第 $5$ 章 二次体の整数論
$\S\ 41.$ 二次体 $\boldsymbol{K\left(\sqrt{m}\right)}$ の整数
$\boldsymbol{1.}$ $m$ を平方因数（もちろん $1$ 以外の）を有しない正または負の与えられた有理整数とし，$x$，$y$ を任意の有理数として\[x+y\sqrt{m}\tag{$\ 1\ $}\]のような数の全部を一つの集団として考察する．このような集団を二次の数体（略して二次体）といい，それを $K\left(\sqrt{m}\right)$ と記すことにする．数体というのは数の集団であって，その集団に属する数から四則によって作られる数がやはりその集団に属するものをいうのである（代．$\S\ 39$）．
$\left(\ 1\ \right)$ のような数が一つの数体を組成することは明らかである．
すなわち\begin{alignat*}{1}&\left(x+y\sqrt{m}\right)+\left(x^\prime+y^\prime\sqrt{m}\right)=\left(x+x^\prime\right)+\left(y+y^\prime\right)\sqrt{m},\\[2mm]&\left(x+y\sqrt{m}\right)-\left(x^\prime+y^\prime\sqrt{m}\right)=\left(x-x^\prime\right)+\left(y-y^\prime\right)\sqrt{m},\\[2mm]&\left(x+y\sqrt{m}\right)\cdotp\left(x^\prime+y^\prime\sqrt{m}\right)=\left(xx^\prime+yy^\prime m\right)+\left(xy^\prime+x^\prime y\right)\sqrt{m},\end{alignat*}\[\frac{x^\prime+y^\prime\sqrt{m}}{x+y\sqrt{m}}=\frac{xx^\prime-yy^\prime m}{x^2-my^2}+\frac{xy^\prime-x^\prime y}{x^2-my^2}\sqrt{m}\]は，いずれも $\left(\ 1\ \right)$ の形の数である．
〔注意〕 これより後，一般的に $\sqrt{m}$ は $m\gt0$ のときには $\left|\sqrt{m}\right|$，また $m\lt0$ のときには $i\left|\sqrt{m}\right|$ を表わすものとする．反対の符号をとってもよい場合もあるが，特別に必要がなければ，いちいち，ことわらない．
$m$ の代わりに平方数でない有理数をとっても同様である．$\sqrt{a/b\ }=\sqrt{ab\ }/b$，よって $ab$ の平方因数全部を出して $ab=c^2m$ とおけば\[x+y\sqrt{\frac{a}{b}}=x+\frac{cy}{b}\sqrt{m}.\] すなわち $\left(\ 1\ \right)$ の形になる．
二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ に属する数\[\alpha=x+y\sqrt{m},\hspace{1cm}\alpha^\prime=x-y\sqrt{m}\]を互いに共軛という．虚数の場合にはこれは共軛複素数にほかならないが，その共軛を実なる二次の無理数の上にも拡張するのである（$\S\ 31$）．
互いに共軛な二数の和および積は有理数である．\[\alpha+\alpha^\prime=2x,\hspace{1cm}\alpha\alpha^\prime=x^2-my^2.\]これらを $\alpha$ または $\alpha^\prime$ の スプール および ノルム（記号 $N\alpha$）という．
$\alpha$ は有理係数を有する二次方程式の根である．$\alpha$ が無理数（$y\neq0$）であるときは，この二次方程式は一定である（$\S\ 31$）．
$\alpha$，$\beta$ の共軛を，$\alpha^\prime$，$\beta^\prime$ とすれば，$\alpha\pm\beta$，$\alpha\beta$，$\alpha/\beta$ の共軛は $\alpha^\prime\pm\beta^\prime$，$\alpha^\prime\beta^\prime$，$\alpha^\prime/\beta^\prime$ である（$\alpha\pm\beta$，$\alpha\beta$，$\alpha/\beta$ を与える前頁の等式において $\sqrt{m}$ を $-\sqrt{m}$ に代えるならば共軛が得られるが，それらはすなわち $\alpha^\prime\pm\beta^\prime$，$\alpha^\prime\beta^\prime$，$\alpha^\prime/\beta^\prime$ にほかならない）．
〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 $m$，$m^\prime$ が平方因数を有しないとき，二次の無理数 $x+y\sqrt{m}$，$x^\prime+y^\prime\sqrt{m^\prime}$ が相等しいならば，$m=m^\prime$，$x=x^\prime$，$y=y^\prime$．いい換えれば，相異なる二次体に共通な数は有理数だけである．
〔解〕 $x+y\sqrt{m}$ とその共軛とを根とする二次方程式を $t^2+at+b=0$，また $x^\prime+y^\prime\sqrt{m^\prime}$ を根とする二次方程式を $t^2+a^\prime t+b^\prime=0$ とする．もしも $x+y\sqrt{m}=x^\prime+y^\prime\sqrt{m^\prime}$ が無理数ならば，これらの方程式は上記のように同一でなければならない．したがって $x-y\sqrt{m}=x^\prime–y^\prime\sqrt{m^\prime}$．故に $x=x^\prime$，$y\sqrt{m}=y^\prime\sqrt{m^\prime}$，したがって $m^\prime=\left(y/y^\prime\right)^2m$．仮定によって $m$ も $m^\prime$ も平方因数を有しないから，$\left(y/y^\prime\right)^2=1$．故に $m=m^\prime$，したがって $y=y^\prime$．
$\boldsymbol{2.}$ 整数の定義を二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ の数の上に拡張するのに，われわれは次の条件を目標とする．
$\ \ \!\text{i}\ )$ $\alpha$，$\beta$ が整数ならば，$\alpha\pm\beta$，$\alpha\beta$ も整数である．
$\ \text{ii}\ \!)$ $\alpha=x+y\sqrt{m}$ が整数ならば，それと共軛な $\alpha^\prime=x-y\sqrt{m}$ も整数である．
$\ \!\text{iii})$ 有理数であって拡張された意味において整数であるものは，有理整数の全部である．
$\ \!\text{iv})$ 整数の範囲は，上記三つの条件のもとにおいて，できる限り広くする．
これらの四条件を規準とすれば，$K\left(\sqrt{m}\right)$ における整数の意味は自ら確定するのである．
いま $a$，$b$ を有理整数として\[a+b\sqrt{m}\tag{$\ 2\ $}\]のような形の数を $K\left(\sqrt{m}\right)$ の整数とすることにすれば，上記 $\ \ \!\text{i}\ )$，$\ \text{ii}\ \!)$，$\ \!\text{iii})$ の条件が満たされることは明らかであるが，ここに特別の考慮を要するのは条件 $\ \!\text{iv})$ である．すなわち $\ \ \!\text{i}\ )$，$\ \text{ii}\ \!)$，$\ \!\text{iii})$ の条件のもとにおいて，整数の範囲を，なお広く制定することができないであろうか，という問題が生ずる．
これらの条件のもとにおいて $\alpha$ を整数とすれば，その共軛 $\alpha^\prime$ も整数でなければならないから，$\ \!\text{iii})$ によって $\alpha+\alpha^\prime$，$\alpha\alpha^\prime$ は有理整数でなければならない．すなわち $\alpha$，$\alpha^\prime$ は整係数の二次方程式\[t^2+at+b=0\]の根であることが必要である．よって\[\alpha=x+y\sqrt{m},\hspace{1cm}\alpha^\prime=x-y\sqrt{m}\]と置けば\[\alpha+\alpha^\prime=2x,\hspace{9mm}b=\alpha\alpha^\prime=x^2-y^2m\]が有理整数，したがって $4y^2m$ も有理整数でなければならないが，仮定によって $m$ は平方因数を含まないから，$2y$ は有理整数でなければならない．故に問題になるのは\[\alpha=\frac{p+q\sqrt{m}}{2} \left(p,\ q\ は有理整数\right)\]のような形の数だけである．しからば\[\alpha\alpha^\prime=\frac{p^2-q^2m}{4}\]が有理整数でなければならないから，\[p^2\equiv q^2m\hphantom{m}\left(\text{mod}.\ 4\right)\tag{$\ 3\ $}\]であることを要する．
故に $m\equiv2\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ のときには，$p$ は偶数，したがって $p^2$ は $4$ で割り切れ，したがって $q$ も偶数でなくてはならない．
また $m=3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ のときには，$p$ を奇数とすれば $q$ も奇数で，$p^2\equiv q^2\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ だから，合同式 $\left(\ 3\ \right)$ が成り立たない．故に $p$ は偶数．したがって $q$ も偶数でなくてはならない．
すなわち $m\equiv2$，$3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ の場合には，上記 $\left(\ 2\ \right)$ の形の数のみを二次体の整数とすべきである．
さて $m\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ の場合には，$\left(\ 3\ \right)$ は $p$，$q$ がともに偶数ならばもちろんであるが，$p$，$q$ がともに奇数であるときにも成り立つ．
この場合\[\alpha=\frac{p+q\sqrt{m}}{2},\hspace{7mm}p\equiv q\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 2\right)\]のような形の数を整数として，$\ \ \!\text{i}\ )$，$\ \text{ii}\ \!)$，$\ \!\text{iii})$ の条件が充実されるであろうか．
まず，$\ \text{ii}\ \!)$，$\ \!\text{iii})$ には論はない．さて $\ \ \!\text{i}\ )$ であるが，和および差に関しては\[\beta=\frac{p^\prime+q^\prime\sqrt{m}}{2},\hspace{7mm}p^\prime\equiv q^\prime\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 2\right)\]とすれば\[\alpha\pm\beta=\frac{\left(p\pm p^\prime\right)\left(q\pm q^\prime\right)\sqrt{m}}{2},\hspace{7mm}p\pm p^\prime\equiv q\pm q^\prime\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 2\right)\]だから，よろしい．
次に積に関しては\[\alpha\beta=\frac{p^{\prime\prime}+q^{\prime\prime}\sqrt{m}}{2}\]と置けば，\[p^{\prime\prime}=\frac{pp^\prime+qq^\prime m}{2},\hspace{7mm}q^{\prime\prime}=\frac{pq^\prime+p^\prime q}{2}.\]これらが有理整数であって，かつ $p^{\prime\prime}\equiv q^{\prime\prime}\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 2\right)$ であるかを検査することを要する．仮定によって，$m\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$，$p\equiv q$，$p^\prime\equiv q^\prime\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 2\right)$ であるから，\[pp^\prime+qq^\prime m\equiv pp^\prime+pp^\prime\equiv0\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 2\right),\\[2mm]\!\!pq^\prime\ \!+\ \!p^\prime q\ \equiv \ \!pp^\prime+pp^\prime\equiv0\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 2\right).\]故に $p^{\prime\prime}$，$q^{\prime\prime}$ は有理整数である．また\begin{alignat*}{1}2\left(p^{\prime\prime}-q^{\prime\prime}\right)&=pp^\prime+qq^\prime m-pq^\prime-p^\prime q\\[2mm]&\equiv pp^\prime+qq^\prime-pq^\prime-p^\prime q\\[2mm]&=\left(p-q\right)\left(p^\prime-q^\prime\right)\equiv0\hphantom{mmm}\left(\text{mod}.\ 4\right)\end{alignat*}したがって\[p^{\prime\prime}\equiv q^{\prime\prime}\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 2\right).\]すなわち積に関しても条件 $\ \ \!\text{i}\ )$ が満たされる．
上記の考察を要約すれば次の通り：
〔定義〕 二次の無理数が有理整係数の二次方程式\[x^2+ax+b=0\]の根であるとき，それを整数という．
$x^2$ の係数が $1$ であることに注意を要する．
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 1}$〕 二次体 $\boldsymbol{K\left(\sqrt{m}\right)}$ の整数は
| $\boldsymbol{m\equiv2,\ 3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)}$ ならば $\boldsymbol{x+y\sqrt{m}}$， | |
| $\boldsymbol{m\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)}$ ならば $\boldsymbol{\dfrac{x+y\sqrt{m}}{2}}$，$\boldsymbol{x\equiv y\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 2\right)}$ |
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 2}$〕 二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ の整数の和，差および積は同じ二次体の整数である．
| 〔例〕 | $K\left(i\right)$ においては，$m=-1\equiv3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$．整数は $x+yi$． |
| $K\left(\sqrt{-3\vphantom{3^n}}\right)$ においては，$m=-3\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$．整数は |
|
〔問題 $\boldsymbol{2}$〕 二次無理数 $\theta$ が満足せしめる有理整係数の二次方程式を $a\theta^2+b\theta+c=0$ とすれば，$a\theta$ は整数である．
〔解〕 $\left(a\theta\right)^2+b\left(a\theta\right)+ac=0$ で，$b$，$ac$ は整数であるから．
すなわち整数でない二次無理数は，それに有理整数を掛けて整数に化せられる．
〔注意〕 $\theta$ が有理数でも $a\theta$ は整数である．
実際 $\theta=m/n$，$\left(m,\ n\right)=1$ とすれば，\[am^2+bmn+cn^2=0.\]故に $am^2$，したがって $a$ が $n$ で割り切れる．すなわち $a\theta$ は有理整数である．
故に上記 $K\left(\sqrt{m}\right)$ の整数の定義は有理整数にも適合する（もちろん，逆は成り立たない．例えば $x^2-\left(5/2\right)x+1=0$ の一つの根は整数 $2$ である）．
$\boldsymbol{3.}$ 上記整数の定義を次のようにいい表わすことができる．
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 3}$〕 二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ において
|
〔証〕 $m\equiv2$ または $3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ のときは明白．
$m\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ のときは，整数は $\left(p+q\sqrt{m}\right)/2$，$p\equiv q\hphantom{2}\left(\text{mod}.\ 2\right)$．よって $p-q=2x$，$q=y$ と置けば\[\frac{p+q\sqrt{m}}{2}=x+y\omega.\] このように $K\left(\sqrt{m}\right)$ の整数は適当な二つの整数 $\omega_1$，$\omega_2$（例えば上記の $1$，$\omega$）によって，有理整係数 $x$，$y$ をもって一意的に\[x\omega_1+y\omega_2\]の形で表わされる．このような二つの整数 $\left[\omega_1,\ \omega_2\right]$ の組を $K\left(\sqrt{m}\right)$ の整数の底（あるいは略して $K\left(\sqrt{m}\right)$ の底）という．本書では上記 $\left[1,\ \omega\right]$ を標準的の底ともいう．
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 4}$〕 $\left[\omega_1,\ \omega_2\right]$ を $K\left(\sqrt{m}\right)$ の一組の底とすれば，すべての底 $\left[\mu_1,\ \mu_2\right]$ は $\left[\omega_1,\ \omega_2\right]$ から「モ変形」によって得られる．すなわち\[\left.\begin{array}{c}\mu_1=a\omega_1+b\omega_2\\[2mm]\mu_2=c\omega_1+d\omega_2\end{array}\ \right\}\ \ ad-bc=\pm1.\tag{$\ 5\ $}\] 〔証〕 $\left(\ 5\ \right)$ が成り立つならば，$\left[\mu_1,\ \mu_2\right]$ は底である．
なぜならば，$\left(\ 5\ \right)$ から\begin{alignat*}{1}\pm\omega_1&=\hphantom{-}d\mu_1-b\mu_2,\\[2mm]\pm\omega_2&=-c\mu_1+a\mu_2.\end{alignat*}したがって $\xi=x\omega_1+y\omega_2$ を任意の整数とするとき，\[\xi=x^\prime\mu_1+y^\prime\mu_2,\]ただし，\begin{alignat*}{1}\pm x^\prime&=\hphantom{-}dx-cy,\\[2mm]\pm y^\prime&=-bx+ay.\end{alignat*}故に $\left[\mu_1,\ \mu_2\right]$ が底である．
逆に $\left[\mu_1,\ \mu_2\right]$ が底ならば，$p$，$q$，$r$，$s$ を有理整数として\[\left.\begin{alignat*}{1}\omega_1&=p\mu_1+q\mu_2,\\[2mm]\omega_2&=r\mu_1+s\mu_2.\end{alignat*}\ \right\}.\tag{$\ 6\ $}\]また $\left[\mu_1,\ \mu_2\right]$ も底であるから，有理整係数 $p^\prime$，$q^\prime$，$r^\prime$，$s^\prime$ をもって\[\left.\begin{alignat*}{1}\mu_1&=p^\prime\omega_1+q^\prime\omega_2\\[2mm]\mu_2&=r^\prime\omega_1+s^\prime\omega_2\end{alignat*}\ \right\}.\tag{$\ 7\ $}\]$\left(\ 7\ \right)$ から $\left(\ 6\ \right)$ に代入して\[\left.\begin{alignat*}{1}\omega_1&=p^{\prime\prime}\omega_1+q^{\prime\prime}\omega_2\\[2mm]\omega_2&=r^{\prime\prime}\omega_1+s^{\prime\prime}\omega_2\end{alignat*}\ \right\}\hphantom{p}\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p^\prime&q^\prime\\r^\prime&s^\prime\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p^{\prime\prime}&q^{\prime\prime}\\r^{\prime\prime}&s^{\prime\prime}\end{pmatrix}.\]$\left[\omega_1,\ \omega_2\right]$ が底だから，$p^{\prime\prime}=1$，$q^{\prime\prime}=0$，$r^{\prime\prime}=0$，$s^{\prime\prime}=1$．故に\[\begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}p^\prime&q^\prime\\r^\prime&s^\prime\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1.\]したがって $p^\prime s^\prime-q^\prime r^\prime=\pm1$．すなわち $\left(\ 7\ \right)$ は「モ変形」である．
$\boldsymbol{4.}$ $K\left(\sqrt{m}\right)$ における整数が上記の通り定義された上は，有理整数の場合（または $\S\ 36$，$\S\ 39$）と同様に整除の定義を立てることができる．すなわち $K\left(\sqrt{m}\right)$ の整数 $\alpha$，$\beta$ の商 $\alpha/\beta=\gamma$ が整数であるとき，$\alpha$ は $\beta$ で割り切れるという．また $\alpha$ を $\beta$ の倍数，$\beta$ を $\alpha$ の約数という．
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 5}$〕 $\alpha_1$，$\alpha_2$ が $\beta$ で割り切れるならば，$\alpha_1\pm\alpha_2$ も $\beta$ で割り切れる．
$\alpha$ が $\beta$ で割り切れるならば，$\mu\alpha$ も $\beta$ で割り切れる．
一般に $\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_n$ が $\beta$ で割り切れるならば，\[\mu_1\alpha_1+\mu_2\alpha_2+\cdots\cdots+\mu_n\alpha_n\]は $\beta$ で割り切れる．
〔証〕 整数の和，差および積が整数であるから．
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 5,\ 1}$〕 $\alpha$ が $\beta$ で割り切れるならば，有理整数 $N\alpha$ は $N\beta$ で割り切れる．
〔証〕 $\alpha=\beta\gamma$ で $\gamma$ は整数，故に $N\alpha=N\beta\hspace{0.7mm}\cdotp N\gamma$ で，$N\gamma$ は（有理）整数である．
$\boldsymbol{5.}$ 単数および同伴数の定義も $\S\ 36$，$\S\ 39$ と同様である．
$K\left(\sqrt{m}\right)$ の整数 $\varepsilon$ が $N\left(\varepsilon\right)=\pm1$ を満足せしめるときは，$\varepsilon$ は単数である．
単数は $1$ の約数，したがって，すべての整数の約数である．
| 〔例〕 | $K\left(\sqrt{-1\vphantom{3^n}}\right)$ の単数は $\pm1$，$\ \pm i$． |
| $K\left(\sqrt{-3\vphantom{3^n}}\right)$ の単数は $\pm1$，$\pm\omega$，$\pm\omega^2$（$\omega$ は $1$ の立方根）． |
〔例〕 $K\left(\sqrt{2}\right)$ において $\varepsilon=1+\sqrt{2}$ は単数である．$N\left(1+\sqrt{2}\right)=-1$．
よって $1/\varepsilon=-\left(1-\sqrt{2}\right)$ も単数，また $\pm\varepsilon^n$（$n=0$，$\pm1$，$\pm2$，$\cdots\cdots$）も単数である
$\alpha/\beta$ が単数であるときには，$\alpha$，$\beta$ を同伴数という．整除の問題に関する限り，或る整数をその同伴数で置き換えてさしつかえない．
$\boldsymbol{6.}$ $K\left(\sqrt{m}\right)$ の整数 $\alpha$ が整因数 $\beta$，$\gamma$，$\cdots\cdots$ に分解され，かつその各因数が単数ではないとするときは，\[\alpha=\beta\gamma\cdots,\]したがって\[N\alpha=N\beta N\gamma\cdots\]において $N\alpha$，$N\beta$，$N\gamma$，$\cdots$ は有理整数で，$\left|N\beta\right|$，$\left|N\gamma\right|$，$\cdots\cdots$ は $1$ よりも大であるから，$\alpha$ が与えられたときに，因数 $\beta$，$\gamma$，$\cdots\cdots$ の数は有限でなければならない．よってこのような分解を続行すれば，ついには各因数が上記の意味で，もはや分解することのできない整数になる．さてこのような分解の結果が（単数なる因数を度外視して）ただ一様に限るであろうか．
$K\left(\sqrt{-1}\right)$，$K\left(\sqrt{-3}\right)$ の場合には実際その通りであったのであるが，それはむしろ例外である．
例えば $K\left(\sqrt{-5}\right)$ においては，整数は\[a+b\sqrt{-5}\]の形の数である．この二次体では，例えば次のような分解が生ずる．\[6=2\hspace{0.7mm}\cdotp3=\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right),\tag{$\ 8\ $}\]\[21=3\hspace{0.7mm}\cdotp7=\left(1+2\sqrt{-5}\right)\left(1-2\sqrt{-5}\right)=\left(4+\sqrt{-5}\right)\left(4-\sqrt{-5}\right).\tag{$\ 9\ $}\] これらの分解に出ている各因数は，いずれも分解不可能のものである．
例えば $2=\alpha\beta$ とすれば，$N\alpha\hspace{0.7mm}\cdotp N\beta=4$．故に $\alpha$ も $\beta$ も単数でないとすれば，$N\alpha\gt1$，$N\beta\gt1$．したがって $N\alpha=2$，$N\beta=2$ でなければならない．
すなわち，$\alpha=x+y\sqrt{-5}$ とすれば\[x^2+5y^2=2.\]$x$，$y$ はもちろん有理整数であるから，これは明らかに不可能である．同様にして $3$ も $7$ も分解不可能であることがわかる．
次にまた $1+\sqrt{-5}=\alpha\beta$ とすれば，$N\left(1+\sqrt{-5}\right)=N\alpha\hspace{0.7mm}\cdotp N\beta$，すなわち $N\alpha\hspace{0.7mm}\cdotp N\beta=6$．よって $\alpha$ も $\beta$ も単数でないとすれば，$N\alpha=2$ または $N\alpha=3$ で，それは上記の通り不可能である．その他の因数に関しても同様である．
このように，$K\left(\sqrt{-5}\right)$ では，$6$ が二通りに，また $21$ が三通りに，素因数のようなものに分解されるが，素因数分解の可能性はむしろ平凡であって，その一意性が整除の理論の基礎になるのであるから，$K\left(\sqrt{-5}\right)$ の整数論はここで行詰りになるのである．
Kummer は大胆な着想によってこの困難な局面を打開することを試みた．彼は上記 $\left(\ 8\ \right)$，$\left(\ 9\ \right)$ の如き分解はまだ分解の終局に達しているのでないことを看破して，いわゆる「理想的の数」（Ideal number）の理論を組み立てたのである．この理論は，はなはだ複雑で，簡単に説明することができないけれども，その帰結だけをいうならば，Kummer によれば，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{C}^\prime$ という「理想的の数」があって\begin{alignat*}{3}2&=\mathrm{A}^2,&&1+\sqrt{-5}\hphantom{2}=\mathrm{AB},&&1-\sqrt{-5}\hphantom{2}=\mathrm{AB}^\prime,\\[2mm]3&=\mathrm{BB}^\prime,&\hspace{1cm}&1+2\sqrt{-5}=\mathrm{B}^\prime\mathrm{C},&\hspace{12mm}&1-2\sqrt{-5}=\mathrm{BC}^\prime,\\[2mm]7&=\mathrm{CC}^\prime,&&4+\sqrt{-5}\hphantom{2}=\mathrm{BC},&&4-\sqrt{-5}\hphantom{2}=\mathrm{B}^\prime\mathrm{C}^\prime\end{alignat*}のような分解が行なわれる．したがって上記 $\left(\ 8\ \right)$，$\left(\ 9\ \right)$ は最終の分解でなくて，\[6=\left(\mathrm{A}^2\right)\left(\mathrm{BB}^\prime\right)=\left(\mathrm{AB}\right)\left(\mathrm{AB}^\prime\right),\]\[21=\left(\mathrm{BB}^\prime\right)\left(\mathrm{CC}^\prime\right)=\left(\mathrm{BC}\right)\left(\mathrm{B}^\prime\mathrm{C}^\prime\right)=\left(\mathrm{BC}^\prime\right)\left(\mathrm{B}^\prime\mathrm{C}\right)\]の程度の分解であるというのである．
しかしながら，$2$，$3$，$7$ などが実際には分解不可能であることは前に述べた通りであるから，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{C}^\prime$ などは $K\left(\sqrt{-5}\right)$ の中に現実に存在する数ではない．故に複素数をかつて「想像的の数」（Imaginary number）といったのにならって，「理想的の数」というような語を用いたのである．
Kummer の理想的数の理論は，前にいったように，極めて複雑難渋であるのみならず，それをそのまま一般の代数体に拡張することが不可能である．ここに Dedekind はさらに深く問題の根底を究めて，簡単明瞭にしてかつ一般的なイデヤル（Ideal）の理論を構成することに成功した．Dedekind は Kummer の架空的な理想数を実在する整数の集合で置き換えて，その集合を Kummer の理想数にちなんで無造作にイデヤル（Ideal）と名付けたのである．