初 等 整 数 論 講 義 第 $2$ 版

$\blacktriangleleft$ $\S\ 47.$ 二次体の単数  $\S\ 49.$ 二次不定方程式 $ax^2+bxy+cy^2=k$ の理論 $\blacktriangleright$

『初等整数論講義 第 $2$ 版』目次へ



第 $5$ 章 二次体の整数論

 $\S\ 48.$ Pell 方程式 $\boldsymbol{x^2-ay^2=\pm1}$

 $\boldsymbol{1.}$ 正の整数 $a$ が平方数でないとき,不定方程式\[x^2-ay^2=1\]を Euler 以来 Pell 方程式と称する.
 このような方程式は Fermat が提出して,その解法を当時の英国の数学者に挑んだものである.Pell の名がこの方程式に冠せられるようになったのは Euler の誤解に基づく.ただしこのような方程式の解を求める計算法は,つとにインドの数学者に知られていたのである.
 ここでは,方程式の右辺が $-1$ である場合をも包括して\[x^2-ay^2=\pm1\tag{$\ 1\ $}\]を考察する.
 $a$ に含まれる最大の平方因数を標出して\[a=f^2m\tag{$\ 2\ $}\]と置けば,仮定によって $m\neq1$.よって $\left(\ 1\ \right)$ は\[N\left(x+yf\sqrt{m}\right)=\pm1\tag{$\ 3\ $}\]で,すなわち問題は二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ の単数\[\varepsilon=x+yf\sqrt{m}\tag{$\ 4\ $}\]を求めることに帰する.
 $m\equiv2$,$3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ の場合には,$\left(\ 4\ \right)$ の単数 $\varepsilon$ は $f$ を法として有理整数と合同である.逆に単数 $\varepsilon=x+y\sqrt{m}$ が $\varepsilon\equiv r\hphantom{f}\left(\text{mod}.\ f\right)$ を満足させるならば,$\varepsilon-r=x-r+y\sqrt{m}$ が $f$ で割り切れるのだから,$y$ が $f$ で割り切れなければならない,すなわち $\varepsilon$ は $\left(\ 4\ \right)$ の形の数である.
 $m\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ の場合には,$\omega=\left(1+\sqrt{m}\right)/2$ とすれば,$\left(\ 4\ \right)$ から\[\varepsilon=x+yf\left(2\omega-1\right)=x-yf+2yf\omega.\]故に $\varepsilon$ は $2f$ を法として有理整数と合同である.逆に,単数 $\varepsilon=x+y\omega$ が $\varepsilon\equiv r\hphantom{f}\left(\text{mod}.\ 2f\right)$ を満足させるならば,$y$ は $2f$ で割り切れなければならない.よって $y=2fy^\prime$ と置けば,$\varepsilon=x+fy^\prime\hspace{0.7mm}\cdotp2\omega=x+fy^\prime\left(1+\sqrt{m}\right)=\left(x+fy^\prime\right)+fy^\prime\sqrt{m}$.すなわち $\varepsilon$ は $\left(\ 4\ \right)$ の形の数である.
 故に $\left(\ 1\ \right)$ を解くことは,$K\left(\sqrt{m}\right)$ の単数の中で $f$ または $2f$ を法として有理整数と合同なものを求めることに帰する.
 このような問題は $m\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ の場合においてのみ法を偶数 $2f$ に限るべき理由はないから,一般に $f\gt1$ を任意の有理整数として次の問題を考察する.
 「実二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ において\[\varepsilon\equiv r\hphantom{f}\left(\text{mod}.\ f\right)\tag{$\ 5\ $}\]なる単数 $\varepsilon$ を求めること」.ただし,$r$ は一般的に有理整数を表わすので,一つの特定の有理整数を指すのではない.
 よって $K\left(\sqrt{m}\right)$ の判別式を $d$ として\[D=f^2d\]とおけば,問題は\[E=\frac{t+u\sqrt{D}}{2}\tag{$\ 6\ $}\]なる単数を求めること,すなわち不定方程式\[t^2-Du^2=\pm4\tag{$\ 7\ $}\]を解くことに帰する.$\left(\ 1\ \right)$ において右辺を $\pm1$ にしたのは,見掛け上簡単な問題のようであるが,$m\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ の場合には $\left(\ 7\ \right)$ の方が根本的である.
 方程式 $\left(\ 7\ \right)$ に関しては,すでに $\S\ 33$ でその解法を述べたのであるが,ここでは $d$ に関する Pell 方程式の解と $D=f^2d$ に関する $\left(\ 7\ \right)$ との間の関係を考察する.
 初めに注意しておくのであるが,$\left(\ 6\ \right)$ のような単数 $E_1$,$E_2$ は $\left(\ 5\ \right)$ を満足させるから,その積 $E_1E_2$ も同様で,すなわち $\left(\ 6\ \right)$ の形の単数である.また $1/E_2=\pm E_2{}^\prime$ であるから,$E_1/E_2$ もやはり $\left(\ 6\ \right)$ の形の単数である.
 さて $\left(\ 7\ \right)$ において,$t$,$u$ と同時に $\pm t$,$\pm u$ が解であって,それらには単数 $\pm E$,$\pm1/E$ が対応するから,$E\gt1$ なる単数 $\left(\ 6\ \right)$ を求めればよい.
 さて $\varepsilon_0$ を $K\left(\sqrt{m}\right)$ の基本単数とすれば,もちろん $\left(\varepsilon_0,\ f\right)=1$ であるから,定理 $5.\ 23$ によって,\[\varepsilon_0{}^{\varPhi\left(f\right)}\equiv1\hphantom{f}\left(\text{mod}.\ f\right).\]故に $\varepsilon_0{}^{\varPhi\left(f\right)}$ は $\left(\ 6\ \right)$ の形の単数である.すなわち $\left(\ 6\ \right)$ の形の単数は実際存在する.$E$ は $\varepsilon_0$ の巾であるから,\[E_0=\varepsilon_0{}^e\tag{$\ 8\ $}\]を $\left(\ 6\ \right)$ の形の単数の中で,指数 $e$($e\gt0$)の最小なものとすれば,\[E=E_0{}^n\ \ \left(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots\right)\]であることは,定理 $5.\ 25$ の証明と同様にして示される.実際,$E_0{}^n\leqq E\lt E_0{}^{n+1}$ とすれば,$E\left(E_0{}^{-1}\right)^n$ はやはり $\left(\ 6\ \right)$ の形の単数で,$1\leqq E\left(E_0{}^{-1}\right)\lt E_0$ であるから,$E_0$ に関する約束によって,$E\left(E_0{}^{-1}\right)^n=1$,すなわち $E=E_0{}^n$ である.故に $\left(\ 6\ \right)$ の形のすべての単数は\[\pm E_0{}^n\hphantom{n}\left(n=0,\hphantom{\pm}\pm1,\hphantom{\pm}\pm2,\ \cdots\cdots\right)\]によって与えられる.特に $\varepsilon_0{}^{\varPhi\left(f\right)}$ がやはり一つの $E$ であるから,$\left(\ 8\ \right)$ における指数 $e$ は $\varPhi\left(f\right)$ の約数である.
 以上を要約して次の定理を得る.
 〔定理 $\boldsymbol{5.\ 26}$〕 実二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ の判別式を $d$,基本単数を $\varepsilon_0$,また $D=f^2d$ とすれば,\[E=\frac{t+u\sqrt{D}}{2}\]の形の単数は\[\pm E_0{}^n\hphantom{n}\left(n=0,\ \pm1,\ \pm2,\ \cdots\cdots\right)\]である.ただし,\[E_0=\varepsilon_0{}^e\]で,$e$ は $\varPhi\left(f\right)$ の約数である.
 〔例 $1$〕 $x^2-147y^2=1$.
 〔解〕 $147=7^2\hspace{0.7mm}\cdotp3$,$m=3$,$f=7$.
$\varepsilon_0=2+\sqrt{3}$,
$\varepsilon_0{}^2=7+4\sqrt{3}$,$\varepsilon_0{}^3=26+15\sqrt{3}$,$\varepsilon_0{}^4=97+56\sqrt{3}=E_0$.
 故に最小正数解は $x=97$,$y=8$.
 すなわち $E_0=\varepsilon_0{}^4$ で,指数 $e=4$.それは $\varPhi\left(7\right)=48$ の約数である.
 〔例 $2$〕$x^2-5y^2=1$.
 〔解〕 $m=5$.$d=5$,$D=20$,$f=2$.$\varPhi\left(f\right)=3$.
$\varepsilon_0=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$,$\varepsilon_0{}^3=2+\sqrt{5}=E_0$,$N\left(E_0\right)=-1$,$E_0{}^2=9+4\sqrt{5}$.
 最小正数解:  $x=9$,$y=4$.

 〔問題 $\boldsymbol{1}$〕 $d\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ が二次体の判別式であるとき,\[x^2-dy^2=1\tag{$\ 9\ $}\]の最小正数解は\[\frac{x+y\sqrt{d}}{2}=\left(\frac{t+u\sqrt{d}}{2}\right)^e\]によって与えられる.ただし $t$,$u$ は $t^2-du^2=4$ の最小正数解で,$d\equiv1\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ ならば,$e=1$,また $d\equiv5\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ ならば,$e=1$ または $3$.
 〔解〕 $\left(\ 9\ \right)$ は $D=4d$($f=2$)に関する Pell 方程式である.その最小正数解に対応する単数を $E$ とし,$t^2-du^2=4$ の最小正数解に対応する単数を $\varepsilon$ とすれば,\[E=\varepsilon^e\]で,$e$ は $\varPhi\left(2\right)$ の約数である.$d\equiv1\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ ならば,$2={PP}^\prime$ だから,$\varPhi\left(2\right)=1$,故に $e=1$.また $d\equiv5\hphantom{8}\left(\text{mod}.\ 8\right)$ ならば $2=P$,$\varPhi\left(2\right)=3$.故に $e=1$ または $e=3$.
 〔例〕 $d=5$: 上記例 $2$ の通り($e=3$).
 $d=17$: $\varepsilon_0=4+\sqrt{17}$,$\varepsilon=\varepsilon_0{}^2=33+8\sqrt{17}=E\left(e=1\right)$.$x=33$,$y=8$.
 $d=21$: $\varepsilon=\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}$,$\varepsilon_0{}^3=55+12\sqrt{21}\left(e=3\right)$.$x=55$,$y=12$.

 二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ の標準的底数を $\left[1,\ \omega\right]$ とするとき\[x+yf\omega=\frac{x^\prime+y^\prime\sqrt{D}}{2}\hspace{1cm}\left(D=f^2d\right)\]のような形の整数のみを考察すれば,このような数は $\text{mod}.\ f$ に関して有理数と合同,したがってその和,差および積はやはり同様の形の数である.$K\left(\sqrt{m}\right)$ におけるこれらの数の集合を Hilbert に従ってRing)といい,$f$ をその環の導手Führer)という.
 この用語によれば,本節では導手 $f$ なる環に属する単数を求めたのである.
 例えば $K\left(\sqrt{5}\right)$ において $x+y\sqrt{5}$ の形の整数の集合は導手が $2$ の環を組成する.
 もしも一つの環に属す数のみを整数として採用するならば $\S\ 41$ の $\ \ \!\text{i}\ )$$\ \text{ii}\ \!)$$\ \!\text{iii})$ の条件だけは満たされるが,そのように整数の範囲を限定すれば,簡明なイデヤル論が構成され得ない($\S\ 43$,定理 $5.\ 8$ の注意を参照).
 環は Gauss の二次形式論におけるOrdnung)に基づくものであるが,本書では混雑をおそれて,ことさらに環の理論に説き及ぼさない.
 それとは別に,目今勃興しつつある「新代数学」において,Ring という語が非常に拡張された意味において使用されている.それは「整数」の意味をほとんど無際涯ともいうべき程度に拡張したものである.またそれに関連してイデヤルという語が同じように拡張された意味において用いられている.それを本書で述べた Dedekind のイデヤルと混同してはならない.しかし思想上には,Dedekind の系統を引いていることもちろんである.
 新代数のイデヤル論は完成の域に達していない.そこには,われらの限界に広漠な数学の分野が展開されているのである.






$\blacktriangleleft$ $\S\ 47.$ 二次体の単数  $\S\ 49.$ 二次不定方程式 $ax^2+bxy+cy^2=k$ の理論 $\blacktriangleright$

『初等整数論講義 第 $2$ 版』目次へ


 ページトップへ inserted by FC2 system