*}{1}&f\left(0\right)=-p_{n-1}\lt0,\\[2mm]&f\left(-1\right)=q_n-q_{n-1}+p_n-p_{n-1}.\end{alignat*}さて $q_n\geqq q_{n-1}$ また $k_{n-1}\geqq1$ であるから,$p_n\gt p_{n-1}$.故に\[f\left(-1\right)\gt0.\]よって $f\left(x\right)$ は $0$ と $-1$ との間に一つの根を有する.$\omega\gt1$ であるから,それは $\omega^\prime$ でなければならない.故に $\omega$ は簡約された二次無理数である.
 〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 循環連分数は二次の無理数である.
 〔解〕 定理 $3.\ 6$ および定理 $3.\ 2$ による.
 〔問題 $\boldsymbol{3}$〕 $\omega$ が簡約された二次の無理数ならば,$-1/\omega^\prime$ も簡約された二次の無理数で,\begin{alignat*}{1}\omega=k_0+\frac{1}{k_1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ &\underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_{n-1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_0}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ &\underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\\&\cssId{eq3}{\}}\end{alignat*}ならば,\begin{alignat*}{1}\frac{-1}{\omega^\prime}=k_{n-1}+\frac{1}{k_{n-2}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}&\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_0}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{k_{n-1}}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ &\underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\ \underset{\Large\cdotp}{}\\&\cssId{eq4}{\}}\end{alignat*}である.
 〔解〕 $\omega\gt1$,$0\gt\omega^\prime\gt-1$.故に $-1/\omega^\prime\gt1$,$0\gt-1/\omega\gt-1$.故に $-1/\omega^\prime$ は簡約された二次無理数である.さて\[\omega_{n-1}=k_{n-1}+\frac{1}{\omega}\]から\[\omega^\prime{}_{n-1}=k_{n-1}+\frac{1}{\omega^\prime},\]すなわち\[-\frac{1}{\omega^\prime}=k_{n-1}+\frac{1}{\dfrac{-1}{\omega^\prime{}_{n-1}}},\] $-1/\omega^\prime{}_{n-1}$ も簡約された二次無理数であるから,$1$ よりも大,故に $k_{n-1}$ が $-1/\omega^\prime$ の展開の最初の部分商である.以下同様にして $-1/\omega^\prime$ の展開が上記の形になる.
 例えば $\omega=\dfrac{7+\sqrt{73}}{2}$($203$ 頁,例 $1$)とすれば,$-\dfrac{1}{\omega^\prime}=\dfrac{-2}{7-\sqrt{73}}=\dfrac{7+\sqrt{73}}{12}=\omega_1=1+\dfrac{1}{3}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\ \raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{7}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{\omega_1}$.
また $\omega=\dfrac{2+\sqrt{34}}{5}$($204$ 頁,例 $2$)とすれば,$-\dfrac{1}{\omega^\prime}=\dfrac{-5}{2-\sqrt{34}}=\dfrac{2+\sqrt{34}}{6}=\omega_2=1+\dfrac{1}{3}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{3}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{\omega_2}$.






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