第 $5$ 章 二次体の整数論
$\S\ 51.$ イデヤルの対等
$\boldsymbol{1.}$ 二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ において与えられたイデヤル $A$，$J$ が対等であるか，ないかを決定し，対等の場合には $A=\rho J$ なる数 $\rho$ を求めること．これが問題 $\mathrm{B}$ である．この問題を $A$，$J$ が原始イデヤルである場合に解けば十分である．また $A$，$J$ は標準的底数によって表わされていると仮定してさしつかえない．
〔定理 $\boldsymbol{5.\ 27}$〕 $A=\left[a,\hphantom{\omega}b+w\right]$ と $J=\left[k,\hphantom{\omega}l+w\right]$ とが対等で，$A=\rho J$ なるために必要かつ十分な条件は\[\varTheta=\frac{b+\omega}{a}\hphantom{1}と\hphantom{1}\varPsi=\frac{l+\omega}{k}\]とが「モ変形」\[\varTheta=\frac{p\varPsi+q}{r\varPsi+s},\hspace{5mm}ps-qr=\pm1\tag{$\ 1\ $}\]によって結び付けられることである．そのとき\[\rho=r\varPsi^\prime+s,\hspace{4mm}N\left(\rho\right)=\pm\frac{a}{k}.\tag{$\ 2\ $}\]$\left(\ 1\ \right)$ と $\left(\ 2\ \right)$ とにおいて $\pm$ は同一で，$\varPsi^\prime$ は $\varPsi$ の共軛．
〔証〕 $A=\rho J$ ならば\begin{alignat*}{1}\left[a,\hphantom{\omega}a\varTheta\right]&=\rho\left[k,\hphantom{\omega}k\varPsi\right]\\[2mm]&=\left[\rho k,\hphantom{\omega}\rho k\varPsi\right].\end{alignat*}故に\begin{alignat*}{1}a\varTheta&=p\hspace{0.7mm}\cdotp\rho k\varPsi+q\hspace{0.7mm}\cdotp\rho k,\\[2mm]a&=r\hspace{0.7mm}\cdotp\rho k\varPsi+s\hspace{0.7mm}\cdotp\rho k,\\[2mm]&\begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}=\pm1.\end{alignat*}したがって\[\varTheta=\frac{p\varPsi+q}{r\varPsi+s}.\]すなわち $\left(\ 1\ \right)$ は必要な条件である．
逆に，$\left(\ 1\ \right)$ が成り立つならば比例因数 $\rho$ を用いて\[\begin{alignat*}{1}a\varTheta&=\rho k\left(p\varPsi+q\right),\\[2mm]a&=\rho k\left(r\varPsi+s\right)\end{alignat*}\tag{$\ 3\ $}\]と置くことができる．しからば\[\left[a,\hphantom{\omega}a\varTheta\right]=\rho\left[k,\hphantom{\omega}k\varPsi\right]\]であるが，$\left(\ 3\ \right)$ から\[\begin{vmatrix}a\varTheta&a\varTheta^\prime\\a\hphantom{\varTheta}&\hphantom{\varTheta}a\end{vmatrix}={\rho\rho}^\prime\begin{vmatrix}k\varPsi&k\varPsi^\prime\\k\hphantom{\varPsi}&\hphantom{\varPsi}k\end{vmatrix}\cdotp\begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}\overset{\ }{\underset{\boldsymbol{.}}{\ }}\]すなわち\begin{alignat*}{1}a^2\left(\varTheta-\varTheta^\prime\right)&=\pm{\rho\rho}^\prime\hspace{0.7mm}\cdotp k^2\left(\varPsi-\varPsi^\prime\right),\\[2mm]a\left(\omega-\omega^\prime\right)&=\pm{\rho\rho}^\prime\hspace{0.7mm}\cdotp k\left(\omega-\omega^\prime\right).\end{alignat*}したがって\[{\rho\rho}^\prime=\pm\frac{a}{k}.\] 故に $\left(\ 3\ \right)$ の第二式と比較して\[\rho^\prime=\pm\left(r\varPsi+s\right),\]すなわち\[\rho=\pm\left(r\varPsi^\prime+s\right).\]よって定理は証明された．
上記の定理によって，イデヤルの対等の問題は「モ変形」に関する二次無理数の対等の問題に帰するのであるが，それはすでに第 $3$ 章において解かれている．
特に $A$ が単項イデヤルであるか，ないかを決定するには $J=1$ として上記の方法を適用すればよい．実二次体の場合には，$m\equiv2$，$3\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ のときは $r=\left[\sqrt{m}\ \!\right]$（Gauss の記号，$\S\ 1.$）として，$\omega=r+\sqrt{m}$ と置き，また $m\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$ のときは $r$ を $\sqrt{m}$ よりも小さい最大の奇数として $\omega=\left(r+\sqrt{m}\right)/2$ と置けば，$\omega$ は簡約された二次無理数（$\omega\gt1$，$0\gt\omega^\prime\gt-1$，$\S\ 29$）で，$\left[1,\hphantom{\omega}\omega\right]=1$，$\varPsi=\omega$ になる．よって $\varTheta$ を連分数に展開して，その終項として $\omega$ が出るかを見ればよい．
虚の二次体の場合には $\omega=\sqrt{m}$ または $\omega=\left(-1+\sqrt{m}\right)/2$ が基本区域 $\mathrm{G}$ に属する（$\S\ 27$）から，$\varTheta$ がそれと対等であるかを見るのである．
〔例 $1$〕 $K\left(\sqrt{-5}\right)$： $A=\left[3,\hphantom{1}1+\sqrt{-5}\right]$，$J=\left[23,\hphantom{1}-8+\sqrt{-5}\right]$ とすれば\[A=\rho J,\hspace{5mm}\rho=\frac{7-2\sqrt{-5}}{23}.\] 〔解〕 $\varTheta=\dfrac{1+\sqrt{-5}}{3}$ と対等な数を基本区域内において求めて，$\varTheta_0=\dfrac{-1+\sqrt{-5}}{2}$ を得る．すなわち $\varTheta=-\dfrac{1}{\varTheta_0}$．$\varPsi=\dfrac{-8+\sqrt{-5}}{23}$ も $\varTheta_0$ と対等である．すなわち $\varPsi=\dfrac{\varTheta_0+1}{-3\varTheta_0-2}$．故に $\varTheta=\dfrac{3\varPsi+1}{2\varPsi+1}$．よって\[\rho=2\varPsi^\prime+1=\frac{7-2\sqrt{-5}}{23}.\] 〔注意〕 $\varTheta$ と $\varPsi$ とを結び付ける「モ変形」$\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\hphantom{-}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hphantom{-}1&\hphantom{-}1\\-3&-2\end{pmatrix}^{-1}$ を求めないでも，$\varTheta_0$ に対応するイデヤル $L=\left[2,\ -1+\sqrt{-5}\right]$ を用いるならば，\[A=\varTheta_0{}^\prime\hspace{0.7mm}\cdotp L,\hspace{5mm}J=\left(3\varTheta_0{}^\prime+2\right)L\]から\[\rho=\frac{\varTheta_0{}^\prime}{3\varTheta_0{}^\prime+2}=\frac{7-2\sqrt{-5}}{23}\]が得られる．
〔例 $2$〕 $K\left(\sqrt{34}\right)$： $A=\left[3,\hphantom{1}1+\sqrt{34}\right]$，$J=\left[5,\hphantom{1}2+\sqrt{34}\right]$．
〔解〕 $\varTheta=\dfrac{1+\sqrt{34}}{3}$，$\varPsi=\dfrac{2+\sqrt{34}}{5}$．\[\varTheta=2+\frac{1}{3}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{\varPsi}=\frac{9\varPsi+7}{4\varPsi+3}\]故に\[\rho=4\varPsi^\prime+3=\frac{23-4\sqrt{34}}{5},\hspace{5mm}A=\rho J\]で $A$，$J$ は同類に属する．
念のために検算すれば\begin{alignat*}{1}\rho J&=\left(23-4\sqrt{34},\hphantom{-}-18+3\sqrt{34}\right)=\left(5-\sqrt{34},\hphantom{-}-18+3\sqrt{34}\right)=\left(5-\sqrt{34},\hphantom{-}3\right)\\[2mm]&=\left(3,\hphantom{-}-1-\sqrt{34}\right)=A.\end{alignat*}
附記 定理 $5.\ 27$ によって二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ におけるイデヤルの類の数 $h$ を定め，かつ各類を代表するイデヤルを求めることができる．
いま $\varTheta=\left(-b+\sqrt{d}\right)/2a$ （$a\varTheta^2+b\varTheta+c=0$，$a\gt0$，$\left(a,\ b,\ c\right)=1$，$d=b^2-4ac$）を判別式 $d$ に属する二次無理数とすれば，$\left[a,\ a\varTheta\right]=\left[a,\ \left(-b+\sqrt{d}\right)/2\right]$ は一つの原始イデヤル $J$ の標準的底である（$N\left(a\varTheta\right)=ac$，$\S\ 42$，問題 $2$）．
さて虚の二次体の場合には基本区域 $\mathrm{G}$ に属するすべての $\varTheta$ を求めるならば，それらに対応するイデヤル $J$ がすなわち各類の代表である．$\varTheta$ が $\mathrm{G}$ に属するための条件は $\left|b\right|\leqq a\leqq c$ で，どちらかで等号が成り立つときには $b\geqq0$．この条件から $\left|b\right|\leqq\sqrt{\left|d\right|/3\ \!}$ を得るから $\varTheta$ の数はもちろん有限である．
実二次体の場合には判別式 $d$ に属する簡約された二次無理数 $\varTheta$（$\S\ 32$）の全部を求めて，それらを連分数に展開すれば，同一の周期に終項として出てくる $\varTheta$ に対応する $J$，しかもそれらのみが，互いに対等で同一の類に属する．
〔例 $1$〕 $K\left(\sqrt{-65}\right)$，$d=-260$．
$\varTheta=\dfrac{-b+\sqrt{-260}}{2a}=\dfrac{-b^\prime+\sqrt{-65}}{a}$ $\left(b^\prime=\dfrac{b}{2},\hphantom{n}b^{\prime2}-ac=-65\right)$，
$\left|b\right|\leqq\sqrt{\dfrac{260}{3}}$ から $\left|b^\prime\right|\leqq4$．$2\left|b^\prime\right|\leqq a\leqq c$．
| $b^\prime\vphantom{1^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | $ac$ | $a$ | $c$ | $\varTheta$ | $J$ | 類 | |||||||
| $\hphantom{-}0\vphantom{1^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | $65$ | $1$ | $65$ | $\sqrt{-65}$ | $\left[1,\ \sqrt{-65}\right]$ | $1$ | |||||||
| $\hphantom{-}0$ | 〃 | $5$ | $13$ | $\dfrac{\sqrt{-65}}{5}$ | $\left[5,\ \sqrt{-65}\right]$ | $\mathrm{A}^2\mathrm{B}$ | |||||||
| $\pm1$ | $66$ | $2$ | $33$ | $\dfrac{-1+\sqrt{-65}}{2}$ | $\left[2,\ -1+\sqrt{-65}\right]$ | $\mathrm{B}$ | |||||||
| $\pm1$ | 〃 | $3$ | $22$ | $\dfrac{\pm1+\sqrt{-65}}{3}$ | $\left[3,\ \pm1+\sqrt{-65}\right]$ | $\mathrm{A}^3,\mathrm{A}$ | |||||||
| $\pm1$ | 〃 | $6$ | $11$ | $\dfrac{\pm1+\sqrt{-65}}{6}$ | $\left[6,\ \pm1+\sqrt{-65}\right]$ | $\mathrm{A}^3\mathrm{B},\mathrm{AB}$ | |||||||
| $\pm2$ | $69$ | ― | ― | ||||||||||
| $\pm3$ | $74$ | ― | ― | ||||||||||
| $\pm4$ | $81$ | $9$ | $9$ | $\dfrac{-4+\sqrt{-65}}{9}\vphantom{\dfrac{1}{1}^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | $\left[9,\ -4+\sqrt{-65}\right]$ | $\mathrm{A}^2$ | |||||||
故に $h=8$．
これらの類の間の結合の関係を見るために，$A=\left[3,\hphantom{1}-1+\sqrt{-65}\right]$ とすれば $\left[9,\hphantom{1}-4+\sqrt{-65}\right]=A^2$．しかるに $N\left(-4+\sqrt{-65}\right)=81$，故に $A^4\sim1$．したがって $A^\prime=\left[3,\hphantom{1}1+\sqrt{-65}\right]\sim A^3$．また，$B=\left[2,\hphantom{1}-1+\sqrt{-65}\right]$ とすれば $B^2=\left(\ 2\ \right)\sim1$，$AB=\left[6,\hphantom{1}-1+\sqrt{-65}\right]$，$A^3B=\left[6,\hphantom{1}1+\sqrt{-65}\right]$．よって $A^2B\sim\left[5,\hphantom{1}\sqrt{-65}\right]$（巻末の表，参照）．
〔例 $2$〕 $K\left(\sqrt{82}\right)$，$d=328$．\[\varTheta=\frac{-b^\prime+\sqrt{82}}{a},\hspace{5mm}b^{\prime2}-ac=82.\]簡約された二次無理数は $10$ 個ある．
| $a$ | $\ \!b^\prime$ | $c$ | $\varTheta$ | |||||
| $1\vphantom{1^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | $-9$ | $\ \!\!-1$ | $9+\sqrt{82}\ \!=\hphantom{_1}\varTheta=18+\dfrac{1}{\varTheta}\vphantom{\dfrac{1}{1}^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | |||||
| $2\vphantom{1^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | $-8$ | $\ \!\!-9$ | $\dfrac{8+\sqrt{82}}{2}=\varTheta_1=8+\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{\varTheta_1}\vphantom{\dfrac{1}{1}^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | |||||
| $9$ | $-8$ | $\ \!\!-2$ | $\dfrac{8+\sqrt{82}}{9}\hphantom{=\varTheta_1=}\left(\ 1\ \right)\vphantom{\dfrac{1}{1}^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | |||||
| $3$ | $-8$ | $\ \!\!-6$ | $\dfrac{8+\sqrt{82}}{3}=\varTheta_2=5+\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{2}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{\varTheta_2}\vphantom{\dfrac{1}{1}^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | |||||
| $6$ | $-8$ | $\ \!\!-3$ | $\dfrac{8+\sqrt{82}}{6}=\varTheta_3=2+\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{5}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{\varTheta_3}\vphantom{\dfrac{1}{1}^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | |||||
| $3$ | $-7$ | $-11$ | $\dfrac{7+\sqrt{82}}{3}\hphantom{=\varTheta_1=}\left(\ 3\ \right)\vphantom{\dfrac{1}{1}^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | |||||
| $11$ | $-7$ | $\ \!\!-3$ | $\dfrac{7+\sqrt{82}}{11}\hphantom{=\varTheta_1=}\left(\ 2\ \right)\vphantom{\dfrac{1}{1}^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | |||||
| $6$ | $-4$ | $-11$ | $\dfrac{4+\sqrt{82}}{6}\hphantom{=\varTheta_1=}\left(\ 2\ \right)\vphantom{\dfrac{1}{1}^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | |||||
| $11$ | $-4$ | $\ \!\!-6$ | $\dfrac{4+\sqrt{82}}{11}\hphantom{=\varTheta_1=}\left(\ 3\ \right)\vphantom{\dfrac{1}{1}^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | |||||
| $9$ | $-1$ | $\ \!\!-9$ | $\dfrac{1+\sqrt{82}}{9}\hphantom{=\varTheta_1=}\left(\ 1\ \right)\vphantom{\dfrac{1}{1}^\frac{n}{n}_\frac{n}{n}}$ | |||||
〔注意〕 上記は連分数を用いる器械的の方法であるが，イデヤル論を応用して手数を節約することができる．
定理 $5.\ 19$ の証明中に述べたように，各類は $\sqrt{d}/2=\sqrt{82}$ よりも小さいノルムの原始イデヤルを含まなければならない．さて $9$ 以下の有理素数で分解されるものは $2=L^2$，$L=\left[2,\hphantom{1}\sqrt{82}\right]$ と $3={PP}^\prime$，$P=\left[3,\hphantom{1}1+\sqrt{82}\right]$ とだけである：$\left(\dfrac{82}{5}\right)=-1$，$\left(\dfrac{82}{7}\right)=-1$．故に各類は $L$，$P$，$P^\prime$ の三つから掛け算によって生じるイデヤルを含む．さて $P^\prime=\left[3,\hphantom{1}-1+\sqrt{82}\right]=\left[3,\hphantom{1}8+\sqrt{82}\right]$，$N\left(8+\sqrt{82}\right)=-18$．故に $8+\sqrt{82}={LP}^{\prime2}\sim1$．$L^2\sim1$ だから $P^2\sim L$，$P^4\sim1$．よってすべての類は $1$，$P$，$P^2$，$P^3$ で代表されるが，もしも $P\sim1$，または $P^2\sim L\sim1$ ならば $h=1$ または $2$ になるであろう．そこで，はたして $L\sim1$ であるか，ないかを験すのに連分数を用いるならば主類に対応する簡約された無理数 $\varTheta=9+\sqrt{82}$ を展開してその終項の中に $L$ に対応する $\left(8+\sqrt{82}\right)/2$ が出るかを見ればよい．すなわち上記 $\varTheta=18+1/\varTheta$ なる展開だけで足りる．すなわち $L\sim1$ にならないから，$h=4$．
このような方法は虚の二次体にも適用することができる．