初 等 整 数 論 講 義 第 $2$ 版

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第 $3$ 章 二元二次不定方程式

 $\S\ 35.$ 二次不定方程式の解法(Gauss の方法)

 $\boldsymbol{1.}$ 前節に述べた方法によって,二次不定方程式が有限回の試行によって解き得られることが示されたのであるけれども,実際的計算法としてはともかくも,二次不定方程式の理論としては,それは必ずしも完全とはいわれないであろう.その欠点を補うために,本節で Gauss の方法を紹介する.ただし,表現の様式に多少の変更を施すことを適切と考えたのである.
 二次不定方程式\[ax^2+bxy+cy^2=k\tag{$\ 1\ $}\]において $\left(a,\ b,\ c\right)=1$ と仮定し,また判別式\[D=b^2-4ac\]は平方数でないとする.
 $\left(\ 1\ \right)$ が\[\left(x,\ y\right)=1\]なる解を有するとき,それを原始解という.
\[\left(x,\ y\right)=s\gt1\]なる解は,\[x=sx^\prime,\hspace{5mm}y=sy^\prime\]とおけば,$\left(\ 1\ \right)$ から\[k=s^2k^\prime,\]\[ax^{\prime2}+bx^\prime y^\prime+cy^{\prime2}=k^\prime,\hphantom{x}\left(x^\prime,\ y^\prime\right)=1\]を得るから,$k^\prime=k/s^2$ に関する原始解から得られる.
 いま $\left\{x_0,\ y_0\right\}$ を $\left(\ 1\ \right)$ の原始解とする.しからば\[ax_0{}^2+bx_0y_0+cy_0{}^2=k.\tag{$\ 2\ $}\]したがって,二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の根を\[\omega=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},\hspace{5mm}\omega^\prime=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]とすれば,\[a\left(x_0-\omega y_0\right)\left(x_0-\omega^\prime y_0\right)=k.\tag{$\ 2^{\large*}$}\] さて $\left(x_0,\ y_0\right)=1$ であるから,\[\begin{vmatrix}x_0&u\\y_0&v\end{vmatrix}=1\tag{$\ 3\ $}\]なる整数 $u$,$v$ が求められる.そこで\[\omega=\frac{x_0\omega_1+u}{y_0\omega_1+v} すなわち \omega_1=\frac{v\omega-u}{-y_0\omega+x_0}\tag{$\ 4\ $}\]と置けば,$\omega$ と $\omega_1$ とは正式に対等である.
 ここで定理 $3.\ 2$ を引用する.定理 $3.\ 2$ の $p$,$r$,$q$,$s$ に $x_0$,$y_0$,$u$,$v$ をあてはめるとき($e=1$),\[\left.\begin{alignat*}{1}&ax_0{}^2+bx_0y_0+cy_0{}^2=k,\\[2mm]&2ax_0u+b\left(x_0v+y_0u\right)+2cy_0v=l,\\[2mm]&au^2+buv+cv^2=m\end{alignat*}\right\}\tag{$\ 5\ $}\]になるが,そのとき\[\begin{alignat*}{1}&\omega_1=\frac{-l+\sqrt{D}}{2k},\tag{$\ 6\ $}\\[2mm]&D=l^2-4km,\tag{$\ 7\ $}\\[2mm]&\left(k,\ l,\ m\right)=1.\end{alignat*}\]すなわち $\omega_1$ は判別式 $D$ に属する二次の無理数である.
 故に $\left(\ 1\ \right)$ が原始解を有するためには,$\left(\ 7\ \right)$ または合同式\[l^2\equiv D\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4k\right)\tag{$\ 8\ $}\]が解を有することが,必要条件であるが,いま $\left(\ 3\ \right)$ において,$u$,$v$ の代わりにその一般の解 $u+x_0t$,$v+y_0t$ をとれば,$\left(\ 4\ \right)$ から見えるように,$\omega_1$ の代わりに $\omega_1-t$ が出てくる.すなわち $\left(\ 6\ \right)$ によって\[\omega_1-t=\frac{-\left(l+2kt\right)+\sqrt{D}}{2k}\]であるから,$l$ の代わりに $l+2kt$ が出てくる.
 故に $\left(\ 1\ \right)$ の各原始解に対応する $\left(\ 8\ \right)$ の解 $l$ は $\text{mod}.\ 2k$ に関して一定である.例えば\[-\left|k\right|\leqq l\lt\left|k\right|\tag{$\ 9\ $}\]なる範囲内にただ一つ存在する.
 さて上記の条件が満たされるとき,区間 $\left(\ 9\ \right)$ に属する $\left(\ 8\ \right)$ の解 $l$ を求め得たとして,$\left(\ 7\ \right)$ によって $m$ を求めるとき,$\left(k,\ l,\ m\right)=1$ ならば,$\left(\ 6\ \right)$ なる数 $\omega_1$ は判別式 $D$ に属する.もしもその $\omega_1$ が $\omega$ と正式に対等ならば,$\omega_1$ と $\omega$ とを結びつける正の「モ変形」$\left(\ 4\ \right)$ が求められる.しからば定理 $3.\ 2$ によって $\left(\ 5\ \right)$ が成り立つから,$\left(\ 2\ \right)$ または $\left(\ 2^{\large*}\right)$ が成り立つ,すなわち $\left(\ 4\ \right)$ における $\left\{x_0,\ y_0\right\}$ が $\left(\ 1\ \right)$ の原始解である.

 故に $\left(\ 1\ \right)$ のすべての原始解を求めるには,上記のような $\omega_1$ をことごとく求め( $\left(\ 8\ \right)$ に解があっても,それから出る $k$,$l$,$m$ に公約数がないことを要する),そのおのおのの $\omega_1$ に関して,それが $\omega$ と正式に対等であるか,ないかを確かめて,正式に対等である場合には,$\omega_1$ と $\omega$ とを結び付けるすべての「モ変形」$\left(\ 4\ \right)$ の分母 $x_0-\omega y_0$ を求めなければならない.
 このようにして試みるべき数 $\omega_1$ は,与えられた $k$ に関しては有限個である.

 $D\lt0$ の場合には対等の決定および「モ変形」を求めることは $\S\ 30$ に述べた.$\omega_1$ と $\omega$ とを結び付ける「モ変形」はただ一つに限る($D=-3$,$-4$ の場合を別にして)から,解の数は有限である.ただし,ただ一つの「モ変形」というのは,変形の四つの係数の符号だけを変えることを無視していうのであるから,$x$,$y$ と同時に,$-x$,$-y$ が原始解であることもちろんである.
 $D\gt0$ である場合には,対等の判定および「モ変形」を求めることは連分数を用いて解かれる.二次無理数の連分数展開が循環するから,定理 $2.\ 11$ を適用することができる.(循環の一節が奇数個の部分商を含むときには,終項をさらに一節だけ展開することによって,正および負の「モ変形」が得られる.すなわち,必ず正の「モ変形」が得られるけれども,循環部分商が偶数個のときには,正の「モ変形」が得られないこともある).
 $\omega_1$ と $\omega$ とが正式に対等ならば,それらを結び付ける正式「モ変形」$\left(\ 4\ \right)$ が無数にあるけれども,それらは一組の同伴解を与えるのである.その間の事情は次の通りである.
 $\omega_1$ と $\omega$ とを結び付ける正の「モ変形」は,その一つを\[\omega_1=\mathrm{M}\omega\]とすれば,\[\omega_1=\mathrm{MA}\omega\]によって与えられる.$\mathrm{A}$ は $\omega$ の正の自己変形($\omega=\mathrm{A}\omega$)である.
 さて $\left(\ 4\ \right)$ に従って\[\mathrm{M}=\begin{pmatrix}\hphantom{-}v&-u\\-y_0&\hphantom{x}x_0\end{pmatrix}\]と置き,また\[\mathrm{A}=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix},\hphantom{\omega}\omega=\frac{p\omega+q}{r\omega+s},\hphantom{\omega}ps-qr=1\tag{$10$}\]とすれば,\begin{alignat*}{1}\mathrm{MA}&=\begin{pmatrix}\hphantom{-}v&-u\\-y_0&\hphantom{x}x_0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}\\[2mm]&=\begin{pmatrix}*&*\\-y_0p+x_0r&-y_0q+x_0s\end{pmatrix}\end{alignat*}よって「モ変形」$\mathrm{MA}$ からは\[-y_1=-y_0p+x_0r,\hspace{5mm}x_1=-y_0q+x_0s\]なる解が得られる.
 しかるに\begin{alignat*}{2}-y_1\omega+x_1&=\left(-y_0p+x_0r\right)\omega+\left(-y_0q+x_0s\right)&&\\[2mm]&=-y_0\left(p\omega+q\right)+x_0\left(r\omega+s\right)&&\\[2mm]&=-y_0\omega\left(r\omega+s\right)+x_0\left(r\omega+s\right)&&\left(\cssId{eq1}{\S\ 33,\ 問題\ 4}\right)\\[2mm]&=\left(-y_0\omega+x_0\right)\left(r\omega+s\right).\end{alignat*} $r\omega+s$ は $\left(10\right)$ における $\omega$ の自己変形の分母で,それは,すなわち Pell 方程式 $t^2-Du^2=4$($ps-qr=1$ であるから,右辺は $+4$)の解に対応する $\varepsilon=\left(t+u\sqrt{D}\right)/2$ に等しい($\S\ 33$).すなわち\[-y_1\omega+x_1=\left(-y_0\omega+x_0\right)\varepsilon\]で,$x_1$,$y_1$ は $x_0$,$y_0$ の同伴解である.
 Pell 方程式 $t^2-Du^2=4$ の最小正整数解 $T$,$U$ に対応する $E=\dfrac{T+U\sqrt{D}}{2}$ から,$\varepsilon=\pm E^n$($n=0$,$\pm1$,$\pm2$,$\cdots\cdots$)を得るから,一つの $\omega_1$ に対応するすべての原始解は次の等式から求められる.\[-y\omega+x=\pm\left(-y_0\omega+x_0\right)E^n,\hphantom{n}\left(n=0,\ \pm1,\ \pm2,\ \cdots\cdots\right).\]
 〔例〕  $3x^2+14xy+5y^2=-6.\hspace{5mm}D=136=4\hspace{0.7mm}\cdotp34.$
$l^2\equiv136\hphantom{n}\left(\text{mod}.\ 24\right).\hspace{5mm}-6\leqq l\lt6.$
$l=4,\ \ m=5,\ \ \omega_1=\dfrac{-2+\sqrt{34}}{-6}=\dfrac{2-\sqrt{34}}{6}.$
$l=-4,\ \ m=5,\ \ \omega_2=\dfrac{2+\sqrt{34}}{-6}=\dfrac{-2-\sqrt{34}}{6}.$
 $\omega=$$\dfrac{-7+\sqrt{34}}{3\vphantom{\sqrt{34}}}=-1+\dfrac{\sqrt{34}-4}{3},$$\left(\omega_0=\right)\ \dfrac{\sqrt{34}+4}{6}=1+\dfrac{\sqrt{34}-2}{6},\ ^\dagger$
$\dfrac{\sqrt{34}+2}{5}=1+\dfrac{\sqrt{34}-3}{5},$$\dfrac{\sqrt{34}+3}{5}=1+\dfrac{\sqrt{34}-2}{5},\ ^{\large*}$
 $\left(\theta=\right)$$\dfrac{\sqrt{34}+2}{6\vphantom{\sqrt{34}}}=1+\dfrac{\sqrt{34}-4}{6},$$\dfrac{\sqrt{34}+4}{3}=3+\dfrac{\sqrt{34}-5}{3},\ ^{\large**}$
$\dfrac{\sqrt{34}+5}{3}=3+\dfrac{\sqrt{34}-4}{3},$$\left(\omega_0\right)=\dfrac{\sqrt{34}+4}{6}.\ ^\dagger$
 $\omega_1=$$\dfrac{2-\sqrt{34}}{6\vphantom{\sqrt{34}}}=-1+\dfrac{8-\sqrt{34}}{6},$$\dfrac{\sqrt{34}+8}{5}=2+\dfrac{\sqrt{34}-2}{5},\ ^{\large*}$
 $\omega=$$-1+\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{\theta}=\dfrac{-\theta-1}{3\theta+2},\hphantom{\omega}$$\omega_1=-1+\dfrac{1}{2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{\theta}=\dfrac{-\theta-1}{2\theta+1}.$
\[\begin{pmatrix}-1&-1\\\hphantom{-}2&\hphantom{-}1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-1\\\hphantom{-}3&\hphantom{-}2\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-1\\\hphantom{-}2&\hphantom{-}1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hphantom{-}2&1\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}.\]\[x_0=1,\hphantom{m}y_0=-1.\] $\omega_0=1+\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{3}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{3}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{\omega_0}=\dfrac{\cdots\cdots}{36\omega_0+11},$
\[E=36\omega_0+11=35+6\sqrt{34}.\]一般解は\[x-\omega y=\pm\left(1+\omega\right)E^n.\]すなわち\[3x+7y-y\sqrt{34}=\pm\left(-4+\sqrt{34}\right)\left(35\pm6\sqrt{34}\right)^n,\hphantom{m}\left(n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots\cdots\right).\]
  
  
 $\omega_2=\dfrac{-2-\sqrt{34}}{6\vphantom{3}}=-2+\dfrac{10-\sqrt{34}}{6},\hspace{5mm}\dfrac{\sqrt{34}+10}{11}=1+\dfrac{\sqrt{34}-1}{11},$
   $\dfrac{\sqrt{34}+1}{3}=2+\dfrac{\sqrt{34}-5}{3}.^{\large**}$\[\omega_2=-2+\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{\theta}.\] $\omega_2$ と $\omega$ とは非正式にのみ対等である.
 〔計算の説明〕 $\left(\ 8\ \right)$,$\left(\ 9\ \right)$ を満足せしめる $l$ の値が二つあるから,それらに対応する $\omega_1$,$\omega_2$ が $\omega$ と正式に対等であるか否かを見なければならない.よってまず $\omega$ を連分数に展開する.そのとき最初の終項(上記 $\dagger$ の $\omega_0$)が簡約された無理数である.その展開の循環一節を計算する($\dagger$ から $\dagger$ まで).さて $\omega_1$ を展開すれば,第二の終項が $\omega$ の展開中に現われている(上記 $^{\large*}$ の逆数なる $\theta$).その $\theta$ の媒介によって,$\omega_1$ と $\omega$ とを結び付ける正の「モ変形」 $\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ が得られる.第一行 $1$,$0$ は不用だけれども,検算のために算出した.よって $-y_0\omega+x_0=1+\omega$ から $\omega_1$ に対応する一つの原始解 $x_0=1$,$y_0=-1$ が得られたのである.さて $\omega_0$ の循環部がすでに計算されてあるから,それから $t^2-Du^2=4$ の最小正数解に対応する単数 $E=35+6\sqrt{35}$ を求めて $\omega_1$ に対応する同伴解の公式を得たのである.
 次に $\omega_2$ を同様に取り扱う.$\omega_2$ の展開では,第三の終項が $\omega$ の展開中にある($^{\large**}$).それを媒介としては,$\omega_2$ と $\omega$ とを結び付ける負の「モ変形」が得られる.$\omega$ の循環部の項数が偶数だから,$\omega_2$ と $\omega$ とは正式に対等でない.よって $\omega_2$ からは解が得られない.
 故に原始解はただ一組の同伴解である.
 $-6$ は平方因数($\gt1$)を含まないから,非原始解はない.
 上記の例は $\S\ 34$ 例 $2$ と同じである.$\S\ 34$ の解法の方が簡単であるように見えるのは $\left|k\right|$($=6$)が小さいからである.
 上記 $\omega_2$ は $\omega$ とは非正式にのみ対等であるが,計算をして見れば\[\omega=\frac{\omega_2-1}{-3\omega_2+2},\hspace{5mm}\begin{vmatrix}\hphantom{-}1&-1\\-3&\hphantom{-}2\end{vmatrix}=-1\]を得る.さて定理 $3.\ 2$ のように $\omega_2$ を $\sqrt{34}$ の前に符号 $-$ が付く形に書けば,\[\omega_2=\frac{-2-\sqrt{34}}{6}.\] 故に定理 $3.\ 2$ の $\left(\ 3\ \right)$ において $k=6$,$p=1$,$r=-3$ とすれば,$3x^2+14xy+5y^2=6$ の一つの原始解 $x=1$,$y=-3$ が得られる($\S\ 34$,例 $1$ 参照).
 $\boldsymbol{2.}$ Gauss の整数論Disquisitiones arithmeticae)では,二次形式\[f=ax^2+bxy+cy^2\]が「モ変形」\[\left.\begin{alignat*}{1}x&=px^\prime+qy^\prime\\[2mm]y&=rx^\prime+sy^\prime\end{alignat*}\ \right\}\ ps-qr=e=\pm1\]によって,\[F=kx^{\prime2}+lx^\prime y^\prime+my^{\prime2}\]に変形されるとき,$f$ と $F$ とを($e=\pm1$ に従って正式または非正式に)対等という.そのとき($198$ 頁)\[\begin{array}{r}ap^2+bpr+cr^2=k,\\[2mm]2apq+b\left(ps+qr\right)+2cr=l,\\[2mm]aq^2+bqs+cs^2=m.\end{array}\] この第一の等式のために,二次不定方程式\[ax^2+bxy+cy^2=k\]の解法が,二次形式 $f$,$F$ の対等の問題に帰するのである.
 二次形式 $f$,$F$ の対等は,それらの二次形式に対応する二次の無理数\[\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\ \ \frac{-l\pm\sqrt{D}}{2k}\]の対等に帰する(定理 $3.\ 2$)のであって,二次無理数の対等として考察されるときに,問題の解決が簡明になるのである.
 このような考慮に基づいて,本節では Gauss の方法を説明するのに,二次形式を表面に出さないで,直接に二次無理数を取り扱ったのであるが,二次形式論との連絡のために少しく説明を補足する.
 $\S\ 31$ で述べたように,判別式 $D$ に属する二次無理数 $\omega$ は,符号だけの違いを考えないならば,一定の原始二次式の根である.
 よって二次無理数 $\omega=\left(-b\pm\sqrt{D}\right)/2a$ は原始二次形式\[\pm\left(ax^2+bxy+cy^2\right),\]\[D=b^2-4ac,\hphantom{m}\left(a,\ b,\ c\right)=1\]に対応するが,逆に,これらの二次形式は $\omega$ およびそれと共軛なる二次無理数 $\omega^\prime$ に対応する.これを一対一の対応にするために,二次形式\[f=ax^2+bxy+cy^2\]には,二次無理数\[\omega=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\]を対応せしめることに規約する.$\sqrt{D}$ の前の符号を $+$ に限定するのである.もちろん $D\gt0$ ならば,$\sqrt{D}\gt0$,また $D\lt0$ ならば $\sqrt{D}=i\left|\sqrt{D}\right|$ とする.
 しからば $\omega$ と共軛なる\[\omega^\prime=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{b+\sqrt{D}}{-2a}\]は,二次形式 $-f=-ax^2-bxy-cy^2$ に対応する.
 このような規約を設けるならば,定理 $3.\ 2$ を次のようにいい表わすことができる.
 「二次形式 $f=ax^2+bxy+cy^2$ が「モ変形」$\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ によって $F=kx^{\prime2}+lx^\prime y^\prime+my^{\prime2}$ に変形されるとき,$f$ に対応する二次無理数を\[\omega=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\]として\[\omega=\frac{p\omega_1+q}{r\omega_1+s},\hspace{5mm}ps-qr=e=\pm1\]と置けば,$e=1$ のとき,$\omega_1$ は二次形式 $F$ に対応し,$e=-1$ のとき,$\omega_1$ は二次形式 $-F$ に対応する.」
 Gauss の方法によれば,二次不定方程式の解法は正式対等だけで足りるから,非正式対等を除外したのであるが,いま $\left(\ 1\ \right)$ が原始解 $\left\{x_0,\ y_0\right\}$ を有するとして,\[\begin{vmatrix}x_0&u\\y_0&v\end{vmatrix}=-1\]になる非正式の「モ変形」によって,$f$ が $F$ に変形されたとするならば,$-F$ に対応する $\omega_1$ が\[\omega=\frac{x_0\omega_1+u}{y_0\omega_1+v}\]によって,$f$ に対応する $\omega$ に結び付けられる.そのとき\[\omega=\frac{x_0\left(-\omega_1\right)-u}{y_0\left(-\omega_1\right)-v}\]で,\[\begin{pmatrix}x_0&-u\\y_0&-v\end{pmatrix}\ は正の「モ変形」,\]また\[-\omega_1=-\frac{-l-\sqrt{D}}{2k}=\frac{l+\sqrt{D}}{2k},\]すなわち $-\omega_1$ は $kx^{\prime2}-lx^\prime y^\prime+my^{\prime2}$ に対応する.この $\omega$ と $-\omega_1$ との正式対等から $\left\{x_0,\ y_0\right\}$ なる原始解が得られるのである.すなわち $f$ と $F=kx^2+lxy+my^2$ との非正式対等から $\left(\ 1\ \right)$ の解が得られるとしても,その解は $f$ と $F^\prime=kx^2-lxy+my^2$ との正式対等から得られるのである.故に非正式対等を除外してもさしつかえないのである.

 Gauss の「整数論」では克明に無理数を忌避して,二次形式を専用しているけれども,それは一種の韜晦であって,頭の中では $\omega$ によって構成した理論を発表するのに $f$ を籍りたかの観がある.特に $\omega$ が虚数($D\lt0$)の場合に,このカムフラージュが最も周到であったのは,当時の数学界の虚数に対する蒙昧な態度を考慮して,Gauss のいわゆる頑迷者流の誤解を予防するに至当な戒心であったかと推察される.
 「整数論」の後三十年を経て Gauss の複素整数論($1832$)が発表された.これは現代の代数的整数論の芽ばえであって,それがついに Dedekind のイデヤル論にまで成長したのである.無理数でも,虚数でも遠慮なく取り扱うことができるような雰囲気の中において,整数論が自由に発展することができたのである.
 本巻の残部において代数的整数論の端緒を紹介するために,二次体のイデヤル論を略説する.あまり深入りはできないが,二次不定方程式の理論の現代化を目標とする.すでに二次無理数の効率を経験した読者は,二次無理数の統一的な理論に多分の好奇心を引き起こしたことと信ずるのである.

 現代の整数論は Fermat($1601$-$1665$)以来徐々に成育しつつあったのであるが,十八世紀に至って,特に Euler($1707$-$1783$),Lagrange($1736$-$1813$)の努力によって,二元二次の不定方程式の解法が成就する程度にまで発達して,数学の一分科を構成するのに十分な域に達したのである.Legendre($1752$-$1833$)の「整数の理論の試作」(Essai sur la théorie des nombres,$1798$)は十八世紀の終りにおける整数論の概括的展観であって,その書名が「整数論」という語の濫觴である.
 当時の数学界から仰視されていたこの Essai は未だ平方剰余の相互法則を確定することもできず,また二次不定方程式を解き得ても,その理論が完成されてあるとはいい難い程度のものであった.そのような世界へ卒然として投げ出されたのが $24$ 歳の青年 Gauss($1777$-$1855$)の Disquisitiones($1801$)である.その第四編において初めて相互法則の確定的の証明が提供され,かつその重大性が明示された.またその第五編,二次形式論の前半において,二次不定方程式の統一的の理論が構成されている.
 二次形式論の後半は Gauss の述べた形式では,はなはだ,難解であるが,イデヤル論のためにその要点だけは比較的簡明に説明されるようになったのである.
 Disquisitiones の出現とともに,Essai は三年の寿命をもって急転直下,数学史料に化してしまったのである.数学史上の奇観といわねばならない.








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